Integrationstechniken – Tipps, Tricks und Näherungsverfahren

Zusammenfassung

Wir haben bisher gesehen, was die prinzipiellen Ideen sind, die zum Integralbegriff geführt haben. Auch Anwendungen in den unterschiedlichsten Gebieten wurden schon angerissen. Nun müssen wir uns aber mit einem eher technischen Thema auseinandersetzen, nämlich der Frage, ob und wie man für allgemeine, beliebig zusammengesetzte Funktionen jeweils Stammfunktion angeben, sie also integrieren kann.

Die Antwort ist ebenso kurz wie erst einmal enttäuschend: Eine allgemeine Methode, Stammfunktionen zu finden, quasi eine unmittelbare Entsprechung zu den universellen Ableitungsregeln gibt es nicht. Tatsächlich kennt man genug Funktionen, deren Stammfunktionen sich bewiesenermaßen nicht mehr mittels elementarer Funktionen ausdrücken lassen. Nichtsdestotrotz werden wir in diesem Kapitel eine Sammlung von Techniken und Tricks kennenlernen, mit denen sich doch viele Integrale in den Griff bekommen lassen. Dies sind quasi die Haken und Seile unserer Integrations-Klettertouren.

So automatisiert wie beim Differenzieren geht es bei der Integration aber trotzdem selten zu – ein Indiz dafür ist, dass Computeralgebrasysteme keine Probleme haben, auch komplizierteste Ausdrücke in Sekundenbruchteilen zu differenzieren, an Integralen hingegen immer noch oft scheitern oder zumindest unnötig komplizierte und unübersichtliche Ausdrücke produzieren. Intuition und Übung spielen bei Integrationsaufgaben eine entscheidende Rolle.

Appendices

Zusammenfassung

1.1 Schon elementare Umformungen können Integrale wesentlich einfacher machen

Definitionsgleichungen und Identitäten können das Lösen eines Integrals deutlich erleichtern.

1.2 Die logarithmische Integration ist eine der nützlichsten Integrationsmethoden überhaupt

Logarithmische Integration

Ist bei einem Integral der Integrand ein Bruch, bei dem im Zähler die Ableitung des Nenners steht, so kann man direkt integrieren:

$$\displaystyle\int\frac{f^{\prime}(x)}{f(x)}\,\mathrm{d}x=\ln|f(x)|+C$$

Gleiche Integrale lassen sich oft auf ganz verschiedene Arten darstellen, die aber alle äquivalent sind.

1.3 Integration der Produktregel führt zur Methode der partiellen Integration

Partielle Integration

Für zwei differenzierbare Funktionen $u$ und $v$ mit den Ableitungen $u^{\prime}$ und $v^{\prime}$ gilt die Regel der partiellen Integration oder Produktintegration:

$$\displaystyle\int u\,v^{\prime}\,\mathrm{d}x=u\,v-\int u^{\prime}\,v\,\mathrm{d}x$$

(12.10)

Partielle Integration kann selbst dann Erfolg haben, wenn sie zum Ausgangsintegral zurückführt, nämlich dann, wenn man die erhaltene algebraische Gleichung nach dem gesuchten Integral auflösen kann.

1.4 Die Substitutionsmethode folgt aus der Integration der Kettenregel

Substitutionsmethode

Es gilt:

$$\displaystyle\int f(x)\,\mathrm{d}x=\int f(x(u))\,\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}u}\,\mathrm{d}u\,,$$

wenn $u$ eine differenzierbare Funktion von $x$ und im Integrationsbereich überall $u^{\prime}\neq 0$ ist. Dabei bezeichnet $x(u)$ die Umkehrfunktion von $u(x)$.

Auch bei bestimmten Integralen kann man die Substitutionsmethode anwenden, dabei muss man jedoch auch die Grenzen umrechnen.

1.5 Der erste Schritt bei der Integration rationaler Funktionen ist oft eine Polynomdivision

Das ist immer dann notwendig, wenn der Grad des Zählerpolynoms größer oder gleich dem des Nennerpolynoms ist.

1.6 Der entscheidende Schritt bei der Integration echt gebrochener Funktionen ist die Partialbruchzerlegung

Eine Möglichkeit, die Koeffizienten der Partialbruchzerlegung zu ermitteln ist der Koeffizientenvergleich. Dabei wird auf gemeinsamen Nenner gebracht und nach Potenzen der Variablen sortiert. Die Koeffizienten jeder Potenz müssen auf beiden Seiten übereinstimmen.

Auch durch Einsetzen konkreter Werte lassen sich die Koeffizienten der Partialbruchzerlegung bestimmen (Polstellenmethode).

1.7 Mehrfache Nullstellen müssen in der Partialbruchzerlegung auch mehrfach berücksichtigt werden

Für eine Nullstelle $x_{j}$ der Vielfachheit $\nu_{j}$ erhält man

$$\displaystyle\frac{A}{x-x_{j}}+\frac{B}{(x-x_{j})^{2}}+\ldots+\frac{K}{(x-x_{j})^{\nu_{j}}}.$$

1.8 Komplexe Nullstellen können auf zwei Arten behandelt werden

Entweder man arbeitet mit den komplexen Werten oder man fasst die beiden konjugiert komplexen Nullstellen zusammen, was einen Term der Form $\frac{Cx+D}{x^{2}+px+q}$ liefert.

1.9 Viele Integrale lassen sich durch geeignete Substitutionen auf rationale Form bringen und entsprechend einfach lösen

Eine besonders wichtige Substitution ist $x=\tan\frac{t}{2}$, die aus rationalen Funktionen in $\sin t$ und $\cos t$ eine rationale Funktion in der neuen Variablen $x$ macht.

1.10 Integrale lassen sich näherungsweise durch Integration von Approximationspolynomen bestimmen

Numerische Integration ist dann wichtig, wenn sich keine Stammfunktion des Integranden mehr finden lässt. Die Integration von Approximationspolynomen ist dazu eine sehr effiziente Methode.

1.11 Die Trapezformel ist eine einfache Variante, bestimmte Integrale näherungsweise auszuwerten

Zusammengesetzte Trapezformel

Als Näherungswert für das Integral über eine Funktion $f$ im Intervall $[a,\,b]$ erhält man mit $y_{k}=f(x_{k})$ und $x_{k}=a+k\frac{b-a}{n}$, $k=0,\ldots,\,n$:

$$\displaystyle Q_{n}^{T}=\frac{b-a}{n}\,\left(\frac{y_{0}}{2}+y_{1}+y_{2}+\ldots+y_{n-1}+\frac{y_{n}}{2}\right)$$

1.12 Die Simpson-Formel liefert bei gleichem Aufwand meist deutlich bessere Ergebnisse als die Trapezformel

Zusammengesetzte Simpson-Formel

Die Simpson-Formel liefert als Näherung für das Integral $\int_{a}^{b}f(x)\,\mathrm{d}x$

$$\begin{aligned}\displaystyle Q^{S}_{n}=\smash[b]{\frac{b-a}{3n}}(&\displaystyle y_{0}+4y_{1}+2y_{2}+4y_{3}+\cdots\\ \displaystyle&\displaystyle\cdots+2y_{n-2}+4y_{n-1}+y_{n})\end{aligned}$$

mit $y_{k}=f(x_{k})$ und $x_{k}=a+k\frac{b-a}{n}$, $k=0,\ldots,\,n$.

1.13 Für die Integration mit hoher Genauigkeit stehen Quadraturformeln höherer Ordnung zur Verfügung

Dabei werden Approximationspolynome höherer Ordnung integriert. Besonders wichtig sind dabei Verfahren, die auf Orthogonalpolynomen beruhen.

1.14 Einen Sonderstatus unter den Quadraturformeln nimmt das Romberg-Verfahren ein

Dieses Verfahren erlaubt es, Ergebnisse von Quadraturen niedriger Ordnung zu Ergebnissen höherer Ordnung zu kombinieren.

Aufgaben

Die Aufgaben gliedern sich in drei Kategorien: Anhand der Verständnisfragen können Sie prüfen, ob Sie die Begriffe und zentralen Aussagen verstanden haben, mit den Rechenaufgaben üben Sie Ihre technischen Fertigkeiten und die Anwendungsprobleme geben Ihnen Gelegenheit, das Gelernte an praktischen Fragestellungen auszuprobieren.

Ein Punktesystem unterscheidet leichte Aufgaben •, mittelschwere •• und anspruchsvolle ••• Aufgaben. Lösungshinweise am Ende des Buches helfen Ihnen, falls Sie bei einer Aufgabe partout nicht weiterkommen. Dort finden Sie auch die Lösungen – betrügen Sie sich aber nicht selbst und schlagen Sie erst nach, wenn Sie selber zu einer Lösung gekommen sind. Ausführliche Lösungswege, Beweise und Abbildungen finden Sie auf der Website zum Buch.

Viel Spaß und Erfolg bei den Aufgaben!

2.1 Verständnisfragen

12.1

• Als Umkehrung welcher Rechenregeln ergeben sich Substitution und partielle Integration?

12.2

•• Man bestimme das Integral

$$\displaystyle I=\int_{-\pi}^{\pi}\frac{\sinh x\,\cos x}{1+x^{2}}\,\mathrm{d}x$$

12.3

•• Substituieren Sie im Integral

$$\displaystyle I=\int_{0}^{1}\frac{\mathrm{d}x}{x^{\alpha}}$$

$u=1/x$ und vergleichen Sie die Konvergenzeigenschaften des ursprünglichen und des neuen Integrals in Abhängigkeit von $\alpha\in\mathbb{R}$.

12.4

•• Eine Methode, Integrale der Form

$$\displaystyle\int_{a}^{\infty}f(x)\,\mathrm{d}x$$

numerisch zu bestimmen ist es, eine Genauigkeit $\varepsilon> 0$ vorzugeben, dann die Folge der Integrale

$$\displaystyle I_{1}=\int_{a}^{b_{1}}f(x)\,\mathrm{d}x\,,\qquad I_{2}=\int_{a}^{b_{2}}f(x)\,\mathrm{d}x\,,\qquad\ldots$$

mit $a<b_{1}<b_{2}<b_{3}<\ldots$ zu bestimmen und den Prozess abzubrechen, wenn $\left|I_{n}-I_{n-1}\right|<\varepsilon$ ist. Vergleichen Sie die beiden Möglichkeiten $b_{n}=100\,n$ und $b_{n}=10^{n}$ für die beiden Integrale

$$\displaystyle I_{1}=\int_{1}^{\infty}\frac{1}{x^{5/4}}\,\mathrm{d}x\quad\mathrm{und}\quad I_{2}=\int_{1}^{\infty}\frac{1}{x^{4/5}}\,\mathrm{d}x$$

mit einer vorgegebenen Genauigkeit $\varepsilon=10^{-6}$. Was ist der prinzipielle Nachteil dieser Methode?

2.2 Rechenaufgaben

12.5

• Man bestimme die im Folgenden angegebenen Integrale:

$$\displaystyle I=\int x\,\sin x\,\mathrm{d}x$$

12.6

••

$$\displaystyle I_{1}=7\int\sqrt{x\sqrt{x}}\,\mathrm{d}x,\qquad I_{2}=15\int\sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x}}}\,\mathrm{d}x.$$

12.7

••

$$\displaystyle I_{1}=\int\frac{x}{\cosh^{2}x}\,\mathrm{d}x,\qquad I_{2}=\int\frac{\ln(x^{2})}{x^{2}}\,\mathrm{d}x$$

12.8

••

$$\displaystyle I_{1}=\int_{\pi/6}^{\pi/2}\frac{x}{\sin^{2}x}\,\mathrm{d}x\,,\qquad I_{2}=\int_{0}^{1}r^{2}\,\sqrt{1-r}\,\mathrm{d}r$$

12.9

••

$$\displaystyle I_{1}=\int_{0}^{1}\frac{\mathrm{e}^{x}}{(1+\mathrm{e}^{x})^{2}}\,\mathrm{d}x\,,\qquad I_{2}=\int\frac{\cos(\ln x)}{x}\,\mathrm{d}x$$

12.10

••

$$\displaystyle I=\int\cos\left(\mathrm{e}^{\sin x}\right)\,\mathrm{e}^{\sin x}\,\cos x\,\mathrm{d}x$$

12.11

••

$$\displaystyle I_{1}=\int\frac{\mathrm{e}^{x}}{\mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{-x}}\,\mathrm{d}x\,,\qquad I_{2}=\int\frac{\ln^{2}x}{x}\,\mathrm{d}x$$

12.12

••

$$\displaystyle I=\int\mathrm{e}^{x}\,\cosh(\mathrm{e}^{x})\,\mathrm{e}^{\left(\mathrm{e}^{x}\right)}\,\mathrm{d}x$$

12.13

••

$$\displaystyle I=\int_{1}^{2}\frac{x-27}{x^{3}-2x^{2}-3x}\,\mathrm{d}x$$

12.14

••

$$\displaystyle I=\int_{0}^{1}\frac{x^{2}-6x-7}{(x-2)^{2}\,(x^{2}+1)}\,\mathrm{d}x$$

12.15

••

$$\displaystyle I_{1}=\int\frac{4x-2}{x^{2}+3x+3}\,\mathrm{d}x\,,\qquad I_{2}=\int\frac{\mathrm{e}^{x}\;\sinh x}{\mathrm{e}^{x}+1}\,\mathrm{d}x$$

12.16

••

$$\displaystyle I=\int\frac{x^{2}+2x+2}{x^{3}+3x^{2}+6x+12}\,\mathrm{d}x$$

12.17

••

$$\displaystyle I_{1}=\int x\cdot\ln(x^{2})\,\mathrm{d}x\,,\qquad I_{2}=\int\frac{\tan x}{\cos x}\,\mathrm{d}x$$

12.18

••

$$\displaystyle I=\int\cosh(\mathrm{e}^{x})\,\mathrm{e}^{2x}\,\mathrm{d}x$$

12.19

••

$$\displaystyle I=\int\frac{\sin x}{\cos x-\sin^{2}x}\,\mathrm{d}x$$

12.20

••

$$\displaystyle I_{1}=\int\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{1+\mathrm{e}^{2x}}}\,,\qquad I_{2}=\int\frac{\sin x}{1+\cos x}\,\mathrm{d}x$$

12.21

•• Man zeige die Beziehung

$$\displaystyle\int_{0}^{\infty}\frac{\ln x}{x^{2}+1}\,\mathrm{d}x=0$$

12.22

• Die Funktion $f$ sei auf $\mathbb{R}$ zweimal stetig differenzierbar. Zeigen Sie für alle Intervalle $[a,\,b]$

$$\displaystyle\int_{a}^{b}x\,f^{\prime\prime}(x)\,\mathrm{d}x=\left[b\,f^{\prime}(b)-a\,f^{\prime}(a)\right]-\left[f(b)-f(a)\right]\,.$$

12.23

•• Man bestimme einen allgemeinen Ausdruck für Integrale der Form

$$\displaystyle I_{n}=\int x^{n}\,\ln x\,\mathrm{d}x$$

mit $n\in\mathbb{N}$.

12.24

•• Man bestimme jeweils eine Rekursionsformel für die Integrale

$$\begin{aligned}\displaystyle I_{n}&\displaystyle=\int x^{n}\,\mathrm{e}^{-x}\,\mathrm{d}x\\ \displaystyle J_{n}&\displaystyle=\int\sin^{n}x\,\mathrm{d}x\end{aligned}$$

12.25

•• Man zeige, dass die Reihe

$$\displaystyle\left(\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^{3}+3k^{2}+2k}\right)$$

konvergent ist und bestimme ihren Wert.

2.3 Anwendungsprobleme

12.26

•• Die Geschwindigkeit einer Rakete, die mit Startgeschwindigkeit $v_{0}=0$ abhebt, ist durch

$$\displaystyle v(t)=u\,\ln\frac{m_{0}}{m_{0}-qt}-gt$$

gegeben, wobei $m_{0}$ die Masse der Rakete beim Start, $q$ die Rate des Massenausstoßes (und damit des Treibstoffverbrauchs) und $g$ die Erdbeschleunigung bezeichnet. Bestimmen Sie den bis zu einer Zeit $t=t_{f}$ (final) zurückgelegten Weg $s(t_{f})=\int_{0}^{t_{f}}v(t)\,\mathrm{d}t$ unter der Annahme (näherungsweise) konstanter Erdbeschleunigung. Schätzen Sie die maximale Zeit, für die die obige Formel Gültigkeit hat.

12.27

•• Implementieren Sie in einer Programmiersprache Ihrer Wahl die Trapez- und die Simpson-Formel. Testen Sie sie an einigen Funktionen, deren Integrale Sie analytisch bestimmen können. Vergleichen Sie die Effizienz der beiden Methoden.

12.28

•• Schreiben Sie in einer Programmiersprache Ihrer Wahl einen einfachen Monte-Carlo-Integrator. Testen Sie ihn an einigen Funktionen, deren Integrale Sie analytisch bestimmen können.

12.29

• Auch die rekursive Implementierung der Simpson-Formel auf S. 456 hat natürlich mit jenen Schwächen zu kämpfen, die zu Beginn von Abschnitt 12.5 angeführt wurden. Finden Sie eine Funktion, für die simpson einen völlig falschen Wert liefert.

12.30

•• Die rekursive Implementierung der Simpson-Formel auf S. 456 bietet noch einige Möglichkeiten für Verbesserungen. Modifizieren Sie die Funktion so, dass bereits benutzte Funktionswerte bei den rekursiven Aufrufen weiterverwendet und nicht wieder neu berechnet werden. Ergänzen Sie zudem, dass die maximal benötigte Rekursionstiefe und die Gesamtzahl der Funktionsaufrufe ermittelt und ausgegeben werden.

Antworten der Selbstfragen

Antwort 1

Ja, wenn man im Zähler einen Faktor $2$ ergänzt. Dann erhält man

$$\begin{aligned}\displaystyle I&\displaystyle=\frac{1}{2}\int\frac{2\mathrm{e}^{2x}+2x+4x^{3}+2\cos(2x)}{\mathrm{e}^{2x}+x^{2}+x^{4}+\sin(2x)}\,\mathrm{d}x\\ \displaystyle&\displaystyle=\frac{1}{2}\int\frac{\left(\mathrm{e}^{2x}+x^{2}+x^{4}+\sin(2x)\right)^{\prime}}{\mathrm{e}^{2x}+x^{2}+x^{4}+\sin(2x)}\,\mathrm{d}x\\ \displaystyle&\displaystyle=\frac{1}{2}\ln\left|\mathrm{e}^{2x}+x^{2}+x^{4}+\sin(2x)\right|+C\,.\end{aligned}$$

Antwort 2

Dazu substituieren wir $u=ax+b$ und erhalten $\mathrm{d}u/\mathrm{d}x=a$.

Antwort 3

Wir schneiden die Gerade $y=t\,(x-1)$ mit dem Kreis $x^{2}+y^{2}=1$. Einsetzen liefert

$$\displaystyle(1+t^{2})\,x^{2}+2t^{2}\,x^{2}+(t^{2}-1)=0\,.$$

Wir wissen, dass $x=-1$ eine Lösung dieser Gleichung ist, und erhalten durch Division

$$\displaystyle\frac{(1+t^{2})\,x^{2}+2t^{2}\,x^{2}+(t^{2}-1)}{x+1}=(1+t^{2})\,x+(t^{2}-1)\,.$$

Daraus ergibt sich unmittelbar:

$$\displaystyle x=\frac{t^{2}-1}{1+t^{2}},\quad y=t\,\left(\frac{t^{2}-1}{1+t^{2}}-1\right)=\frac{2t}{1+t^{2}}$$

Antwort 4

Nein. Beispielsweise gibt es im Fall $a_{n}=\sqrt{n}$ zu jedem $\varepsilon> 0$ einen Index, ab dem die Differenz zweier aufeinander folgender Glieder kleiner wird als $\varepsilon$, die Folge divergiert jedoch.

Antwort 5

Die beste Strategie ist es meist, das Schema zeilenweise zu durchlaufen. Am Ende einer Zeile steht dann jeweils ein Ergebnis, in das alle bisherigen eingeflossen sind und das man bei Erfüllung geeigneter Kriterien als Endergebnis der numerischen Integration akzeptieren kann.