Differenziation

Zusammenfassung

Wir kommen nun zu dem Begriff der Ableitung einer Funktion, dem wahrscheinlich wichtigsten Begriff der gesamten Analysis. Die Ableitung einer Funktion entspricht der Steigung ihres Graphen und gibt damit die Änderungsrate der Funktion an. Sie besitzt daher eine Vielzahl von theoretischen und praktischen Anwendungen.

Übungsaufgaben

A6.1

Auf steilen Straßen wird zur Warnung deren „Steigung“ auf einem Schild als Prozentzahl angegeben, z. B. $12\,\%$. Was hat diese „Steigung“ mit der mathematischen Steigung einer Geraden zu tun? Und was macht eine Straße mit $100\,\%$ Steigung?

A6.2

Beweise mit Hilfe des Differenzialquotienten, d. h. ohne Verwendung von Rechenregeln zur Differenziation, die folgenden Ableitungen:

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(4x^{3}\right)=12x^{2};\qquad\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\frac{1}{x^{2}}\right)=-\frac{2}{x^{3}}.$$

A6.3

Weil Tangenten Geraden sind, eine kleine Aufgabe zu Geraden: Noten sollen so berechnet werden, dass bei $100\,\%$ der Punkte eine $1{,}0$ und bei $50\,\%$ eine $4{,}0$ vergeben wird; dazwischen sollen sie linear interpoliert werden. Wie lautet die Vorschrift $n(p)$, mit der zu einer gegebenen Prozentzahl $p$ die zugehörige Note $n$ berechnet wird?

A6.4

Zur Übung einmal rückwärts: Bestimme ausgehend von der Ableitung des natürlichen Logarithmus, $(\ln x)^{\prime}=1/x$, die Ableitung der Exponentialfunktion.

A6.5

Ermittle die Gleichungen der Tangenten an die Normalparabel an den Stellen $-1$, 0 und 2.

A6.6

Leite die folgenden Funktionen jeweils nach $x$ ab:

$$\begin{aligned}\displaystyle&\displaystyle f_{1}(x)=4x^{4}-1,&\displaystyle&\displaystyle f_{2}(x)=\frac{3}{x^{3}}-\frac{2}{x^{2}}-\frac{1}{x},&\displaystyle&\displaystyle f_{3}(x)=\frac{x^{2}-7x+1}{3x^{3}+1},\\ \displaystyle&\displaystyle f_{4}(x)=\sin x\cos x,&\displaystyle&\displaystyle f_{5}(x)=\frac{\mathrm{e}^{x}\sin x}{3x^{2}},&\displaystyle&\displaystyle f_{6}(x)=\frac{2\mathrm{e}^{x}+4x^{2}+8}{\cos x\tan x}.\end{aligned}$$

A6.7

Wie lautet die Ableitung der Funktion Arcuscotangens, $x\mapsto\operatorname{arccot}x$?

A6.8

Muss man wissen, dass die Wurzelfunktionen $x\mapsto\sqrt[n]{x}$, $n\in\mathbb{N}\setminus\{0,1\}$, bei Null nicht differenzierbar sind, oder sieht man es der Ableitung an? Und wie sieht es bei der Betragsfunktion $x\mapsto|x|$ aus?

A6.9

Leite die folgenden Funktionen jeweils nach $x$ ab:

$$\begin{aligned}\displaystyle&\displaystyle f_{1}(x)=3\cos(kx),&\displaystyle&\displaystyle f_{2}(x)=\sqrt{2x^{2}+1},&\displaystyle&\displaystyle f_{3}(x)=\sqrt[3]{x},\\ \displaystyle&\displaystyle f_{4}(x)=x^{2}\ln x,&\displaystyle&\displaystyle f_{5}(x)=2^{x},&\displaystyle&\displaystyle f_{6}(x)=\sqrt{1+\cos^{2}(kx)},\\ \displaystyle&\displaystyle f_{7}(x)=4\tan^{2}(4x),&\displaystyle&\displaystyle f_{8}(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}},&\displaystyle&\displaystyle f_{9}(x)=\sin\left(\frac{1}{1+x^{2}}\right).\end{aligned}$$

A6.10

Jemand rechnet vor: $(\ln(2x))^{\prime}=\frac{1}{2x}\cdot 2=1/x$. Es ist aber auch $(\ln x)^{\prime}=1/x$. Hat er sich vertan? Oder ist doch alles in Ordnung?

A6.11

Es gibt doch die Formel $(x^{n})^{\prime}=nx^{n-1}$. Warum ist denn dann nicht einfach $(2^{x})^{\prime}=x2^{x-1}$? Oder ist das doch so und man schreibt es nur anders auf?

A6.12

Wir betrachten die Funktion $f$ mit der Funktionsvorschrift $f(x)=x^{5}-x^{3}$. Bestimme sämtliche Nullstellen der ersten und der zweiten Ableitung von $f$. Wie lauten die Gleichungen der Tangenten an den Graphen von $f$ an den Stellen $1$ und $-1$?

A6.13

Für $a\in\mathbb{R}^{*}$ betrachten wir die Funktionenschar $f_{a}:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ mit

$$f_{a}(x)=ax^{3}+x^{2}-\frac{x}{a}.$$

Zeige, dass die Funktionen genau drei Nullstellen besitzen, und ermittle die stationären Punkte der Funktionen.

A6.14

Wir betrachten die Funktion $f:\mathbb{R}^{*}\rightarrow\mathbb{R}$ mit $f(x)=\frac{x}{2}+\frac{2}{x}+2$.

• a) Die Funktion $f$ hat eine Nullstelle. Wie lautet die Gleichung der Tangente an den Graphen von $f$ an dieser Nullstelle?

• b) Bestimme sämtliche Extremstellen der Funktion $f$, also sowohl die lokalen als auch die globalen Minima und Maxima.

A6.15

Von einem rechteckigen Stück Pappe mit $a=16\,\mathrm{cm}$ Länge und $b=10\,\mathrm{cm}$ Breite werden an den Ecken gleiche Quadrate ausgeschnitten und aus dem Rest eine quaderförmige Schachtel gebildet. Wie groß muss man die Seitenlänge der Quadrate wählen, um für die Schachtel das größtmögliche Volumen zu erhalten?

A6.16

Die $400\,\mathrm{m}$-Laufbahn auf einem Sportplatz besteht bekanntlich aus zwei parallelen Strecken der Länge $l$ und zwei angesetzten Halbkreisen mit dem Radius $r$. Wie groß müssen $l$ und $r$ gewählt werden, damit das Spielfeld (d. h. die zwischen den parallelen Strecken liegende Rechteckfläche) möglichst groß wird?

A6.17

Ein Kanal mit $a=10\,\mathrm{m}$ Breite führt im rechten Winkel in einen Kanal, der eine Breite von $b=20\,\mathrm{m}$ besitzt. Durch die Kanäle sollen Baumstämme transportiert werden. Wie lang dürfen diese Baumstämme höchstens sein, damit sie aus dem schmalen Kanal vollständig in den breiten Kanal geschoben werden können?

A6.18

Auch wenn wir die Grenzwerte teilweise schon kennen: Verwende hier ggf. die Regel von l’Hospital, um sie zu berechnen.

$$\begin{aligned}\displaystyle&\displaystyle(1)\ \lim_{x\rightarrow 0}\frac{\mathrm{e}^{x}-1}{3x}&\displaystyle&\displaystyle(2)\ \lim_{x\searrow 0}(x\ln(2x))&\displaystyle&\displaystyle(3)\ \lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin(3x)}{2x}\\ \displaystyle&\displaystyle(4)\ \lim_{x\searrow\pi/2}\frac{\sin x}{\cos x}&\displaystyle&\displaystyle(5)\ \lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x}{\tan x}&\displaystyle&\displaystyle(6)\ \lim_{x\rightarrow\infty}\frac{3x^{2}+x+2^{2x}}{2x^{3}+\ln x}.\end{aligned}$$