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Mathematik pp 1209-1252 | Cite as

Funktionentheorie – von komplexen Zusammenhängen

  • Tilo ArensEmail author
  • Frank Hettlich
  • Christian Karpfinger
  • Ulrich Kockelkorn
  • Klaus Lichtenegger
  • Hellmuth Stachel
Chapter

Zusammenfassung

Bisher haben wir komplexwertige Funktionen nur sehr oberflächlich studiert. Insbesondere haben wir uns nicht weiter mit der Frage beschäftigt, ob man solche Funktionen \(\mathbb{C}\to\mathbb{C}\) auch auf sinnvolle Weise differenzieren kann. Und auch wenn wir schon gelegentlich komplexwertige Funktionen integriert haben, so ist das doch nur entlang der reellen Achse passiert, Integrationen auf anderen Kurven der komplexen Ebene sind bisher unterblieben. All das wollen wir nun nachholen.

Dabei zeigt sich, dass komplexe Differenzierbarkeit eine sehr starke Eigenschaft ist, die nur wenige Funktionen besitzen. Glücklicherweise sind darunter jene, die für uns besondere Bedeutung haben, nämlich die uns bekannten elementaren Funktionen.

Der starke Zusammenhang und die besonderen Eigenschaften, die komplex differenzierbare Funktionen haben, eröffnen Zusammenhänge, die allein im Reellen keineswegs offensichtlich sind. Folgerichtig ist die Stärke der komplexen Differenzierbarkeit ein zentrales Thema dieses Kapitels und Fundament der Funktionentheorie.

Zudem hängt komplexes Differenzieren eng mit komplexem Integrieren zusammen. So lässt sich die Integration komplex differenzierbarer Funktionen oft auf sehr einfache Weise ausführen. Die entsprechenden Techniken können zudem noch benutzt werden, um auch bestimmte reelle Integrale zu berechnen.

Supplementary material

Copyright information

© Springer-Verlag GmbH Deutschland, ein Teil von Springer Nature 2018

Authors and Affiliations

  • Tilo Arens
    • 1
    Email author
  • Frank Hettlich
    • 2
  • Christian Karpfinger
    • 3
  • Ulrich Kockelkorn
    • 4
  • Klaus Lichtenegger
    • 5
  • Hellmuth Stachel
    • 6
  1. 1.Fakultät für MathematikKarlsruher Institut für Technologie (KIT)KarlsruheDeutschland
  2. 2.Fakultät für MathematikKarlsruher Institut für Technologie (KIT)KarlsruheDeutschland
  3. 3.Zentrum Mathematik – M12TU MünchenMünchenDeutschland
  4. 4.TU BerlinBerlinDeutschland
  5. 5.Bioenergy2020+ GmbHGraz/WieselburgÖsterreich
  6. 6.Institut für Diskrete Mathematik und GeometrieTU WienWienÖsterreich

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