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Mathematik pp 773-814 | Cite as

Quadriken – ebenso nützlich wie dekorativ

  • Tilo ArensEmail author
  • Frank Hettlich
  • Christian Karpfinger
  • Ulrich Kockelkorn
  • Klaus Lichtenegger
  • Hellmuth Stachel
Chapter

Zusammenfassung

Unter einer Quadrik in einem affinen Raum verstehen wir die Menge jener Punkte, deren Koordinaten einer quadratischen Gleichung genügen.

Die zweidimensionalen Quadriken sind – von Entartungsfällen abgesehen – identisch mit den Kegelschnitten und seit der Antike bekannt. Den Ausgangspunkt für die Untersuchung der Kegelschnitte bildete damals allerdings nicht deren Gleichung, sondern die Kegelschnitte wurden als geometrische Orte eingeführt, etwa die Ellipse als Ort der Punkte, deren Abstände von den beiden Brennpunkten eine konstante Summe ergeben. Aber auch die Tatsache, dass Ellipsen als perspektivische Bilder von Kreisen auftreten, war bereits um etwa 200 v. Chr. bekannt. Anfang des 17. Jahrhunderts konnte Johannes Kepler nachweisen, dass die Planetenbahnen Ellipsen sind. Sir Isaac Newton formulierte die zugrunde liegenden mechanischen Gesetze und erkannte, dass sämtliche Kegelschnitttypen als Bahnen eines Massenpunktes bei dessen Bewegung um eine zentrale Masse auftreten.

Dies war nur der Anfang jener herausragenden Bedeutung der Kegelschnitte und ihrer höherdimensionalen Gegenstücke für Naturwissenschaften und Technik. Hier treten Quadriken oft als lokale oder globale Approximationen für Kurven und Flächen auf wie etwa bei der harmonischen Näherung beim Vielkörperproblem. Doch soll die ästhetische Seite nicht unerwähnt bleiben, das Auftreten der Ellipsoide als Kuppeln oder der hyperbolischen Paraboloide als attraktive Dachflächen.

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© Springer-Verlag GmbH Deutschland, ein Teil von Springer Nature 2018

Authors and Affiliations

  • Tilo Arens
    • 1
    Email author
  • Frank Hettlich
    • 2
  • Christian Karpfinger
    • 3
  • Ulrich Kockelkorn
    • 4
  • Klaus Lichtenegger
    • 5
  • Hellmuth Stachel
    • 6
  1. 1.Fakultät für MathematikKarlsruher Institut für Technologie (KIT)KarlsruheDeutschland
  2. 2.Fakultät für MathematikKarlsruher Institut für Technologie (KIT)KarlsruheDeutschland
  3. 3.Zentrum Mathematik – M12TU MünchenMünchenDeutschland
  4. 4.TU BerlinBerlinDeutschland
  5. 5.Bioenergy2020+ GmbHGraz/WieselburgÖsterreich
  6. 6.Institut für Diskrete Mathematik und GeometrieTU WienWienÖsterreich

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