Spezielle Funktionen – nützliche Helfer

Zusammenfassung

Wir haben inzwischen viele Funktionen kennengelernt, die sich in den verschiedensten Situationen als nützlich oder gar unentbehrlich erwiesen haben. Zu diesen elementaren Funktionen zählen Polynome, Winkelfunktionen, die Exponentialfunktion, Hyperbelfunktionen, Logarithmen, Arkus- und Areafunktionen.

Einige Male sind wir aber auch an die Grenzen dessen gestoßen, was sich mit diesen Funktionen darstellen lässt. Insbesondere bei Integralen und bei Differenzialgleichungen gab es immer wieder Lösungen, die aus dem Bereich der elementaren Funktionen herausführten.

Nun ist unsere Vorstellung von dem, was elementare Funktionen sind, letztlich willkürlich. Man kann das Arsenal der verfügbaren Funktionen ohne Probleme vergrößern, indem man weitere „spezielle Funktionen“ hinzunimmt, die sich nicht mit den bisher verfügbaren elementaren Funktionen darstellen lassen.

Einen solchen Fall, die Gammafunktion, haben wir bereits kennengelernt, ein weiteres wichtiges Beispiel sind etwa die Zylinderfunktionen. Derartige spezielle Funktionen sind in keiner Weise fundamental anders. Wie schon gewohnt werden sie durch Potenzreihen, als Lösungen von Differenzialgleichungen oder als Parameterintegrale gegeben.

Speziell an ihnen ist lediglich, dass ihre Anwendbarkeit auf einen schmaleren Bereich beschränkt ist und sie deswegen auch nicht so bekannt sind. Viele Probleme der angewandten Mathematik führen jedoch auf solche Funktionen – die Schwingung einer kreisförmigen Membran ebenso wie die quantenmechanische Behandlung des Wasserstoffatoms.

Appendices

Zusammenfassung

1.1 Die Gammafunktion

Die Gammafunktion verallgemeinert die Fakultät auf komplexe Argumente.

Definition der Gammafunktion (für positive Argumente)

Die Gammafunktion $\Gamma$ ist für beliebige $x\in\mathbb{R}_{> 0}$ definiert als

$$\displaystyle\Gamma(x)=\int_{0}^{\infty}t^{x-1}\,\mathrm{e}^{-t}\,\mathrm{d}t$$

und erfüllt die Funktionalgleichung

$$\displaystyle\Gamma(1+x)=x\,\Gamma(x)\,.$$

Für $n\in\mathbb{N}_{0}$ gilt $\Gamma(n+1)=n!$.

Die Werte der Gammafunktion an verschiedenen Stellen sind durch mehrere Funktionalgleichungen verknüpft. Insbesondere gelten der Ergänzungssatz $\Gamma(z)\,\Gamma(1-z)=\frac{\pi}{\sin(\pi z)}$ und die Verdopplungsformel

$$\displaystyle\Gamma(2z)=\frac{1}{\sqrt{\pi}}\,2^{2z-1}\,\Gamma\left(z\right)\,\Gamma\left(z+\frac{1}{2}\right)\,.$$

Stirling-Formel

Für große Werte von $n$ gilt die Formel von Stirling:

$$\begin{aligned}\displaystyle n!&\displaystyle=n^{n}\,\mathrm{e}^{-n}\,\sqrt{2\pi n}\,\left(1+O(\textstyle\frac{1}{n})\right)\\ \displaystyle&\displaystyle\sim n^{n}\,\mathrm{e}^{-n}\,\sqrt{2\pi n}\end{aligned}$$

Während der absolute Fehler dieser Näherung für $n\to\infty$ divergiert, geht der relative Fehler gegen null.

1.2 Differenzialgleichungen aus Separationsansätzen

Verschiedene wichtige gewöhnliche Differenzialgleichungen zweiter Ordnung ergeben sich aus der Separation von partiellen Differenzialgleichungen.

Bei Separation der Laplace-Gleichung in Zylinderkoordinaten erhält man die Bessel’sche Differenzialgleichung

$$\displaystyle u^{\prime\prime}+\frac{1}{x}\,u^{\prime}+\left(1-\frac{n^{2}}{x^{2}}\right)\,u=0\,.$$

Aus dem Winkelanteil des Laplace-Operators erhält man bei Separation in Kugelkoordinaten die Legendre’sche Differenzialgleichung

$$\displaystyle(1-x^{2})\,u^{\prime\prime}-2x\,u^{\prime}+\left(\lambda-\frac{m^{2}}{1-x^{2}}\right)u=0\,.$$

Besonders wichtig ist hier der rotationssymmetrische Fall $m= 0$.

1.3 Das Sturm-Liouville-Problem

Wir können viele Differenzialgleichungen als Eigenwertprobleme formulieren und mit Methoden ähnlich denen aus der linearen Algebra lösen. Das gelingt auf jeden Fall für Differenzialgleichungen vom Sturm-Liouville-Typ.

Sturm-Liouville-Operator

Ein auf $C^{2}[a,\,b]$ definierter Differenzialoperator der Form

$$\displaystyle\mathcal{L}\,y=(r\,y^{\prime})^{\prime}+q\,y\,\quad\left\{\begin{array}[]{@{}r@{}l@{}}\alpha_{1}\,y(a)+\alpha_{2}\,y^{\prime}(a)&{}=0\\ \beta_{1}\,y(b)+\beta_{2}\,y^{\prime}(b)&{}=0\end{array}\right.$$

mit Konstanten $\alpha_{i}$, $\beta_{k}\in\mathbb{R}$ (wobei $\alpha_{1}$ und $\alpha_{2}$ bzw. $\beta_{1}$ und $\beta_{2}$ jeweils nicht gleichzeitig null sein dürfen) wird Sturm-Liouville-Operator genannt, die Eigenwertgleichung

$$\displaystyle\mathcal{L}\,y+\lambda\,y=0$$

Sturm-Liouville-Problem.

Die Lösungen eines Sturm-Liouville-Problems zu verschiedenen Eigenwerten sind orthogonal bezüglich des Skalarprodukts $\langle f,\,g\rangle=\int_{a}^{b}f(x)\,g(x)\,\mathrm{d}x$.

Durch Einführung einer Gewichtsfunktion und eines allgemeinen Skalarprodukts lässt sich jede lineare Differenzialgleichung zweiter Ordnung auf Sturm-Liouville-Form bringen.

1.4 Orthogonalpolynome und Kugelfunktionen

Für viele Differenzialgleichungen vom Sturm-Liouville-Typ lassen sich Polynomlösungen angeben. So ergeben sich etwa die Legendre-Polynome als Lösungen der Legendre’schen Differenzialgleichung. Diese Polynome erfüllen die Orthogonalitätsbeziehung:

$$\displaystyle\int_{-1}^{1}P_{n}(x)\,P_{m}(x)\,\mathrm{d}x=\begin{cases}\frac{1}{n+1/2}&\text{f{\"u}r }m=n\\ 0&\text{sonst}\end{cases}$$

Verschiedene verallgemeinerte Skalarprodukte

$$\displaystyle\langle f,\,g\rangle=\int_{a}^{b}f(x)\,p(x)\,g(x)\,\mathrm{d}x$$

liefern verschiedene Familien von orthogonalen Polynomen. Derartige Orthogonalpolynome lassen sich zum Beispiel durch einen Ableitungsoperator darstellen. Mit der Gewichtsfunktion $p$ gilt dabei die Formel von Rodriguez

$$\displaystyle Q_{n}(x)=N_{n}\frac{1}{p(x)}\,\frac{\mathrm{d}^{n}}{\mathrm{d}x^{n}}\left(p(x)\,\beta^{n}(x)\right)$$

mit Normierungsfaktoren $N_{n}$.

1.5 Lösungen der allgemeinen Legendre- Gleichung lassen sich aus den Legendre-Polynomen ableiten

Zugeordnete Legendre-Funktionen

Die Funktionen

$$\displaystyle P_{n}^{m}(x)=(1-x^{2})^{m/2}\frac{\mathrm{d}^{m}}{\mathrm{d}x^{m}}P_{n}(x)$$

(mit $n\in\mathbb{N}$ und $m\in\mathbb{N}_{0}$, $m\leq n$) heißen zugeordnete Legendre-Funktionen. Sie sind die Lösungen der Legendre-Gleichung

$$\displaystyle(1-x^{2})u^{\prime\prime}-2x\,u^{\prime}+\left(n\,(n+1)-\frac{m^{2}}{1-x^{2}}\right)u=0\,.$$

Mithilfe dieser Funktionen können wir die Kugelflächenfunktionen definieren. Diese bilden ein Basissystem auf der Kugeloberfläche.

Orthonormalität der Kugelflächenfunktionen

Die komplexen Kugelflächenfunktionen

$$\begin{aligned}\displaystyle Y_{l}^{m}(\vartheta,\,\varphi)&\displaystyle=(-1)^{m}\,\sqrt{\frac{2l+1}{4\pi}\,\frac{(l-m)!}{(l+m)!}}\,P_{l}^{m}(\cos\vartheta)\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}m\varphi}\\ \displaystyle Y_{l}^{-m}&\displaystyle=(-1)^{m}\,\overline{Y_{l}^{m}}\end{aligned}$$

bilden auf der Einheitskugel ein Orthogonalsystem mit

$$\displaystyle\iint_{S^{2}}Y_{m}^{k}(\vartheta,\varphi)\overline{Y_{n}^{l}}(\vartheta,\varphi)\,\mathrm{d}\Omega=\delta_{mn}\,\delta_{kl}\,.$$

1.6 Zylinderfunktionen

Wir nennen Lösungen der Bessel’schen Differenzialgleichung Zylinderfunktionen. Diese lassen sich im Allgemeinen nicht mehr durch elementare Funktionen ausdrücken.

Reihendarstellung der Besselfunktionen

Für die Besselfunktionen $J_{\lambda}$ erhalten wir die Reihendarstellung

$$\displaystyle J_{\lambda}(z)=\left(\frac{z}{2}\right)^{\lambda}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^{k}}{k!\,\Gamma(1+k+\lambda)}\,\left(\frac{z}{2}\right)^{2k}$$

für $z\in\mathbb{C}$ und $\lambda\in\mathbb{C}\setminus\mathbb{Z}_{<0}$. Die Funktion kann nach $\lambda\in\mathbb{Z}_{<0}$ holomorph fortgesetzt werden.

Für $\lambda=n\in\mathbb{Z}$ sind die Funktionen $J_{n}$ und $J_{-n}$ nicht linear unabhängig, entsprechend benötigt man eine zweite Art von Zylinderfunktionen.

Neumannfunktionen

Die Neumannfunktionen

$$\begin{aligned}\displaystyle N_{\lambda}(z)&\displaystyle=\frac{\cos(\lambda\pi)J_{\lambda}(z)-J_{-\lambda}(z)}{\sin(\lambda\pi)}\quad\text{f{\"u}r }\lambda\notin\mathbb{Z}\\ \displaystyle N_{n}(z)&\displaystyle=\lim_{\lambda\to n}N_{\lambda}(z)\quad\text{f{\"u}r }n\in\mathbb{N}\end{aligned}$$

sind jeweils linear unabhängig von $J_{\lambda}$. Daher ist $\{J_{n},\,N_{n}\}$ ein Fundamentalsystem der Bessel’schen Differenzialgleichung für $\lambda=n$.

Gelegentlich werden Bessel- und Neumannfunktionen zu Hankelfunktionen kombiniert.

1.7 Sphärische Besselfunktionen

Die sphärischen Besselfunktionen

$$\displaystyle j_{n}(z)=\sqrt{\frac{2}{\pi z}}\,J_{n+\frac{1}{2}}(z)$$

lassen sich durch elementare Funktionen ausdrücken. Sie tauchen unter anderem als Koeffizienten der Entwicklung einer ebenen räumlichen Welle nach Kugelfunktionen auf.

Bonusmaterial

Im Bonusmaterial besprechen wir einige weitere Eigenschaften der Gammafunktion sowie einer weiteren verwandten Funktion, der Betafunktion. Orthogonalpolynome, aber auch beispielsweise Zylinderfunktionen lassen sich besonders bequem mithilfe von erzeugenden Funktionen beschreiben. Mit deren Hilfe können wir beispielsweise verschiedenste Rekursionsformeln ableiten.

Neben den hier vorgestellten speziellen Funktionen gibt es noch einige weitere Arten, die in diversen Anwendungen eine Rolle spielen. Hier sind insbesondere hypergeometrische Funktionen zu nennen, aber auch auf elliptische Funktionen werden wir kurz eingehen und in einer Vertiefung auch eine der geheimnisvollsten Funktionen überhaupt diskutieren – die Riemann’sche Zetafunktion.

Für große Argumente lassen sich spezielle Funktionen oft durch einfachere Ausdrücke annähern – die Stirling-Formel ist dafür ein Paradebeispiel. Wir gehen der Frage nach, wie sich solche asymptotischen Entwicklungen für allgemeine Funktionen gewinnen lassen und welche Eigenschaften sie haben.

Aufgaben

Die Aufgaben gliedern sich in drei Kategorien: Anhand der Verständnisfragen können Sie prüfen, ob Sie die Begriffe und zentralen Aussagen verstanden haben, mit den Rechenaufgaben üben Sie Ihre technischen Fertigkeiten und die Anwendungsprobleme geben Ihnen Gelegenheit, das Gelernte an praktischen Fragestellungen auszuprobieren.

Ein Punktesystem unterscheidet leichte Aufgaben •, mittelschwere •• und anspruchsvolle ••• Aufgaben. Lösungshinweise am Ende des Buches helfen Ihnen, falls Sie bei einer Aufgabe partout nicht weiterkommen. Dort finden Sie auch die Lösungen – betrügen Sie sich aber nicht selbst und schlagen Sie erst nach, wenn Sie selber zu einer Lösung gekommen sind. Ausführliche Lösungswege, Beweise und Abbildungen finden Sie auf der Website zum Buch.

Viel Spaß und Erfolg bei den Aufgaben!

3.1 Verständnisfragen

34.1

• Was ist der entscheidende Unterschied zwischen „elementaren“ und „speziellen“ Funktionen.

34.2

•• Begründen Sie ohne Rechnung, dass es Zahlen $a_{1}$ bis $a_{4}$ geben muss, sodass

$$\displaystyle P_{3}(x)\,P_{4}(x)=a_{1}\,P_{1}(x)+a_{2}\,P_{3}(x)+a_{3}\,P_{5}(x)+a_{4}\,P_{7}(x)$$

ist. Kann es Zahlen $b_{1}$ bis $b_{4}$ mit $b_{4}\neq 0$ bzw. $c_{1}$ bis $c_{4}$ geben, sodass

$$\begin{aligned}\displaystyle P_{3}(x)\,P_{4}(x)&\displaystyle=b_{1}\,P_{3}(x)+b_{2}\,P_{5}(x)+b_{3}\,P_{7}(x)+b_{4}\,P_{9}(x)\\ \displaystyle P_{3}(x)\,P_{4}(x)&\displaystyle=c_{1}\,P_{0}(x)+c_{2}\,P_{2}(x)+c_{3}\,P_{4}(x)+c_{4}\,P_{6}(x)\end{aligned}$$

ist?

34.3

• Welche der folgenden Aussagen sind richtig?

• 1. Zylinderfunktionen treten bei Separation als Funktionen des Abstands $\rho$ von der $x_{3}$-Achse auf.

• 2. Zylinderfunktionen sind auf einem Zylinder $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=\rho_{0}^{2}$ definiert.

• 3. Kugelflächenfunktionen treten bei Separation als Funktionen des Abstands $r$ vom Ursprung $\mathbf{0}$ auf.

• 4. Kugelflächenfunktionen sind auf einer Kugel $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}=r_{0}^{2}$ definiert.

34.4

•• Ein spezielles zylindersymmetrisches Problem, definiert für $\varrho\leq b$, mit einer Randbedingung für $\varrho=b$ führt auf eine Bessel’sche Differenzialgleichung mit ganzzahligem Parameter $n$. Benötigen Sie für die Lösung des Problems (a) die Besselfunktion $J_{n}$, (b) die Neumannfunktion $N_{n}$ oder (c) beide? Was ändert sich, wenn Ihr Problem in $a\leq\varrho<b$ definiert ist und Sie Randbedingungen für $\varrho=a$ und $\varrho=b$ zu erfüllen haben?

3.2 Rechenaufgaben

34.5

• Bestimmen Sie $\Gamma(6)$, $\Gamma(13/2)$ und $\Gamma(-5/2)$.

34.6

•• Zeigen Sie für $\mathop{\mathrm{Re}}z\geq 0$, $z\neq 0$ die Beziehung $\Gamma(\bar{z})=\overline{\Gamma(z)}$. (Diese Beziehung gilt tatsächlich sogar für alle $z\in D(\Gamma)$.) Beweisen Sie damit

$$\displaystyle\left|\Gamma(\mathrm{i}x)\right|^{2}=\frac{\pi}{x\,\sinh(\pi x)}$$

für $x\in\mathbb{R}_{\neq 0}$.

34.7

•• Zeigen Sie die Beziehung

$$\displaystyle\frac{\Gamma^{\prime}\left(\frac{1}{2}\right)}{\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)}=\frac{\Gamma^{\prime}(1)}{\Gamma(1)}-2\,\ln 2\,.$$

34.8

•• Zeigen Sie die Beziehung

$$\displaystyle\Gamma\left(\frac{1}{6}\right)=\sqrt{\frac{3}{\pi}}\,2^{-1/3}\,\Gamma^{2}\left(\frac{1}{3}\right)\,.$$

34.9

• Zeigen Sie, dass die Legendre’schen Differenzialgleichung

$$\displaystyle(1-x^{2})u^{\prime\prime}-2xu^{\prime}+\lambda\,u=0$$

für den Potenzreihenansatzes $u(x)=\sum_{k=0}^{\infty}a_{k}\,x^{k}$ die Rekursionsformel

$$\displaystyle a_{k+2}=\frac{k\,(k+1)-\lambda}{(k+2)\,(k+1)}\,a_{k}\,.$$

liefert.

34.10

•• Zeigen Sie, dass die Koeffizienten von

$$\displaystyle\frac{\mathrm{d}^{n}}{\mathrm{d}x^{n}}(x^{2}-1)^{n}$$

die Rekursionsformel

$$\displaystyle a_{k+2}=\frac{k\,(k+1)-n\,(n+1)}{(k+2)\,(k+1)}\,a_{k}\,.$$

erfüllen.

34.11

• Zeigen Sie mittels Reihendarstellung der Besselfunktionen die Relation

$$\displaystyle J_{-n}(z)=(-1)^{n}J_{n}(z)\,.$$

34.12

•• Bestimmen Sie mithilfe der Rodriguez-Formel explizit $P_{5}$. Entwickeln Sie die Funktionen $f$ und $g$, $[-1,\,1]\to\mathbb{R}$ nach Legendre-Polynomen:

• $f(x)=\sin\frac{\pi x}{2}$ bis zur fünften Ordnung

• $g(x)=x^{5}+x^{2}$

34.13

•• Zeigen Sie die Beziehungen

$$\begin{aligned}\displaystyle\mathrm{e}^{\frac{z}{2}\,\left(t-\frac{1}{t}\right)}&\displaystyle=\sum_{k=-\infty}^{\infty}J_{k}(z)\,t^{k}\\ \displaystyle z\,\left(J_{n-1}+J_{n+1}(z)\right)&\displaystyle=2n\,J_{n}(z)\end{aligned}$$

durch Benutzung der Reihendarstellung der Besselfunktionen.

34.14

• Die Tschebyschev-Polynome können über die Beziehung

$$\displaystyle T_{n}(t)=\cos(n\,\arccos t)\quad\text{f{\"u}r}\;t\in[-1,\,1]$$

definiert werden. Bestimmen Sie $T_{1}$ und $T_{2}$ und drücken Sie für $n\geq 1$ allgemein $T_{n+1}(t)$ durch $T_{n}(t)$ und $T_{n-1}(t)$ aus. (Hinweis: Benutzen Sie die trigonometrischen Identität $\cos((n+1)x)=2\,\cos x\,\cos(nx)-\cos((n-1)x)$.)

3.3 Anwendungsprobleme

34.15

•• Zu höheren Dimensionen:

• Welcher Anteil des Volumens einer zehndimensionalen Orange nimmt in etwa die Schale ein, wenn die Dicke der Schale ein Zehntel des Radius ausmacht? Vergleichen Sie mit dem Wert für herkömmliche dreidimensionale Orangen. Wie ist das Verhältnis bei der $100$-dimensionalen Variante?

• In einer hypothetischen (räumlich) $5$-dimensionalen Welt sei das Gravitationspotenzial $\Phi$ einer Masse $M$ weiterhin sphärisch symmetrisch. Die Gravitationskraft $\boldsymbol{F}_{g}$ auf eine kleine Probemasse $m$ sei $\boldsymbol{F}_{g}=-m\,\mathop{\mathbf{grad}}\Phi$, und für beliebige Radien $R$ gelte analog zum Dreidimensionalen

  $$\displaystyle\int_{S_{R}^{4}}\,\boldsymbol{F}_{g}\cdot\boldsymbol{\mathrm{d}}\sigma=\gamma\,M\,m$$

  mit einer Konstanten $\gamma$. Welche Form hat das Gravitationspotenzial in dieser Welt?

34.16

•• Für die Legendre-Polynome gibt es eine Darstellung mittels ihrer erzeugenden Funktion

$$\displaystyle\frac{1}{\sqrt{1-2xt+t^{2}}}=\sum_{n=0}^{\infty}P_{n}(x)\,t^{n}\,.$$

(34.4)

(Erzeugende Funktionen werden im Bonusmaterial genauer diskutiert.)

Wir betrachten zwei gleiche Punktladungen $q$, die mit Abstand $d$ voneinander angebracht sind. Drücken Sie das Potenzial dieser Ladungskonfiguration in Kugelkoordinaten ohne Verwendung von Wurzeln aus. Welchen Näherungsausdruck erhalten Sie für das Potenzial in sehr großem Abstand von den beiden Ladungen? (Das Potenzial einer Punktladung $q$ an der Stelle $\boldsymbol{p}$ ist $V(\boldsymbol{x})=\frac{q}{4\,\pi\,\varepsilon_{0}}\,\frac{1}{\|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{p}\|}$.)

Antworten der Selbstfragen

Antwort 1

Für die Gleichung erster Ordnung liefert der Exponentialansatz

$$\displaystyle T(t)=c\,\mathrm{e}^{-\alpha\,t}\,,$$

für die Gleichung zweiter Ordnung bei $\alpha\neq 0$

$$\displaystyle T(t)=c_{1}\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\sqrt{\alpha}t}+c_{2}\,\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\sqrt{\alpha}t}=\tilde{c}_{1}\,\sin(\sqrt{\alpha}\,t)+\tilde{c}_{2}\,\cos(\sqrt{\alpha}\,t)\,,$$

bei $\alpha=0$ einfach $T(t)=c_{1}+c_{2}\,t$.

Antwort 2

Die Lösung einer linearen gewöhnlichen Differenzialgleichung zweiter Ordnung enthält zwei freie Konstanten, durch zwei Bedingungen wird also bereits eindeutig eine Lösung bestimmt. Jede weitere Bedingung ist entweder trivial erfüllt oder nicht erfüllbar.

Antwort 3

Wir haben $r=a_{2}$ und $q=a_{0}$ gesetzt, zudem muss, wie gerade nachgerechnet, $r^{\prime}=a_{1}$ sein.

Antwort 4

Ja, das liefert allerdings lediglich die triviale Lösung $u=0$.

Antwort 5

Wir erhalten zum Beispiel:

$$\begin{aligned}\displaystyle\langle P_{0},\,P_{4}\rangle&\displaystyle=\int_{-1}^{1}P_{0}(x)\,P_{4}(x)\,\mathrm{d}x\\ \displaystyle&\displaystyle=\frac{1}{8}\int_{-1}^{1}\left(35x^{4}-30x^{2}+3\right)\,\mathrm{d}x\\ \displaystyle&\displaystyle=\frac{1}{4}\int_{0}^{1}\left(35x^{4}-30x^{2}+3\right)\,\mathrm{d}x\\ \displaystyle&\displaystyle=\frac{1}{4}\left.\left[7x^{5}-10x^{3}+3x\right]\right|_{0}^{1}=0\end{aligned}$$

Für gerades $n$ und ungerades $m$ folgt das Verschwinden des Integrals unmittelbar aus den Symmetrieeigenschaften.