Gebietsintegrale – das Ausmessen von Körpern

Zusammenfassung

Nachdem wir im vorangegangenen Kapitel die Differenzialrechnung in das Mehrdimensionale übertragen haben, wollen wir nun den ersten Schritt unternehmen, auch die Integralrechnung auf höhere Dimensionen zu übertragen. Es gibt dabei viele verschiedene Integralbegriffe im Mehrdimensionalen, zum Beispiel Kurvenintegrale oder Oberflächenintegrale, mit denen wir uns erst im Kap. 27 beschäftigen werden. In diesem Kapitel wird es dagegen ausschließlich um sogenannte Gebietsintegrale gehen.

Kennzeichnend für Gebietsintegrale ist, dass die Dimension des Integrationsgebiets mit der Dimension des betrachteten Raums übereinstimmt. Im Zweidimensionalen integrieren wir über einen ebenen Bereich, im Dreidimensionalen über ein Volumen. Typische Anwendungen dieser Integrale sind die Berechnung von Volumen, Massen oder Schwerpunkten von Körpern.

Aus mathematischer Sicht sind die Gebietsintegrale, wenn man das schon bekannte Lebesgue-Integral aus dem Eindimensionalen als Spezialfall hinzuzählt, die Basis für die Definition der oben schon erwähnten komplizierteren Integraltypen. Es ist dieses Fundament, auf dem die Sätze der Vektoranalysis in Integralform und dadurch die mathematischen Modelle für die unterschiedlichsten naturwissenschaftlichen Theorien aufbauen, zum Beispiel die Maxwell’schen Gleichungen in der Elektrodynamik oder die Navier-Stokes’schen Gleichungen der Strömungsmechanik. Für die Physik und die Ingenieurwissenschaften spielt das Gebietsintegral also eine entscheidende Rolle.

Appendices

Zusammenfassung

Für die Definition eines Gebietsintegrals gehen wir von Treppenfunktionen aus. Das sind Funktionen, die auf endlich vielen Quadern eine Konstante als Wert besitzen und außerhalb dieser Quader null sind. Integrale über Treppenfunktionen sind Summen über die Volumen dieser Quader multipliziert mit dem Wert der Treppenfunktion.

1.1 Gebietsintegrale ergeben sich als Grenzwerte von Integralen über Treppenfunktionen

Lebesgue-integrierbare Funktionen

Für ein Gebiet $D\subseteq\mathbb{R}^{n}$ ist die Menge $L^{\uparrow}(D)$ die Menge derjenigen Funktionen, die fast überall in $D$ Grenzwert einer monoton wachsenden Folge von Treppenfunktionen $(\varphi_{k})$ sind und für die die Folge $\left(\int_{D}\varphi_{k}(\boldsymbol{x})\,\mathrm{d}\boldsymbol{x}\right)$ konvergiert. Für $f\in L^{\uparrow}(D)$ ist

$$\displaystyle\int_{D}f(\boldsymbol{x})\,\mathrm{d}\boldsymbol{x}=\lim_{k\to\infty}\int_{D}\varphi_{k}(\boldsymbol{x})\,\mathrm{d}\boldsymbol{x}.$$

Die Menge $L(D)$, definiert durch

$$\begin{aligned}\displaystyle L(D)&\displaystyle=L^{\uparrow}(D)-L^{\uparrow}(D)\\ \displaystyle&\displaystyle=\{f=f_{1}-f_{2}:f_{1},f_{2}\in L^{\uparrow}(D)\}\end{aligned}$$

heißt die Menge der Lebesgue-integrierbaren Funktionen über $D$. Für $f\in L(D)$ ist das Integral definiert durch

$$\displaystyle\int_{D}f(\boldsymbol{x})\,\mathrm{d}\boldsymbol{x}=\int_{D}f_{1}(\boldsymbol{x})\,\mathrm{d}\boldsymbol{x}-\int_{D}f_{2}(\boldsymbol{x})\,\mathrm{d}\boldsymbol{x}.$$

Zur Berechnung von Gebietsintegralen betrachtet man zunächst die einfache Situation, dass der Integrationsbereich ein Quader ist. Der Satz von Fubini führt ein solches Gebietsintegral auf eindimensionale Integrale zurück.

Satz von Fubini

Sind $I\subseteq\mathbb{R}^{p}$ und $J\subseteq\mathbb{R}^{q}$ (möglicherweise unbschränkte) Quader sowie $f\in L(Q)$ eine auf dem Quader $Q=I\times J\subseteq\mathbb{R}^{p+q}$ integrierbare Funktion, so gibt es Funktionen $g\in L(I)$ und $h\in L(J)$ mit

$$\begin{aligned}\displaystyle&\displaystyle g(\boldsymbol{x})=\int_{J}f(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y})\,\mathrm{d}\boldsymbol{y}\quad\text{f{\"u}r fast alle }\boldsymbol{x}\in I,\\ \displaystyle&\displaystyle h(\boldsymbol{y})=\int_{I}f(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y})\,\mathrm{d}\boldsymbol{x}\quad\text{f{\"u}r fast alle }\boldsymbol{y}\in J.\end{aligned}$$

Ferner ist

$$\begin{aligned}\displaystyle\int_{R}f(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y})\,\mathrm{d}(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y})&\displaystyle=\int_{I}\!\!\int_{J}f(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y})\,\mathrm{d}\boldsymbol{y}\,\mathrm{d}\boldsymbol{x}=\int_{I}g(\boldsymbol{x})\,\mathrm{d}\boldsymbol{x}\\ \displaystyle&\displaystyle=\int_{J}\!\!\int_{I}f(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y})\,\mathrm{d}\boldsymbol{x}\,\mathrm{d}\boldsymbol{y}=\int_{J}h(\boldsymbol{y})\,\mathrm{d}\boldsymbol{y}.\end{aligned}$$

Eine verwandte Situation liegt vor, wenn der Integrationsbereich ein Normalbereich ist. Dann kann das Integral als ein iteriertes Integral geschrieben werden, wobei die Integrationsgrenzen der inneren Integrale von den Integrationsvariablen der äußeren Integrale abhängen dürfen.

1.2 Volumen, Masse und Schwerpunkt

Verschiedene physikalische Größen lassen sich in natürlicher Weise durch ein Gebietsintegral ausdrücken bzw. berechnen. Am einfachsten geht dies für das Volumen eines Körpers.

Berechnung eines Volumens

Das Volumen eines beschränkten Körpers $K\subseteq\mathbb{R}^{n}$ erhalten wir als das Gebietsintegral

$$\displaystyle V(K)=\int_{K}1\,\mathrm{d}\boldsymbol{x},$$

falls das Integral existiert.

Auch die Masse und der Schwerpunkt eines Körpers lassen sich in entsprechender Art und Weise als Gebietsintegrale berechnen.

1.3 Die Transformationsformel

Eine Transformation ist eine Abbildung, die einen Wechsel des Koordinatensystems bewirkt. Anhand des Volumens eines Parallelepipeds haben wir uns klargemacht, dass bei der Umformung des Gebietsintegrals durch eine Transformation eine Determinante ins Spiel kommt.

Die Transformationsformel

Für $B$, $D$ und $\psi:B\to D$ sollen die im Text formulierten Voraussetzungen gelten. Eine Funktion $f:D\to\mathbb{R}$ ist genau dann über $D$ integrierbar, wenn $f(\psi(\cdot))|\det\psi^{\prime}|$ über $B$ integrierbar ist, und es gilt

$$\displaystyle\int_{D}f(\boldsymbol{x})\,\mathrm{d}\boldsymbol{x}=\int_{B}f(\psi(\boldsymbol{y}))\,|\det\psi^{\prime}(\boldsymbol{y})|\,\mathrm{d}\boldsymbol{y}.$$

Diese Formel lässt sich ganz allgemein bei Koordinatentransformationen anwenden. Es gibt aber eine Reihe von besonders wichtigen Koordinatensystemen, die in den Anwendungen immer wieder vorkommen.

Integration mit Polarkoordinaten

Ist $D\subseteq\mathbb{R}^{2}$, $f\in L(D)$ und $B$ die Beschreibung von $D$ durch Polarkoordinaten, so gilt

$$\displaystyle\int_{D}f(x_{1},x_{2})\,\mathrm{d}(x_{1},x_{2})=\int_{B}f(r\cos\varphi,r\sin\varphi)\,r\,\mathrm{d}(r,\varphi).$$

Integration mit Zylinderkoordinaten

Ist $D\subseteq\mathbb{R}^{3}$, $f\in L(D)$ und $B$ die Beschreibung von $D$ durch Zylinderkoordinaten, so gilt

$$\begin{aligned}\displaystyle&\displaystyle\int_{D}f(x_{1},x_{2},x_{3})\,\mathrm{d}(x_{1},x_{2},x_{3})\\ \displaystyle&\displaystyle\qquad=\int_{B}f(\rho\cos\varphi,\rho\sin\varphi,z)\,\rho\,\mathrm{d}(\rho,\varphi,z).\end{aligned}$$

Integration mit Kugelkoordinaten

Ist $D\subseteq\mathbb{R}^{3}$, $f\in L(D)$ und $B$ die Beschreibung von $D$ durch Kugelkoordinaten, so gilt

$$\begin{aligned}\displaystyle&\displaystyle\int_{D}f(x_{1},x_{2},x_{3})\,\mathrm{d}(x_{1},x_{2},x_{3})\\ \displaystyle&\displaystyle{=}\int_{B}\!f(r\cos\varphi\sin\vartheta,r\sin\varphi\sin\vartheta,r\cos\vartheta)r^{2}\sin\vartheta\mathrm{d}(r,\varphi,\vartheta).\end{aligned}$$

Aufgaben

Die Aufgaben gliedern sich in drei Kategorien: Anhand der Verständnisfragen können Sie prüfen, ob Sie die Begriffe und zentralen Aussagen verstanden haben, mit den Rechenaufgaben üben Sie Ihre technischen Fertigkeiten und die Anwendungsprobleme geben Ihnen Gelegenheit, das Gelernte an praktischen Fragestellungen auszuprobieren.

Ein Punktesystem unterscheidet leichte Aufgaben •, mittelschwere •• und anspruchsvolle ••• Aufgaben. Lösungshinweise am Ende des Buches helfen Ihnen, falls Sie bei einer Aufgabe partout nicht weiterkommen. Dort finden Sie auch die Lösungen – betrügen Sie sich aber nicht selbst und schlagen Sie erst nach, wenn Sie selber zu einer Lösung gekommen sind. Ausführliche Lösungswege, Beweise und Abbildungen finden Sie auf der Website zum Buch.

Viel Spaß und Erfolg bei den Aufgaben!

2.1 Verständnisfragen

25.1

• Mit $W\subseteq\mathbb{R}^{3}$ bezeichnen wir das Gebiet, das von den Ebenen $x_{1}=0$, $x_{2}=0$, $x_{3}=2$ und der Fläche $x_{3}=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}$, $x_{1}\geq 0$, $x_{2}\geq 0$ begrenzt wird. Schreiben Sie das Integral

$$\displaystyle\int_{W}\sqrt{x_{3}-x_{2}^{2}}\,\mathrm{d}\boldsymbol{x}$$

auf 6 verschiedene Arten als iteriertes Integral in kartesischen Koordinaten. Berechnen Sie den Wert mit der Ihnen am geeignetsten erscheinenden Integrationsreihenfolge.

25.2

•• Gesucht ist das Gebietsintegral

$$\displaystyle\int_{x=0}^{2}\int_{y=0}^{x^{2}}\frac{x}{y+5}\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}x+\int\limits_{x=2}^{\sqrt{20}}\int_{y=0}^{\sqrt{20-x^{2}}}\frac{x}{y+5}\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}x\,.$$

Erstellen Sie eine Skizze des Integrationsbereichs. Vertauschen Sie die Integrationsreihenfolge und berechnen Sie so das Integral.

25.3

• Gegeben ist das Gebiet $D\subseteq\mathbb{R}^{3}$, das als Schnitt der Einheitskugel mit der Menge $\{\boldsymbol{x}\in\mathbb{R}^{3}\,|\,x_{1},x_{2},x_{3}> 0\}$ entsteht. Beschreiben Sie dieses Gebiet in kartesischen Koordinaten, Zylinderkoordinaten und Kugelkoordinaten.

25.4

• Bestimmen Sie für die folgenden Gebiete $D$ je eine Transformation $\psi:B\to D$, bei der $B$ ein Quader ist:

• (a) $D=\big\{\boldsymbol{x}\in\mathbb{R}^{2}\,|\,0<x_{1}^{2}+x_{2}^{2}<4,\;0<\frac{x_{2}}{x_{1}}<1\big\}$

• (b) $D=\left\{\boldsymbol{x}\in\mathbb{R}^{3}\,|\,x_{1},x_{2}> 0,\;x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}<1\right\}$

• (c) $D=\left\{\boldsymbol{x}\in\mathbb{R}^{2}\,|\,0<x_{2}<1,\;x_{2}<x_{1}<2+x_{2}\right\}$

• (d) $D=\left\{\boldsymbol{x}\in\mathbb{R}^{3}\,|\,0<x_{3}<1,\;x_{2}> 0,\;x_{1}^{2}<9-x_{2}^{2}\right\}$

25.5

• Gegeben ist ein Dreieck $D\subseteq\mathbb{R}^{2}$ mit den Eckpunkten $\boldsymbol{a}$, $\boldsymbol{b}$ und $\boldsymbol{c}$. Zeigen Sie, dass für den Schwerpunkt des Dreiecks die Formel

$$\displaystyle\boldsymbol{x}_{S}=\frac{1}{3}\,(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c})$$

gilt.

25.6

•• Die Menge all derjenigen Punkte $\boldsymbol{x}\in\mathbb{R}^{3}$, die Lösungen einer Gleichung der Form

$$\displaystyle a\,x_{1}^{2}+b\,x_{2}^{2}+c\,x_{3}^{2}=r^{2}$$

bei gegebenem $a$, $b$, $c$ und $r> 0$ sind, nennt man ein Ellipsoid. Für $a=b=c$ erhält man den Spezialfall einer Kugel.

Bei Kugelkoordinaten erhält man für konstantes $r$ und variable Winkelkoordinaten eine Kugelschale. Modifizieren Sie die Kugelkoordinaten so, dass bei konstantem $r$ ein Ellipsoid entsteht. Wie lautet die Funktionaldeterminante der zugehörigen Transformation?

25.7

••• Gegeben ist eine messbare Menge $D\subseteq\mathbb{R}^{n}$ und eine Folge von paarweise disjunkten, messbaren Mengen $(D_{n})$ aus $\mathbb{R}^{n}$ mit $\bigcup_{n=1}^{\infty}D_{n}=D$. Zeigen Sie

$$\displaystyle\int_{D}1\,\mathrm{d}\boldsymbol{x}=\sum_{n=1}^{\infty}\int_{D_{n}}1\,\mathrm{d}\boldsymbol{x}\,.$$

2.2 Rechenaufgaben

25.8

• Berechnen Sie die folgenden Gebietsintegrale:

• (a) $\displaystyle J=\int_{D}\frac{\sin(x_{1}+x_{3})}{x_{2}+2}\,\mathrm{d}\boldsymbol{x}$ mit $D=\bigl[{-}\frac{\pi}{4},0\bigr]\times[0,2]\times\bigl[0,\frac{\pi}{2}\bigr]$

• (b) $\displaystyle J=\int_{D}\frac{2x_{1}x_{3}}{(x_{1}^{2}+x_{2}^{2})^{2}}\,\mathrm{d}\boldsymbol{x}$ mit $D=\bigl[\frac{1}{\sqrt{3}},1\bigr]\times[0,1]\times[0,1]$

25.9

•• Berechnen Sie die folgenden Integrale für beide möglichen Integrationsreihenfolgen:

• (a) $\int_{B}(x^{2}-y^{2})\,\mathrm{d}(x,y)$ mit dem Gebiet $B\subseteq\mathbb{R}^{2}$ zwischen den Graphen der Funktionen mit $y=x^{2}$ und $y=x^{3}$ für $x\in(0,1)$.

• (b) $\int_{B}\frac{\sin(y)}{y}\,\mathrm{d}(x,y)$ mit $B\subseteq\mathbb{R}^{2}$ definiert durch

  $$\displaystyle B=\left\{(x,y)^{\mathrm{T}}\in\mathbb{R}^{2}:0\leq x\leq y\leq\frac{\pi}{2}\right\}\,.$$

Welche Integrationsreihenfolge ist jeweils die günstigere?

25.10

•• Zeigen Sie für beliebige $n\in\mathbb{N}$ die Beziehung

$$\displaystyle V_{n}=\int_{0}^{1}\!\int_{0}^{t_{1}}\dots\int_{0}^{t_{n-1}}\mathrm{d}t_{n}\,\cdots\,\mathrm{d}t_{2}\,\mathrm{d}t_{1}=\frac{1}{n!}\,.$$

25.11

•• Das Dreieck $D$ ist durch seine Eckpunkten $(0,0)^{\mathrm{T}}$, $(\pi/2,\pi/2)^{\mathrm{T}}$ und $(\pi,0)^{\mathrm{T}}$ definiert. Berechnen Sie das Gebietsintegral

$$\displaystyle\int_{D}\sqrt{\sin x_{1}\sin x_{2}}\cos x_{2}\,\mathrm{d}\boldsymbol{x}.$$

25.12

••• Das Gebiet $M$ ist definiert durch

$$\displaystyle M=\left\{\boldsymbol{x}\in\mathbb{R}^{2}\,|\,0<\frac{x_{2}}{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}<1-\frac{x_{1}}{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}<\frac{1}{2}\right\}.$$

Bestimmen Sie das Integral

$$\displaystyle\int_{M}\frac{4(x_{1}+x_{2})}{(x_{1}^{2}+x_{2}^{2})^{3}}\,\mathrm{d}\boldsymbol{x}$$

mithilfe der Transformation

$$\displaystyle x_{1}=\frac{u_{1}}{u_{1}^{2}+u_{2}^{2}},\quad x_{2}=\frac{u_{2}}{u_{1}^{2}+u_{2}^{2}}.$$

25.13

•• Bestimmen Sie das Integral

$$\displaystyle I=\int_{D}(2y^{2}+3xy-2x^{2})\,\mathrm{d}(x,y),$$

wobei $D$ ein Quadrat ist, dessen Eckpunkte bei $(x,y)=(4,0)$, $(2,4)$, $(-2,2)$ und $(0,-2)$ liegen.

25.14

•• Bestimmen Sie den Inhalt jenes Volumenbereiches, der von den Flächen $x^{2}+y^{2}=1+z^{2}$ und $x^{2}+y^{2}=2-z^{2}$ eingeschlossen wird und der den Koordinatenursprung enthält.

25.15

•• Gegeben ist $D=\{x\in\mathbb{R}^{2}\,|\,x_{1}^{2}+x_{2}^{2}<1\}$. Berechnen Sie

$$\displaystyle\int_{D}(x_{1}^{2}+x_{1}x_{2}+x_{2}^{2})\,\mathrm{e}^{-(x_{1}^{2}+x_{2}^{2})}\,\mathrm{d}\boldsymbol{x}$$

durch Transformation auf Polarkoordinaten.

25.16

•• Aus dem Zylinder

$$\displaystyle\{\boldsymbol{x}\in\mathbb{R}^{3}\,|\,x_{1}^{2}+x_{2}^{2}<4\}\subseteq\mathbb{R}^{3}$$

wird durch die $x_{1}x_{2}$-Ebene und die Fläche

$$\displaystyle\{\boldsymbol{x}\in\mathbb{R}^{3}\,|\,x_{3}=\mathrm{e}^{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}\}$$

ein Körper herausgeschnitten. Welche Masse hat dieser Körper und wo liegt sein Schwerpunkt, wenn seine Dichte durch $\rho(\boldsymbol{x})=x_{2}^{2}$ gegeben ist?

25.17

• Gegeben ist die Kugelschale $D$ um den Nullpunkt mit äußerem Radius $R$ und innerem Radius $r$ ($r<R$). Berechnen Sie den Wert des Integrals

$$\displaystyle\int_{D}\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\,\mathrm{d}(x,y,z).$$

25.18

•• Die Halbkugel $B=\{\boldsymbol{x}\in\mathbb{R}^{3}\,|\,\|\boldsymbol{x}\|<R,z> 0\}$ besteht aus einem Material mit der Dichte $\varrho(x)=ax_{3}$, $a> 0$. Berechnen Sie die Masse und die dritte Koordinate des Schwerpunkts der Halbkugel.

2.3 Anwendungsprobleme

25.19

• Wir nähern die Erde durch eine Kugel mit Radius $R=7000\,\mathrm{km}$ an. Entlang des Äquators soll rund um die Erde eine Straße der Breite $B=60\,\mathrm{m}$ gebaut werden. Welches Volumen $V$ hat die abgetragene Planetenmasse, wenn die Straßenoberfläche genau die Mantelfläche eines Zylinders bildet (siehe Abb. 25.26)? Wie groß ist das Volumen, wenn die Straße auf dem Mond $(R=1700\text{\ km})$ gebaut wird?

Abb. 25.26

Schematische Darstellung der Straße aus Aufgabe 25.19 als Querschnitt durch den Planeten

Abb. 25.27

Die L-förmige Wiese aus Aufgabe 25.20 und der Bereich, der von der Ziege abgegrast werden kann

25.20

•• Auf einem L-förmig eingezäunten Stück Wiese ist an der linken oberen Ecke eine Ziege mit einer Leine der Länge $\rho$ angebunden. Die Bezeichnungen für die Maße der Wiese finden Sie in Abb. 25.27. Es soll

$$\displaystyle\sqrt{e^{2}+b^{2}}<\rho<\min\{a,f\}$$

gelten. Welche Fläche kann die Ziege abgrasen?

25.21

•• Ein Hammer (siehe Abb. 25.28) besteht aus einem hölzernen Stiel der Dichte $\rho_{\mathrm{H}}=600$ kg/m${}^{3}$ und einem stählernen Kopf der Dichte $\rho_{\mathrm{S}}=7700$ kg/m${}^{3}$. Der Stiel hat die Länge $l_{1}=30\,\mathrm{cm}$ und ist zylindrisch. Der Radius am freien Ende beträgt $r_{1}=1\,\mathrm{cm}$. An den übrigen Stellen ist er in Abhängigkeit des Abstands $x$ vom freien Ende durch die Formel

$$\displaystyle r(x)=r_{1}-a\,\frac{x^{2}}{l^{2}_{1}},\quad 0\leq x\leq l_{1},$$

gegeben. Hierbei ist $a=0.2\,\mathrm{cm}$.

Der Kopf ist ein Quader mit Länge $l_{2}=9\,\mathrm{cm}$, sowie Breite und Höhe $b_{2}=h_{2}=2.4\,\mathrm{cm}$. Der Kopf ist so durchbohrt, dass der Stiel genau hineinpasst und Stiel und Kopf bündig abschließen.

Bestimmen Sie die Lage des Schwerpunkts des Hammers. Runden Sie dabei alle Zahlenwerte auf vier signifikante Stellen.

Abb. 25.28

Darstellung des Hammers aus Aufgabe im Querschnitt

Antworten der Selbstfragen

Antwort 1

In jedem Fall sind isolierte Punkte und abzählbare Vereinigungen von isolierten Punkten wie im eindimensionalen Nullmengen. Das bedeutet etwa, dass $\mathbb{Q}^{2}\subset\mathbb{R}^{2}$ oder $\mathbb{Q}^{3}\subset\mathbb{R}^{3}$ Nullmengen sind.

Der Rand eines Quaders, im zweidimensionalen also der Rand eines Rechtecks, ist ebenfalls eine Nullmenge. Dasselbe gilt für abzählbare Vereinigungen solcher Ränder.

Als letztes Beispiel im $\mathbb{R}^{2}$ sei der Graph einer Funktion $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ genannt.

Antwort 2

Es gibt 4 verschieden Fälle:

• $h_{x_{2}}$ ist konstant null,

• $h_{x_{2}}$ nimmt auf einem Intervall den Wert $c_{1}$ an, auf einem anderen den Wert $c_{3}$ und ist sonst null,

• $h_{x_{2}}$ nimmt auf einem Intervall den Wert $c_{2}$ an, auf einem anderen den Wert $c_{3}$ und ist sonst null,

• $h_{x_{2}}$ nimmt auf einem Intervall den Wert $c_{2}$ an und ist sonst null.

Antwort 3

Falls (a) existiert, so existieren nach dem Satz von Fubini auch (b) und (c) und der Wert all dieser Integrale stimmt überein. Aus der Existenz von (b) oder (c) kann man weder darauf schließen, dass (a), noch, dass das andere iterierte Integral existiert.

Antwort 4

Das Viereck links oben ist ein Normalbereich, bei dem sogar die Integrationsreihenfolge beliebig ist. Der Stern links unten ist kein Normalbereich. Die anderen beiden Gebiete sind Normalbereiche, wobei im inneren Integral über $x_{1}$ integriert werden muss.

Antwort 5

Wie im Beispiel von S. 931 berechnen wir das Volumen durch ein iteriertes Integral:

$$\begin{aligned}\displaystyle V(K)&\displaystyle=\int_{K}1\,\mathrm{d}\boldsymbol{x}=\int_{0}^{1}\!\!\int_{0}^{x}\!\!\int_{0}^{y}1\,\mathrm{d}z\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}x\\ \displaystyle&\displaystyle=\int_{0}^{1}\!\!\int_{0}^{x}y\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}x=\int_{0}^{1}\frac{x^{2}}{2}\,\mathrm{d}x=\frac{1}{6}\end{aligned}$$

Nach der elementargeometrischen Formel ist das Volumen eines Tetraeders ein Drittel des Produkts aus Grundfläche und Höhe. Die Grundfläche ist ein rechwinkliges Dreieck mit Katetenlänge 1, hat also den Flächeninhalt $1/2$. Die Höhe ist $1$, also erhalten wir ebenfalls das Ergebnis $1/6$.

Antwort 6

Man kann das Integral aus der Formel für die Masse aufspalten als $n$ Integrale über jeweils einen der $n$ Körper. Aus jedem dieser Integrale kann die Dichte als Konstante herausgezogen werden. Wir erhalten die Summe von Volumen jedes Teilkörpers mal der Dichte über alle Teilkörper.

Antwort 7

Der Schwerpunkt ist die gewichtete Summe über die Schwerpunkte aller Teilkörper,

$$\displaystyle\boldsymbol{x}_{S}=\sum_{j=1}^{n}w_{j}\,\boldsymbol{x}_{S}j=\sum_{j=1}^{n}\frac{w_{j}}{m(K_{j})}\,\int_{K_{j}}\boldsymbol{x}\,\rho(\boldsymbol{x})\,\mathrm{d}\boldsymbol{x}\,,$$

wobei das Gewicht das Verhältnis zwischen der Masse des Teilkörpers und der des gesamten Köpers ist, $w_{j}=m(K_{j})/m(K)$.

Antwort 8

Wenn die Spalten von $\boldsymbol{A}$ linear unabhängig sind, so ist eine affine Abbildung bijektiv. Sie ist auch stetig differenzierbar, es ist $\psi^{\prime}(\boldsymbol{x})=\boldsymbol{A}$. Daher ist auch die zweite Voraussetzung erfüllt, falls die Spalten von $\boldsymbol{A}$ linear unabhängig sind.

Antwort 9

In der Funktionalmatrix werden die beiden Spalten vertauscht. In der Determinante bewirkt dies ein Wechsel des Vorzeichens, der aber auf die Transformationsformel keinen Einfluss hat: Hier geht nur der Betrag der Funktionaldeterminante ein.

Antwort 10

Dadurch wären die Punkte des Raums nicht mehr eindeutig durch die Kugelkoordinaten darstellbar. Es ist

$$\begin{aligned}\displaystyle\begin{pmatrix}r\,\cos\varphi\,\sin(-\vartheta)\\ r\,\sin\varphi\,\sin(-\vartheta)\\ r\,\cos(-\vartheta)\end{pmatrix}&\displaystyle=\begin{pmatrix}-r\,\cos\varphi\,\sin\vartheta\\ -r\,\sin\varphi\,\sin\vartheta\\ r\,\cos\vartheta\end{pmatrix}\\ \displaystyle&\displaystyle=\begin{pmatrix}r\,\cos(\varphi+\pi)\,\sin\vartheta\\ r\,\sin(\varphi+\pi)\,\sin\vartheta\\ r\,\cos\vartheta\end{pmatrix}.\end{aligned}$$

Für $(r,\varphi,-\vartheta)$ und $(r,\varphi+\pi,\vartheta)$ erhalten wir denselben Punkt im $\mathbb{R}^{3}$. Daher wird $\vartheta\in(0,\pi)$ verlangt, nur einer der beiden Fälle kann dann auftreten.