Zusammenfassung
Das Unendliche. – Schon in der Antike haben sich Philosophen mit dem Begriff des Unendlichen befasst. Nach der damals verbreiteten Lehrmeinung der Schule des Aristoteles durfte es dabei aber lediglich als potentiell unendlich gedacht werden, also im Sinne des immer weiter Zählens \(1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; \ldots \) usw. Nicht erlaubt war dagegen die Vorstellung eines aktual Unendlichen, also z. B. einer echt unendlich großen Zahl, mit der man wie gewöhnlich umgehen und rechnen kann. Wie man solche Zahlen „herstellt“, mit ihnen Differential- und Integralrechnung betreibt und damit auf Grenzwerte vollständig verzichten kann, zeigt dieses Buch.
This is a preview of subscription content, log in via an institution.
Buying options
Tax calculation will be finalised at checkout
Purchases are for personal use only
Learn about institutional subscriptionsNotes
- 1.
Robinson selbst nennt dort die erweiterte Menge reelle Zahlen und die „alten“ reellen Zahlen „Standardzahlen“.
- 2.
In vielen Lehrplänen wird heutzutage so etwas wie ein „inhaltlich-anschaulicher Grenzwertbegriff“ verlangt. Damit können eigentlich nur die hyperreellen Zahlen gemeint sein.
- 3.
Robinsons Nachweis selbst kann nicht Inhalt der Schulmathematik sein, aber Lernende haben ein erstaunlich gutes Gefühl für diese Zahlen und das Rechnen mit ihnen, wie zum Beispiel die Dissertation von Hauke Friedrich gezeigt hat [2].
- 4.
In dem schönen Buch von Bedürftig und Morawski [1] wird diese Problematik vor dem Hintergrund einer Untersuchung von L. Bauer ausführlich beschrieben (siehe dort).
- 5.
Vermutlich zeigt sich hier eine grundlegende Schwierigkeit vieler Lernender im Verständnis des Grenzwertbegriffs.
- 6.
Schmieden und Laugwitz haben schon 1958 eine Erweiterung der reellen Zahlen in diesem Sinne vorgeschlagen [11].
- 7.
Kurt Friedrich Gödel (1906–1978).
Literatur
Bedürftig, T., Morawski, R.: Philosophie der Mathematik. De Gruyter, Berlin (2015)
Friedrich, H.: Schülerinnen- und Schülervorstellungen vom Grenzwertbegriff beim Ableiten. Dissertation, Universität Gesamthochschule Paderborn (2001)
Henle, J.M., Kleinberg, E.M.: Infinitesimal Calculus. Dover Publications, Mineola (2003)
Jahnke, H.N. (Hrsg.): Geschichte der Analysis. Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg (2009)
Keisler, H.J.: Elementary Calculus – An Infinitesimal Approach, 3. Aufl. Dover Publications, Mineola (2012)
Keisler, H.J.: Elementary Calculus – An Infinitesimal Approach (überarb. 2. Aufl.). http://www.math.wisc.edu/~keisler/calc.html
Keisler, H.J.: Foundations of Infinitesimal Calculus. Prindle, Weber & Schmidt, Boston (1976)
Keisler, H.J.: Foundations of Infinitesimal Calculus. http://www.math.wisc.edu/~keisler/calc.html
Robinson, A.: Non-standard Analysis. North-Holland Publishing Company, Amsterdam (1966)
Robinson, A.: Non-standard Analysis (Rev. ed.). Princeton University Press, Princeton (1996)
Schmieden, C., Laugwitz, D.: Eine Erweiterung der Infinitesimalrechnung. Math. Zeitschr. 69, 1–39 (1958)
Sonar, T.: 3000 Jahre Analysis. Springer, Berlin (2016)
Author information
Authors and Affiliations
Corresponding author
Rights and permissions
Copyright information
© 2019 Springer-Verlag GmbH Deutschland, ein Teil von Springer Nature
About this chapter
Cite this chapter
Baumann, P., Kirski, T. (2019). Einleitung. In: Infinitesimalrechnung. Springer Spektrum, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-662-56792-0_1
Download citation
DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-662-56792-0_1
Published:
Publisher Name: Springer Spektrum, Berlin, Heidelberg
Print ISBN: 978-3-662-56791-3
Online ISBN: 978-3-662-56792-0
eBook Packages: Life Science and Basic Disciplines (German Language)