Zusammenfassung
Wir integrieren die Newton’schen Gleichungen für die Bewegung eines Körpers in einem Kraftfeld (mit zwei Koordinaten x und y) oder von zwei Körpern mit längs ihrer Verbindungslinie wirkender Kraft (mit vier Koordinaten x1, y1, x2, y2). In der Tabelle wird die Zeit t in einer Spalte vorgegeben und die jeweils zwei Koordinaten für Ort x und Geschwindigkeit v werden in vier parallelen Spalten berechnet. Der Fortschritt von t auf t +Δt, also von einer Reihe der Tabelle zur nächsten folgt den Newton’schen Gesetzen, bevorzugt berechnet mit unserem Verfahren „Fortschritt mit Vorausschau“. In den einzelnen Aufgaben treten Schwerkraft und andere Zentralkräfte auf, die proportional zu verschiedenen Potenzen des Abstandes sind sowie Lorentzkraft und Reibungskraft, die beide von der Geschwindigkeit abhängen. Die Beschleunigungen für die einzelnen Komponenten kommen durch eine Kraft zustande, die allgemein von allen Ortskoordinaten und den zugehörigen Geschwindigkeiten abhängen kann. Wir untersuchen insbesondere, unter welchen Voraussetzungen der Drehimpuls des Systems erhalten bleibt. Es werden Grundkenntnisse der Vektorrechnung benötigt. Wir behandeln (1) ballistische Kurven, (2) Oszillatoren mit winkelabhängiger Zentralkraft oder (3) in einem anisotropen Potential und integrieren (4) die Bewegungsgleichung von Planeten im 1/r-Kraftfeld in kartesischen und polaren Koordinaten. Wir untersuchen (5) die Bewegung von zwei Körpern mit zentraler Wechselwirkung, wobei die Kraft von verschiedenen Potenzen des Abstands abhängt, um herauszufinden, in welchen Fällen sich die Körper auf geschlossenen Bahnen bewegen.
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- 1.
\( F_{\text{rx}} = F_{\text{r}} \left( r \right) \cdot \frac{x}{r} \); \( F_{\text{ry}} = F_{\text{r}} \left( {\text{r}} \right) \cdot \frac{y}{r} \).
- 2.
Massenanziehung n = –2, \( F\infty {1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 {r^{2} }}} \right. \kern-0pt} {r^{2} }} \); schwingende Hantel: n = 1, \( F \propto r \).
- 3.
Je höher die Endgeschwindigkeit (bei t = 5 s), desto geringer ist die Dämpfung.
- 4.
- 5.
Die Abwurfgeschwindigkeit in Abb. 3.2 b ist 30 m/s (bei t = 0).
- 6.
Wenn die Masse des Körpers konstant ist, dann kann sie in den Vorfaktor des Kraftgesetzes integriert werden, welches dann zu einem Gesetz für die Beschleunigung wird.
- 7.
Man gibt einen Kreis in Polarkoordinaten vor und variiert mit Solver die Radiuskoordinate, sodass die vorgegebene Kraft erreicht wird.
- 8.
Die Ausschläge in Richtungen mit kleiner Federkonstante sind größer.
- 9.
Die Standardabweichung ist 0,01 bei einem Mittelwert von 1,38. Die Schwankungen sind also kleiner als 1 %. Um der Frage weiter nachzugehen, sollte man die numerische Genauigkeit erhöhen und sehen, ob die Schwankungen kleiner werden.
- 10.
Zeilen 9 und 10 in Abb. 3.10 (P): Jede der beiden Schleifen wird 21-mal durchlaufen, also ist die Zahl der Rasterpunkte: 21 × 21 = 441.
- 11.
Jedem Tabellenblatt ist ein Blatt im VBA-Editor zugeordnet. Zelladressen in VBA-Routinen beziehen sich auf das zugehörige Tabellenblatt, wenn nicht ausdrücklich ein anderes Tabellenblatt angesprochen wird, wie z. B. in Abb. 4.7 (P).
- 12.
Ab Reihe 5 (Programmzeile 8) in die Spalten A und B (Gesamtkraft, Zeilen 25, 26), D und E (Radialkraft), G und H (Querkraft).
- 13.
- 14.
[m] = kg; [a] = [b] = N/m = kg/s²; [ω] = √(a/m) = 1/s.
- 15.
\( a_{\text{x}} = - a \cdot x - c_{0} \cdot v_{\text{x}} \cdot v^{{n_{1} - 1}} \); der erste Term beschreibt die Federkraft, der zweite Term die geschwindigkeitsabhängige Reibungskraft.
- 16.
Die Formel in D7 berechnet die y-Koordinate zur Zeit t = 0,10 mit dem Verfahren „Fortschritt mit Vorausschau“.
- 17.
- 18.
\( m_{\text{Z}} = \frac{100}{G} = 1{,}5\times 1 0^{ 1 2} \,{\text{kg}} = 1{,}5 \times 10^{9} \;{\text{to}} \).
- 19.
[Kraft] = [m ⋅ a] = kg ⋅ m/s2 = (10−3 to 10−7 m)/(10−5 s)2, die Zeit wird also in 105 s gemessen.
- 20.
[G] = [a· r²] = m³/s².
- 21.
Anfangsbedingungen: (x; y) = (9; 0) und (vx; vy) = (0; 2); Drehimpuls \( \vec{L} = m \cdot \vec{r} \times \vec{v}; \) hier: \( L = m \cdot x \cdot v_{\text{y}} = 2 \cdot 9 \cdot 2 = 36 \) in der Einheit [Masse][Länge][Geschwindigkeit].
- 22.
Siehe Abb. 3.21 (T)!
- 23.
Man sucht den maximalen Wert von r in der Tabelle, dazu xmax und ymax und bestimmt \( \alpha_{ \hbox{max} } = { \arctan } 2(x_{ \hbox{max} } ,y_{ \hbox{max} } ) \).
- 24.
Bei numerischen Rechnungen kommen immer nur ungefähre Werte heraus. Schlussfolgerungen aus den Ergebnissen sind immer nur starke Vermutungen und nie 100 % sicher. Es kann höchstens gesagt werden, dass unsere Rechnungen keinen Grund liefern, an der Schlussfolgerung zu zweifeln.
- 25.
Vom Fahrstrahl überstrichene Fläche: \( \frac{{r^{2} \text{d}\phi }}{2} = \left( {\frac{L}{2}} \right) \cdot \text{d}t \).
- 26.
Es entsteht eine Kreisbahn, weil die radiale kinetische Energie verschwindet und die gesamte kinetische Energie in der Winkelbewegung steckt.
- 27.
- 28.
Das Argument von Indirekt ist eine Zelladresse.
- 29.
Der Wert wird aus Zelle J32 kopiert.
- 30.
Der Wert wird aus Zelle M32 kopiert.
- 31.
Die Geschwindigkeit des Schwerpunkts kann als konstant betrachtet werden, weil die Standardabweichungen der Geschwindigkeiten des Schwerpunktes in Q5:R5 von Abb. 3.26 (T) sehr klein sind.
- 32.
Statt I9 kann man x.sp einsetzen: (x.sp−I8)/(t−B8). Damit wäre die Bedeutung Δx/Δt klarer.
- 33.
Qualitativ genauso wie in Abb. 3.27b; der Radius der Bahn der schwereren Masse m2 wäre aber nach dem Hebelgesetz für den Schwerpunkt 20.000-mal kleiner als derjenige von m1. Die Bahn der schwereren Masse läge, verglichen mit der Bahn der leichteren Masse, praktisch immer im Nullpunkt.
- 34.
- 35.
Die Formeln werden in das Tabellenblatt „master“ geschrieben, weil die Formelroutine im zugehörigen VBA-Blatt steht. Es gilt für die ersten drei Läufe der Schleife „r1 = 6 To 1605 step st“ mit st = 32 (Zeile 5): E8 = [=m.2!B6]; E9 = [= m.2!B38]; E10 = [=m.2!B70].
- 36.
Die Gewichte für die Schwerpunktkoordinaten sind die Massen.
- 37.
Es reicht, wenn die Drehimpulse einmal in „master“, Abb. 3.25 (T), für 50 Punkte berechnet werden. Sie werden aus den Koordinaten und den Geschwindigkeiten ermittelt, die in den genauen Rechnungen für 1600 Zeitabschnitte berechnet wurden und ergeben somit genau dieselben Werte.
- 38.
Die Werte für die Energie und die Drehimpulse werden als Mittelwerte berechnet (Zellen K4 und N4 in Abb. 3.33 (T), und werden als konstant betrachtet, falls deren Standardabweichungen (in K5 und N5) hinreichend klein sind.
- 39.
Es gilt das Hebelgesetz: \( m_{1} r_{1} = m_{2} r_{2} \) und \( r_{1} + r_{2} = r_{12} \). Daraus folgt: \( {{r_{1} = r_{12} \cdot m_{2} } \mathord{\left/ {\vphantom {{r_{1} = r_{12} \cdot m_{2} } {\left( {m_{1} + m_{2} } \right)}}} \right. \kern-0pt} {\left( {m_{1} + m_{2} } \right)}} \).
- 40.
Für die Zeitverschiebung wurde tmin genommen, weil als Anfangsbedingung für den Ort Rmin genommen wurde.
- 41.
Die Gewichte sind die Massen.
- 42.
Die Verbindungsgerade der beiden Massen geht immer durch den Schwerpunkt, auch in Abb. 3.40a.
- 43.
Wenn die Masse sich im Nullpunkt befindet, dann ist der Drehimpuls gleich null. Das widerspricht aber den Anfangsbedingungen, nach denen für L = –180 gilt.
- 44.
Der Drehimpuls bleibt bei dieser Bewegung erhalten. Das radiale Potential enthält das Drehimpulspotential und ist dadurch unsymmetrisch. Lesen Sie weiter!
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Mergel, D. (2018). Bewegungen in einer Ebene. In: Physik lernen mit Excel und Visual Basic. Springer Spektrum, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-662-57513-0_3
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