Zusammenfassung
Wir erzeugen Zufallszahlengeneratoren in Tabellenblättern für gleichverteilte Punkte innerhalb eines Quadrats oder eines Kreises, auf einer Kugeloberfläche und in einer Kugel. Die Tabellenfunktion ZUFALLSZAHL() wird dabei in Umkehrfunktionen von integralen Verteilungsfunktionen eingesetzt. Für punktsymmetrische Verteilungen setzen wir Zufallsgeneratoren für Polarkoordinaten ein. Wir untersuchen die Verteilung der Mittelwerte von Punkten in der Ebene, deren Abstände zum Nullpunkt Gauß-verteilt und Cauchy-Lorentz-verteilt sind. Als Anwendungen bestimmen wir
-
die Trägheitsmomente einer Kugel,
-
die Hauptträgheitsmomente eines Quaders und
-
die Trägheitsmomente bei Drehung um eine beliebige Achse sowie das elektrische Feld einer geladenen Kugel.
Für die Elektronenverteilung in einem 1s-Orbital wird ein Polygonzug in einer benutzerdefinierten Tabellenfunktion entwickelt und damit die Coulomb-Energie des 1s-Orbitals im Wasserstoff- und Helium-Atom berechnet.
This is a preview of subscription content, log in via an institution to check access.
Access this chapter
Tax calculation will be finalised at checkout
Purchases are for personal use only
Notes
- 1.
In Spalte F stehen die Mittelwerte der Intervalle, über denen die Häufigkeit in den Intervallen in Diagrammen aufgetragen werden soll.
- 2.
Die Menge der insgesamt erzeugten Punkte entspricht der Fläche 1 des Quadrats [(0;0); (1;1)], ausgegeben wird aber nur eine Menge entsprechend der Fläche π(1/2)² = 0,785 eines Viertelkreises mit Radius 1. Nur virtuell erzeugt wird also ein Anteil von 21,5 % aller erzeugten Punkte.
- 3.
Der Durchmesser geht mit aF/2 in die Formel in C4 ein, die für den Radius rF gilt.
- 4.
Der Mittelpunkt der Verteilung wird in D3 und E3 bestimmt.
- 5.
Die Standardabweichung der Abstände zum Mittelpunkt wird in F3 bestimmt.
- 6.
In H3 wird gezählt, wie viele Punkte innerhalb der Standardabweichung des Abstandes der Punkte zum Mittelpunkt liegen.
- 7.
In C3 wird der Mittelwert der Radien gebildet. In G3 wird gezählt, wie viele Punkte innerhalb eines Kreises mit dem Radius aus C3 liegen.
- 8.
Die Standardabweichung wird in F3 in Abb. 11.7 (T) berechnet. Die Anzahl der Punkte innerhalb eines Kreises mit dem Radius der Standardabweichung wird in H3 gezählt.
- 9.
Mittelwert von yF² in F3.
- 10.
Mittelwert von xF² in G3.
- 11.
Mittelwert von r 2M in H3.
- 12.
In I3 mit dem Steiner’schen Satz.
- 13.
J3 = [= F3 + G3].
- 14.
Die Teilkreisscheibe überlappt sich für einen Winkel 2π/0,3. Im Überlappungsbereich liegen doppelt so viele Punkte wie im Rest der Scheibe.
- 15.
Die Trägheitsmomente bei Rotation um die x- Achse sind die Mittelwerte von yF² in Spalte U.
- 16.
Die Wahrscheinlichkeit in einem Volumenelement dx dy an der Stelle (x, y) ist
\( \begin{aligned} p\left( x \right)\,p\left( y \right)\,\text{d}x\text{d}y\, & = \,c\, \cdot \,\exp \,\left( { - \frac{{x^{2} }}{2}} \right)\, \cdot \,\exp \,\left( { - \frac{{y^{2} }}{2}} \right) \\ = \,c\, \cdot \,\exp \,\left( { - \frac{{x^{2} \, + \,y^{2} }}{2}} \right)\, = \,c\, \cdot \,\exp \,\left( { - \frac{{r^{2} }}{2}} \right) \\ \end{aligned} \)
Zwei Eigenschaften spielen eine Rolle: (1) Bei Multiplikation von Exponentialfunktionen addieren sich die Argumente. (2) Satz des Pythagoras x² + y² = r².
- 17.
\(\langle r^2 \rangle\) existiert auch für Lorentz-verteilte Radien, weil die Divergenz des Integrals für r → ∞ auftritt. \(\langle 1/r \rangle\) ist für beide Verteilungen weiterhin instabil, weil die entsprechenden Integrale für r → 0 divergieren.
- 18.
Die Vorfaktoren werden so bestimmt, dass P(+1) − P(−1) = 1 gilt.
- 19.
K1/3000 = 1542/3000 = 0,514; Theoretisch: Volumen Kugel/Volumen Würfel = 4π/3/2³ = 0,524.
- 20.
Runde Klammern (…) werden verwendet, um Terme einzugrenzen, die z. B. quadriert werden. Spitze Klammern <…> bezeichnen Mittelwerte.
- 21.
Der Mittelwert(H6:H405) in H2 geht über 400 Werte. Der Mittelwert(_1_r) in L6 geht ebenfalls über 400 Werte, K6:K405.
- 22.
Das Zufallsexperiment wird imax = 1000-mal wiederholt. Über die 1000 Ergebnisse in J6:J1005 und M6:M1005 wird in J1 und M1 gemittelt.
- 23.
In den Zeilen 8, 9 und 10 wird die Tabelle verändert und damit werden alle Zufallszahlen neu berechnet.
- 24.
Die Zufallszahlen werden in jedem Schleifendurchlauf dreimal geändert, nämlich durch die Zeilen 8, 9 und 10.
- 25.
Man könnte nach Zeile 8 die automatische Berechnung in der Tabelle ausschalten und nach Zeile 10 wieder einschalten.
- 26.
Der Mittelwert wird über das Integral definiert, siehe Abschn. 10.1.1 von Band I!
- 27.
In A6:C405 stehen die Koordinaten für 400 Punkte.
- 28.
Innerhalb der Kugel kann ein Zufallspunkt beliebig nah an den Aufpunkt rücken und trägt dann viel zum Feld bei. Außerhalb der Kugel kann das nicht mehr passieren.
- 29.
a: r = Zufallszahl()^(1/4); linearer Anstieg der radialen Dichte; b: r = Zufallszahl()^(1/2), Abnahme der radialen Dichte mit 1/r.
- 30.
Die Summe in B1 soll ein Maß für das Integral über alle 400 Intervalle sein. In Summe(B7:B407) ist ein Term zu viel. Im konkreten Fall fällt das nicht ins Gewicht, weil der Wert in B407 schon sehr klein ist.
Author information
Authors and Affiliations
Corresponding author
Rights and permissions
Copyright information
© 2018 Springer-Verlag GmbH Deutschland, ein Teil von Springer Nature
About this chapter
Cite this chapter
Mergel, D. (2018). Monte-Carlo-Verfahren. In: Physik lernen mit Excel und Visual Basic. Springer Spektrum, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-662-57513-0_11
Download citation
DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-662-57513-0_11
Published:
Publisher Name: Springer Spektrum, Berlin, Heidelberg
Print ISBN: 978-3-662-57512-3
Online ISBN: 978-3-662-57513-0
eBook Packages: Life Science and Basic Disciplines (German Language)