Logik, Mengen, Abbildungen – die Sprache der Mathematik

Zusammenfassung

Wer eine neue Sprache lernen will, benötigt ein gewisses Grundvokabular, um sich einigermaßen zurechtzufinden und seine Kenntnisse auf dieser Basis weiter auszubauen. In einer Fremdsprache sind das viele hundert, ja eher mehrere tausend Vokabeln. In der Mathematik kommt man für den Anfang mit sehr viel weniger Wörtern aus.

Viel ist dabei schon gewonnen, wenn man lernt, gewohnte Begriffe exakt zu verwenden und präzise Formulierungen lesen und verstehen zu können. Das mag simpel klingen, macht aber am Anfang oft Schwierigkeiten. Die saubere Handhabung der Sprache führt über Abstraktion zur Aussagenlogik, und diese wiederum ist die Grundlage der gesamten Digitalelektronik und damit der Grundstein der heutigen Informationsgesellschaft.

Natürlich ist präzises Formulieren alleine zu wenig, man muss auch wissen, worüber man überhaupt sprechen soll. Viele Begriffsbildungen in der Mathematik beruhen auf Mengen und Abbildungen, und diesen werden wir gebührenden Raum widmen.

Äußerst bekannte Mengen sind solche von Zahlen. Sicher spielen Zahlen in der Mathematik eine wichtige Rolle, die Bedeutung des bloßen Zahlenrechnens wird von Außenstehenden allerdings meist überschätzt. Es ist demnach auch weniger das konkrete Rechnen, das uns hier bei der Betrachtung der Zahlen interessiert. Es sind vielmehr die inneren Strukturen und allgemeinen Eigenschaften, die sie haben – der Beginn eines Analyseprozesses, der uns im Laufe dieses Buches bis zu den Hilberträumen der Funktionalanalysis und darüber hinaus führen wird.

Appendices

Zusammenfassung

1.1 Eine beweisende Wissenschaft

Grundprinzip der Logik

In der Logik, ja generell bei der Formulierung mathematischer Sachverhalte, müssen alle verwendeten Ausdrücke eine klare, scharf definierte Bedeutung haben.

Die Grundlage solcher Formulierung sind Aussagen. Eine Aussage ist ein feststellender Satz, dem eindeutig einer der beiden Wahrheitswerte wahr oder falsch zugeordnet werden kann.

Lesen von Symbolen

Bei jedem in einer mathematischen Aussage, etwa einer Formel, vorkommenden Symbol muss man sich bewusst machen, was dieses Symbol hier bedeutet, um die Aussage verstehen und verwenden zu können.

Man kann Aussagen mittels Junktoren zu neuen Aussagen verbinden, die wichtigsten sind nicht, und und oder, symbolisiert durch die Zeichen $\neg$, $\wedge$ und $\vee$. Auch Implikation $\Rightarrow$ (wenn-dann) und Äquivalenz $\Leftrightarrow$ (genau-wenn-dann) sind wichtige Junktoren.

Junktoren können auch kombiniert werden, um komplexere Aussagen zu erhalten. Bestimmte Junktoren kann man durch Kombination anderer Junktoren ausdrücken. Eine schnelle Übersicht über Junktoren und zusammengesetzte Aussagen bieten die Wahrheitstafeln.

1.2 Quantoren erlauben das knappe Hinschreiben von Existenz- und Allaussagen

Hier kann man Existenzquantor $\exists$ und Allquantor $\forall$ benutzen. Gelesen wird das als „es gibt“ bzw. „für alle“.

1.3 Definition, Satz, Beweis

Beweise sind ein zentraler Gegenstand der Mathematik. Wir unterscheiden den direkten und den indirekten Beweis. Letzteren kann man auch als Widerspruchsbeweis führen.

1.4 Elementare Mengenlehre

Definition des Elementsymbols

$x\in M$, gesprochen „$x$ ist Element von $M$“, bedeutet, dass das Element $x$ zur Menge $M$ gehört. Analog bedeutet $x\notin M$, dass $x$ kein Element von $M$ ist.

Die leere Menge $\emptyset$ enthält überhaupt keine Elemente.

1.5 Elementare Mengenoperationen erlauben es, Mengen zu kombinieren

Diese Mengenoperationen sind insbesondere Vereinigung $\cup$, Durchschnitt $\cap$ und Differenz $\setminus$.

Definition des kartesischen Produkts

Das kartesische Produkt $A\times B$ zweier Mengen $A$ und $B$ ist die Menge aller geordneten Paare $(a,\,b)$ mit $a\in A$ und $b\in B$:

$$\displaystyle A\times B=\left\{(a,\,b)\,|\,a\in A,\;b\in B\right\}$$

1.6 Zahlenmengen

Die natürlichen Zahlen $\mathbb{N}$ sind das Fundament unseres Zahlensystems. Ganze Zahlen $\mathbb{Z}$ und rationale Zahlen $\mathbb{Q}$ sind naheliegende Erweiterungen des Zahlbereichs. Die reellen Zahlen $\mathbb{R}$ sind die Vervollständigung der rationalen Zahlen.

Eine wichtige Kenngröße für Zahlen ist ihr Betrag:

$$\displaystyle|x|=\begin{cases}x&\text{f{\"u}r}\ x\geq 0\\ (-1)\cdot x&\text{f{\"u}r}\ x<0\end{cases}$$

Intervalle sind Teilmengen von $\mathbb{R}$; sie lassen sich bequem mit Beträgen in der Form $|x-c|<a$ bzw. $|x-c|\leq a$ beschreiben. Manche anderen Teilmengen von Zahlenmengen können direkt angegeben werden, so steht etwa $\mathbb{R}_{> 0}$ für alle positiven reellen Zahlen.

1.7 Abbildungen

Man kann auf einfache Weise Abbildungen zwischen Mengen erklären.

Definition einer Abbildung

Eine Abbildung $f$ aus einer Menge $A$ in eine Menge $B$ ist eine Vorschrift, die jedem Element $a$ aus $A$ genau ein Element $b=f(a)$ aus $f(A)\subseteq B$ zuordnet. Dabei nennt man $A=D(f)$ die Definitionsmenge, $f(A)$ ist das Bild, und $B=W(f)$ heißt die Wertemenge.

Geeignete Abbildungen können zu neuen verkettet werden.

1.8 Aus injektiv und surjektiv folgt bijektiv

Bestimmte Abbildungen spielen eine besonders große Rolle, das sind injektive, surjektive und bijektive Abbildungen.

Definition von Injektivität, Surjektivität und Bijektivität

Eine Abbildung $f$: $A\to B$, $a\mapsto f(a)$ heißt

• injektiv, wenn aus $a_{1}\neq a_{2}$ auch immer $f(a_{1})\neq f(a_{2})$ folgt,

• surjektiv, wenn auf jedes Element der Wertemenge hin abgebildet wird,

• bijektiv, wenn sie sowohl injektiv als auch surjektiv ist.

Das Urbild $f^{-1}(M)$ einer Menge $M\subseteq W(f)$ enthält alle Elemente, die nach $M$ abgebildet werden.

1.9 Eine bijektive Abbildung besitzt auch eine Umkehrabbildung

Die Umkehrabbildung einer bijektiven Abbildung $f$ wird gewöhnlich mit $f^{-1}$ bezeichnet. Diese Bezeichnung sollte man nicht mit dem Urbild verwechseln.

Bonusmaterial

Im Bonusmaterial finden Sie eine Ergänzung zu Logik und Beweisen. Insbesondere illustrieren wir dort die Rolle von Axiomen am Beispiel des Fünften Postulats und stellen einige weitere nützliche Konventionen zu Beweisen vor. Eine Vertiefung ist dem Thema Fuzzy-Logic gewidmet, und in einer weiteren Vertiefung diskutieren wir den Gödel’schen Unvollständigkeitssatz sowie die Grenzen der Beweisbarkeit.

Relationen und Klassen sind wichtige weiterführende Begriffe. Sie spielen nicht nur im Anwendungsbereich relationaler Datenbanken eine tragende Rolle, sondern werden, wie auf der Website demonstriert, auch bei der axiomatischen Einführung des Zahlensystems benutzt.

Aufgaben

Die Aufgaben gliedern sich in drei Kategorien: Anhand der Verständnisfragen können Sie prüfen, ob Sie die Begriffe und zentralen Aussagen verstanden haben, mit den Rechenaufgaben üben Sie Ihre technischen Fertigkeiten und die Anwendungsprobleme geben Ihnen Gelegenheit, das Gelernte an praktischen Fragestellungen auszuprobieren.

Ein Punktesystem unterscheidet leichte Aufgaben •, mittelschwere •• und anspruchsvolle ••• Aufgaben. Lösungshinweise am Ende des Buches helfen Ihnen, falls Sie bei einer Aufgabe partout nicht weiterkommen. Dort finden Sie auch die Lösungen – betrügen Sie sich aber nicht selbst und schlagen Sie erst nach, wenn Sie selber zu einer Lösung gekommen sind. Ausführliche Lösungswege, Beweise und Abbildungen finden Sie auf der Website zum Buch.

Viel Spaß und Erfolg bei den Aufgaben!

3.1 Verständnisfragen

2.1

• Welche der folgenden Aussagen sind richtig? Für alle $x\in\mathbb{R}$ gilt:

• 1. „$x> 1$ ist hinreichend für $x^{2}> 1$.“

• 2. „$x> 1$ ist notwendig für $x^{2}> 1$.“

• 3. „$x\geq 1$ ist hinreichend für $x^{2}> 1$.“

• 4. „$x\geq 1$ ist notwendig für $x^{2}> 1$.“

2.2

• Welche der folgenden Schlüsse sind auf formaler Ebene (d. h. noch ohne tatsächliche Betrachtung der Wahrheitswerte der Aussagen) richtig? Welche sind als Implikationen wahre Aussagen, wenn man auch die Wahrheitswerte der jeweils verknüpften Aussagen betrachtet?

• 1. Alle Vögel können fliegen. Möwen sind Vögel.

  $\Rightarrow$ Möwen können fliegen.

• 2. Alle Vögel können fliegen. Pinguine sind Vögel.

  $\Rightarrow$ Pinguine können fliegen.

• 3. Alle Vögel können fliegen. Möwen können fliegen.

  $\Rightarrow$ Möwen sind Vögel.

• 4. Alle Vögel können fliegen. Libellen können fliegen.

  $\Rightarrow$ Libellen sind Vögel.

2.3

• Verneinen Sie die folgende (falsche) Aussage: „Alle stetigen Funktionen sind differenzierbar.“

2.4

• Verneinen Sie die Aussage: „Zu jedem bekannten Teilchen gibt es ein entsprechendes Antiteilchen.“

2.5

• Die symmetrische Differenz ist definiert über:

$$\displaystyle A\,\Updelta\,B=(A\setminus B)\cup(B\setminus A)$$

Machen Sie sich die Bedeutung dieser Definition klar, und zeichnen Sie ein entsprechendes Venn-Diagramm.

2.6

• Wir betrachten die beiden folgenden Mengen:

$$\begin{aligned}\displaystyle N&\displaystyle=\{1,\,2,\,3,\,4,\ldots\}\\ \displaystyle M&\displaystyle=\left\{1,\,\frac{1}{2},\,\frac{1}{3},\,\frac{1}{4},\ldots\right\}\end{aligned}$$

Geben Sie jeweils eine Abbildung $N\to M$ an, die (a) injektiv, aber nicht surjektiv, (b) surjektiv, aber nicht injektiv, (c) bijektiv ist.

2.7

•• Wie viele unterschiedliche binäre, also zwei Aussagen verknüpfende Junktoren gibt es?

2.8

•• Formulieren Sie die Aussage

$$\displaystyle\forall(x,\,z)\in\mathbb{R}^{2}\quad\exists y\in\mathbb{R}:x\cdot y=z$$

in natürlicher Sprache und verneinen Sie sie. Ist diese Aussage oder ihre Verneinung wahr?

2.9

•• Wir betrachten die Teilmengen $X$, $Y$ und $Z$ von $\mathbb{R}$. Verneinen Sie die Aussage

$$\displaystyle\forall x\in X\;\exists y\in Y\;\forall z\in Z:x\cdot y<z.$$

2.10

•• Es seien $M_{1}$ und $M_{2}$ Teilmengen von $X$. Beweisen Sie die einfachste Form der Regeln von de Morgan, wobei wir $C_{X}$ als Bezeichnung für die Komplementbildung bezüglich $X$ verwenden:

$$\begin{aligned}\displaystyle C_{X}(M_{1}\cap M_{2})&\displaystyle=C_{X}(M_{1})\cup C_{X}(M_{2}),\\ \displaystyle C_{X}(M_{1}\cup M_{2})&\displaystyle=C_{X}(M_{1})\cap C_{X}(M_{2}).\end{aligned}$$

Stellen Sie diesen Sachverhalt mittels Venn-Diagrammen dar.

2.11

•• Die Menge $A_{4}$ hat vier Elemente, die Mengen $B_{3}$, $B_{4}$ und $B_{5}$ haben entsprechend drei, vier und fünf Elemente. Überlegen Sie jeweils, ob es Abbildungen

$$\begin{aligned}\displaystyle f_{43}:&\displaystyle A_{4}\to B_{3}\\ \displaystyle f_{44}:&\displaystyle A_{4}\to B_{4}\\ \displaystyle f_{45}:&\displaystyle A_{4}\to B_{5}\end{aligned}$$

geben kann, die (a) injektiv, aber nicht surjektiv, (b) surjektiv, aber nicht injektiv, (c) bijektiv sind.

2.12

•• Wir sind im Text nicht explizit auf den Unterschied zwischen Aussagen und Aussageformen eingegangen. Während wir Aussagen als feststellende Sätze definiert haben, die einen eindeutigen Wahrheitswert $w$ oder $f$ haben, sind Aussageformen Sätze, deren Wahrheitswert sich vorerst nicht bestimmen lässt, weil sie noch eine oder mehrere freie Variable beinhalten.

Beispiele für Aussageformen wären „Die Zahl $x$ ist ungerade“ oder “Monarch $x$ regierte länger als 20 Jahre“, wobei $x$ jeweils die freie Variable bezeichnet. Ersetzt man in einer Aussageform die freien Variablen durch passende Objekte oder bindet die Variablen durch Quantoren, erhält man Aussagen. Überprüfen Sie, ob es sich bei den folgenden Sätzen um Aussagen, Aussageformen oder keines der beiden handelt:

• „$x$ ist ungerade“ mit $x=2$

• „$x$ ist ungerade“ mit $x=3$

• $\forall x\in\mathbb{R}:\,1/(1+x^{2}\,y^{2})\leq 1$

• $\forall(x,\,y)\in\mathbb{R}^{2}:\,1/(1+x^{2}\,y^{2})\leq 1$

2.13

••• Jene reellen Zahlen $x$, die Lösung einer Polynomgleichung

$$\displaystyle a_{n}\,x^{n}+a_{n-1}\,x^{n-1}+\ldots+a_{1}\,x+a_{0}=0$$

mit Koeffizienten $a_{k}\in\mathbb{Z}$ sind, nennt man algebraische Zahlen . Dabei muss mindestens ein $a_{k}\neq 0$ sein.

Alle rationalen Zahlen sind algebraisch, aber auch viele irrationale Zahlen gehören zu dieser Klasse, etwa $\sqrt{2}$. Reelle Zahlen, die nicht algebraisch sind, heißen transzendent .

Zeigen Sie, dass unter der Voraussetzung, dass jedes Polynom nur endlich viele Nullstellen hat (was wir bald ohne Mühe beweisen werden können), die Menge aller algebraischen Zahlen abzählbar ist.

2.14

••• Wir können Mengen $M_{\alpha}$ mit den Elementen $\alpha$ einer Indexmenge $I$ kennzeichnen. So etwas nennt man ein System oder eine Familie von Mengen,

$$\displaystyle F=\left\{M_{\alpha}:\alpha\in I\right\}\,.$$

Eine besonders häufige Wahl ist $I=\mathbb{N}$, man kann dann Mengen $M_{n}$ mit $n\in\mathbb{N}$ durchnummerieren.

Für Systeme von Mengen schreibt man Durchschnitt und Vereinigung häufig als:

$$\begin{aligned}\displaystyle\bigcup_{M\in F}M&\displaystyle=\bigcup_{\alpha\in I}M_{\alpha}=\left\{x\,|\,\exists\alpha\in I:x\in M_{\alpha}\right\}\\ \displaystyle\bigcap_{M\in F}M&\displaystyle=\bigcap_{\alpha\in I}M_{\alpha}=\left\{x\,|\,\forall\alpha\in I:x\in M_{\alpha}\right\}\end{aligned}$$

• Beweisen Sie die Distributivgesetze:

  $$\begin{aligned}\displaystyle A\cup\bigcap_{i\in I}B_{i}&\displaystyle=\bigcap_{i\in I}(A\cup B_{i})\\ \displaystyle A\cap\bigcup_{i\in I}B_{i}&\displaystyle=\bigcup_{i\in I}(A\cap B_{i})\end{aligned}$$

• Beweisen Sie die Regeln von de Morgan , wobei alle $M\in F$ Teilmengen von $X$ sind und $C_{X}$ die Komplementbildung bezüglich $X$ bezeichnet:

  $$\begin{aligned}\displaystyle C_{X}\left(\bigcup_{M\in F}M\right)&\displaystyle=\bigcap_{M\in F}C_{X}(M)\\ \displaystyle C_{X}\left(\bigcap_{M\in F}M\right)&\displaystyle=\bigcup_{M\in F}C_{X}(M)\end{aligned}$$

  Stellen Sie diese Beziehungen für drei Mengen mittels Venn-Diagrammen dar.

2.15

••• Betrachten Sie die Aussage des Kreters Epimenides „Alle Kreter sind Lügner“ und die Aussage „Diese Aussage ist falsch“. Wo liegt ein echtes, wo nur ein scheinbares Paradoxon vor und wie lässt sich letzteres auflösen?

3.2 Rechenaufgaben

2.16

• Beweisen Sie die Assoziativgesetze:

$$\begin{aligned}\displaystyle(A\wedge B)\wedge C&\displaystyle\Leftrightarrow A\wedge(B\wedge C)\\ \displaystyle(A\vee B)\vee C&\displaystyle\Leftrightarrow A\vee(B\vee C)\end{aligned}$$

2.17

• Beweisen Sie die Abtrennregel (modus ponens ):

$$\displaystyle(A\wedge(A\Rightarrow B))\Rightarrow B$$

2.18

• Beweisen Sie die Äquivalenzen:

$$\begin{aligned}\displaystyle(A\vee B)&\displaystyle\Leftrightarrow\neg(\neg A\wedge\neg B)\\ \displaystyle(A\wedge B)&\displaystyle\Leftrightarrow\neg(\neg A\vee\neg B)\\ \displaystyle(A\Rightarrow B)&\displaystyle\Leftrightarrow((\neg A)\vee B)\end{aligned}$$

2.19

• Gegeben sind die drei Mengen$M_{1}=\{a,\,b,\,c,\,d,\,e\}$, $M_{2}=\{e,\,f,\,g,\,h,\,i\}$ und $M_{3}=\{a,\,c,\,e,\,g,\,i\}$. Bilden Sie die Mengen $M_{1}\cap M_{2}$, $M_{1}\cup M_{2}$, $M_{1}\cap M_{3}$, $M_{1}\cup M_{3}$, $M_{2}\cap M_{3}$ und $M_{2}\cup M_{3}$ sowie $M_{1}\setminus M_{2}$, $M_{2}\setminus M_{1}$, $M_{1}\setminus M_{3}$, $M_{2}\setminus M_{3}$, $\bigcap_{n=1}^{3}M_{n}=M_{1}\cap M_{2}\cap M_{3}$ und $\bigcup_{n=1}^{3}M_{n}=M_{1}\cup M_{2}\cup M_{3}$.

2.20

•• Beweisen Sie das Distributivgesetz:

$$\displaystyle M_{1}\cup(M_{2}\cap M_{3})=(M_{1}\cup M_{2})\cap(M_{1}\cup M_{3})$$

2.21

•• Beweisen Sie die Absorptionsgesetze:

$$\begin{aligned}\displaystyle M_{1}\cap(M_{1}\cup M_{2})&\displaystyle=M_{1}\\ \displaystyle M_{1}\cup(M_{1}\cap M_{2})&\displaystyle=M_{1}\end{aligned}$$

3.3 Anwendungsprobleme

2.22

• Ist der folgende Schluss richtig?

(„Wer von der Quantenmechanik nicht schockiert ist, der hat sie nicht verstanden“ (Niels Bohr) $\wedge$ „Niemand versteht die Quantenmechanik“ (Richard Feynman)) $\Rightarrow$ „Niemand ist von der Quantenmechanik schockiert“

2.23

•• Nach einem Mordfall gibt es drei Verdächtige, $A$, $B$ und $C$, von denen zumindest einer der Täter sein muss. Nachdem sie und die Zeugen getrennt vernommen wurden, kennen die Ermittler folgende Fakten:

• 1. Wenn $A$ Täter ist, dann müssen $B$ oder $C$ ebenfalls Täter sein.

• 2. Wenn $B$ Täter ist, dann ist $A$ unschuldig.

• 3. Wenn $C$ Täter ist, dann ist auch $B$ Täter.

Lässt sich damit herausfinden, wer von den dreien schuldig bzw. unschuldig ist?

2.24

•• An einer Weggabelung in der Wüste leben zwei Brüder, die vollkommen gleich aussehen, zwischen denen es aber einen gewaltigen Unterschied gibt: Der eine sagt immer die Wahrheit, der andere lügt immer. Schon halb verdurstet kommt man zu dieser Weggabelung und weiß genau: Einer der beiden Wege führt zu einer Oase, der andere hingegen immer tiefer in die Wüste hinein. Man darf aber nur einem der Brüder (man weiß nicht, welcher es ist) genau eine Frage stellen. Was muss man fragen, um sicher den Weg zur Oase zu finden?

2.25

•• Sie haben vier Karten, jeweils mit einem Buchstaben auf der einen und einer Zahl auf der anderen Seite. Wie viele und welche der im Folgenden dargestellten Karten müssen Sie mindestens umdrehen, um die Aussage „wenn auf einer Seite einer Karte ein Vokal ist, dann ist auf der anderen Seite eine gerade Zahl“ zu bestätigen.

2.26

••• Jede beliebige Aussage, die durch ihre Wahrheitstafel gegeben ist, kann auf zwei fundamentale Arten dargestellt werden: In der konjunktiven Normalform als Konjunktion von Disjunktionen der beteiligten Variablen bzw. ihrer Negationen, und in der disjunktiven Normalform als Disjunktion von entsprechenden Konjunktionen.

Dies ist in der Digitalelektronik sehr praktisch, weil es eine automatisierbare Möglichkeit darstellt, zu jeder Wahrheitstafel einen äquivalenten logischen Ausdruck und damit eine Schaltung zu konstruieren.

Wir betrachten nun die beiden Wahrheitstafeln

$$\displaystyle\begin{array}[]{|cc|c|}\hline A&B&G\\ \hline w&w&w\\ w&f&f\\ f&w&f\\ f&f&w\\ \hline\end{array}\qquad\text{und}\qquad\begin{array}[]{|ccc|c|}\hline A&B&C&H\\ \hline w&w&w&w\\ w&w&f&f\\ w&f&w&f\\ w&f&f&f\\ f&w&w&w\\ f&w&f&f\\ f&f&w&w\\ f&f&f&w\\ \hline\end{array}\,.$$

Für die Aussage $G$ lautet die disjunktive Normalform

$$\displaystyle G\Leftrightarrow((A\wedge B)\vee((\neg A)\wedge(\neg B)))\,,$$

die konjunktive

$$\displaystyle G\Leftrightarrow(((\neg A)\vee B)\wedge(A\vee(\neg B)))\,.$$

• Bestimmen Sie nun diese beiden Normalformen für die Aussage $H$.

• Gibt es ein Kriterium, für welche Art von Wahrheitstafel welche Normalform vorzuziehen ist, wenn man einen möglichst einfachen Ausdruck erhalten will?

• Lassen sich die so erhaltenen Ausdrücke noch weiter vereinfachen?

Antworten der Selbstfragen

Antwort 1

Die ersten drei Ausdrücke sind feststellende Sätze, also Aussagen. Der vierte ist eine Frage, der fünfte ein Satzfragment und der sechste ein Befehl – alle drei sind also keine Aussagen.

Antwort 2

$$\displaystyle\begin{array}[]{c|c|cccccc}A&B&(A\Rightarrow B)&\Leftrightarrow&(\;(\neg B)&\Rightarrow&(\neg A)\;)\\ \hline w&w&w&\mathbf{w}&f&w&f\\ w&f&f&\mathbf{w}&w&f&f\\ f&w&w&\mathbf{w}&f&w&w\\ f&f&w&\mathbf{w}&w&w&w\end{array}$$

Antwort 3

Wir erhalten $A\cup B=\left\{1,\,2,\,3,\,4,\,5,\,6,\,7\right\}$ und $A\cap B=\left\{4\right\}$.

Antwort 4

$$\displaystyle\enskip\,\begin{array}[]{@{}c|c|c|rccccc@{}}A&B&C&A\;\wedge&(B\vee C)&\Leftrightarrow&((A\wedge B)&\vee&(A\wedge C))\\ \hline w&w&w&w&w&\mathbf{w}&w&w&w\\ w&w&f&w&w&\mathbf{w}&w&w&f\\ w&f&w&w&w&\mathbf{w}&f&w&w\\ w&f&f&f&f&\mathbf{w}&f&f&f\\ f&w&w&f&w&\mathbf{w}&f&f&f\\ f&w&f&f&w&\mathbf{w}&f&f&f\\ f&f&w&f&w&\mathbf{w}&f&f&f\\ f&f&f&f&f&\mathbf{w}&f&f&f\end{array}$$

Antwort 5

An sich gibt es schon einen kleinen strukturellen Unterschied zwischen $((a,\,b),\,c)$ und $(a,\,(b,\,c))$. In beiden Fälle aber ist die Reihenfolge der Elemente klar und jeweils gleich. Daher kann man gefahrlos auch sofort $(a,\,b,\,c)$ schreiben.

Antwort 6

Die Ausdrücke $a_{2}$ und $a_{3}$ haben den Wert zwei.

Antwort 7

Wir erhalten $a=5$, $b=7$ und $c=|5-7|=|{-2}|=2$.

Antwort 8

$A$ und $D$ sind offene Intervalle, $A=D=(-5,\,5)$. $B=[-5,\,5]$ ist ein abgeschlossenes, $C=(-5,\,5)\setminus\{2\}$ gar kein Intervall.