Zusammenfassung
In diesem Kapitel werden mathematische Grundlagen zusammengefasst, wie sie für die elektromagnetische Feldtheorie benötigt werden. Auf diese Grundlagen wird im Verlaufe dieses Buches immer wieder zurückgegriffen. Da der größte Teil dieses Kapitels bereits bekannt sein sollte, sind die Ausführungen knapp gehalten. Das mathematische Handwerkszeug der elektromagnetischen Feldtheorie ist zweifellos die Vektoranalysis, denn magnetische und elektrische Feldstärken lassen sich als orts- und zeitabhängige Vektoren, also als Vektorfelder, darstellen. Neben der Vektoralgebra und –analysis (und damit auch der Differential- und Integralrechnung mehrerer Veränderlicher) enthält das Kapitel auch eine Diskussion grundlegender komplexer Funktionen sowie elliptischer Integrale. Einfache partielle Differentialgleichungen und ihre Lösung durch Separationsansätze werden diskutiert. Schließlich wird ausgeführt, wie man Distributionen, zu denen die Dirac’sche Delta-Distribution gehört, heuristisch behandelt und wie dies in Zusammenhang mit der mathematisch exakten Theorie der Distributionen (bzw. verallgemeinerten Funktionen) steht.
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Notes
- 1.
Im Kapitel über die Tensoranalysis, das im Vertiefungsband enthalten ist, werden die Operatoren Gradient, Divergenz und Rotation im Rahmen des Tensorkalküls so verallgemeinert, dass auch andere Argumente und Ergebnisse auftreten können.
- 2.
Im streng mathematischen Sinne ist eine Koordinatentransformation ein Diffeomorphismus, also eine umkehrbare Abbildung, die in beiden Richtungen mehrfach differenzierbar ist. Deshalb müsste man u. a. \(\rho=0\) bzw. \(r=0\) bei den folgenden Aufgaben 2.6 und 2.6 ausschließen. In der Praxis lässt man diese Werte aber gerne zu, um den gesamten Raum beschreiben zu können. Dies kann jedoch in Spezialfällen zu Problemen führen.
- 3.
Ab hier wird mehrfach von der Beziehung \(\sin^{2}x+\cos^{2}x=1\) Gebrauch gemacht.
- 4.
An dieser Stelle wird ausgenutzt, dass die Skalarprodukte \(\vec{e}_{x}\cdot\vec{e}_{y}\), \(\vec{e}_{x}\cdot\vec{e}_{z}\), \(\vec{e}_{y}\cdot\vec{e}_{z}\) sowie die Skalarprodukte \(\vec{e}_{r}\cdot\vec{e}_{\vartheta}\), \(\vec{e}_{r}\cdot\vec{e}_{\varphi}\) und \(\vec{e}_{\vartheta}\cdot\vec{e}_{\varphi}\) gleich null sind. Letzteres kann man anhand von (2.47) bis (2.49 ) leicht verifizieren; das kartesische Koordinatensystem und das Kugelkoordinatensystem sind sogenannte orthogonale Koordinatensysteme.
- 5.
Solche Zerlegungen werden in Abschn. 3.5 benötigt. Dort wird mit der Zerlegung erreicht, dass Materialgrenzen, die zu einem unstetigen Verlauf der Materialparameter und damit auch zu unstetigen Feldkomponenten führen können, nicht in das jeweils betrachtete Teilgebiet fallen, sondern auf die Grenzschicht zwischen zwei Teilgebieten. Dank dieser Maßnahme sind die Feldgrößen dann innerhalb jedes Teilgebietes hinreichend oft stetig differenzierbar.
- 6.
Eine Menge \(\Omega\subset\mathbb{R}^{n}\) ist zusammenhängend, wenn es für zwei beliebige Punkte \(\vec{r}_{1},\vec{r}_{2}\in\Omega\) einen Polygonzug gibt, der vollständig in \(\Omega\) liegt und beide Punkte \(\vec{r}_{1}\) und \(\vec{r}_{2}\) verbindet.
- 7.
In der Mathematik existieren verschiedene Möglichkeiten, den Rand zu definieren, sodass manchmal zwischen dem Rand und der Berandung unterschieden wird. Gemäß der Definition
$$\partial\mathcal{B}_{k}=\bar{\mathcal{B}}_{k}\backslash\mathcal{B}_{k}^{\circ}$$aus der mathematischen Topologie muss man vom Abschluss \(\bar{\mathcal{B}}_{k}\) der Menge \(\mathcal{B}_{k}\) das Innere \(\mathcal{B}_{k}^{\circ}\) weglassen, um den Rand zu erhalten. Für unsere Zwecke ist es jedoch treffender, die Definition des Randes im Sinne von sogenannten berandeten Mannigfaltigkeiten zu benutzen. Dies sei jedoch nur als Ausblick für fortgeschrittene Leser erwähnt; Anfänger müssen glücklicherweise keine Vorkenntnisse im Hinblick auf Mannigfaltigkeiten besitzen, da die geometrischen Zusammenhänge sehr anschaulich sind.
- 8.
- 9.
auch Parallelflach, Parallelepiped oder Parallelotop genannt.
- 10.
Zum genauen Verständnis ist hervorzuheben, dass \(\alpha\), \(\beta\) und \(\gamma\) von \(x\), \(y\) und \(z\) abhängen. Umgekehrt sind \(x\), \(y\) und \(z\) Funktionen von \(\alpha\), \(\beta\) und \(\gamma\):
$$\begin{aligned}\displaystyle x&\displaystyle=x(\alpha,\beta,\gamma),\qquad\alpha=\alpha(x,y,z)\\ \displaystyle y&\displaystyle=y(\alpha,\beta,\gamma),\qquad\beta=\beta(x,y,z)\\ \displaystyle z&\displaystyle=z(\alpha,\beta,\gamma),\qquad\gamma=\gamma(x,y,z)\end{aligned}$$Differenziert man die rechten drei Gleichungen nach \(\alpha\), so erhält man unter Benutzung der Kettenregel
$$\begin{aligned}\displaystyle 1&\displaystyle=\frac{\partial\alpha}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial\alpha}+\frac{\partial\alpha}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial\alpha}+\frac{\partial\alpha}{\partial z}\frac{\partial z}{\partial\alpha},\\ \displaystyle 0&\displaystyle=\frac{\partial\beta}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial\alpha}+\frac{\partial\beta}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial\alpha}+\frac{\partial\beta}{\partial z}\frac{\partial z}{\partial\alpha},\\ \displaystyle 0&\displaystyle=\frac{\partial\gamma}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial\alpha}+\frac{\partial\gamma}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial\alpha}+\frac{\partial\gamma}{\partial z}\frac{\partial z}{\partial\alpha}.\end{aligned}$$Die rechten Seiten dieser drei Gleichungen entsprechen den gesuchten Klammerausdrücken.
- 11.
Es gilt
$$\vec{g}_{n}=\frac{\partial x}{\partial n}\vec{e}_{x}+\frac{\partial y}{\partial n}\vec{e}_{y}+\frac{\partial z}{\partial n}\vec{e}_{z}=\frac{\partial x}{\partial\alpha}\frac{\partial\alpha}{\partial n}\vec{e}_{x}+\frac{\partial y}{\partial\alpha}\frac{\partial\alpha}{\partial n}\vec{e}_{y}+\frac{\partial z}{\partial\alpha}\frac{\partial\alpha}{\partial n}\vec{e}_{z}=\frac{\partial\alpha}{\partial n}\vec{g}_{\alpha},$$sodass wegen
$$\frac{\partial\alpha}{\partial n}=|\vec{g}_{\alpha}|^{-1}$$die Beziehung \(|\vec{g}_{n}|=1\) folgt.
- 12.
Formeln, die großgeschriebene Differentialoperatoren \(\operatorname{Grad}\) oder \(\operatorname{Div}\) enthalten, können im Rahmen dieses Grundlagenbands ignoriert werden; sie beziehen sich auf Tensoren und werden erst im Vertiefungsband behandelt.
- 13.
Wenn \(z=0\) gilt, ist es zweckmäßig, \(0^{0}=1\) und für \(\operatorname{Re}\{w\}> 0\) die Potenz \(0^{w}=0\) zu definieren.
- 14.
Demgegenüber gilt im Allgemeinen
$$\sqrt{z^{2}}\neq z,$$wie man für \(z=-1\) leicht nachprüft, da die linke Seite dann \(\sqrt{z^{2}}=1\) liefert.
- 15.
Die Definitionen der Arkus- und der Areafunktionen sind in der Literatur nicht einheitlich. Für selbstverständlich gehaltene Formeln können bei einer Definition tatsächlich in der gesamten komplexen Zahlenebene \(\mathbb{C}\) gelten, bei einer anderen Definition jedoch bestimmte Einschränkungen des Definitionsbereichs erfordern. In diesem Sinne enthalten viele Nachschlagewerke inkonsistente Formeln. Deshalb werden in diesem Abschnitt Definitionen benutzt, für die die nachfolgenden Formeln tatsächlich uneingeschränkt (bis auf offensichtliche Einschränkungen, bei denen zum Beispiel ein Nenner oder das Argument der Logarithmusfunktion gleich null wird) gültig sind.
- 16.
In der Literatur findet man auch die Abkürzungen „arcsinh“ statt „arsinh“, „arccosh“ statt „arcosh“, „arctanh“ statt „artanh“, obwohl die Areafunktionen keine Arkusfunktionen sind und somit nicht mit „arc“ gekennzeichnet werden sollten. Manchmal werden Umkehrfunktionen zur Funktion \(f(z)\) auch gemäß \(f^{-1}(z)\) durch eine hochgestellte \(-1\) gekennzeichnet. Dies birgt dann eine Verwechslungsgefahr mit einem gewöhnlichen Kehrwert.
- 17.
Auf analytische Funktionen werden wir insbesondere in Abschn. 6.3 eingehen.
- 18.
Die Schnitte sind wie gesagt nötig, damit die jeweilige Funktion komplex differenzierbar wird. Trotzdem lassen sich im Schnitt Funktionswerte angeben. Beispielsweise gilt gemäß (2.91) \(\ln(-1)=j\pi\), obwohl der Wert \(z=-1\) aus dem Definitionsbereich entfernt werden muss, wenn die Funktion \(\ln(z)\) dort analytisch sein soll. Für rein algebraische Rechnungen kann der Definitionsbereich somit größer sein als für die komplexe Analysis.
- 19.
Beispielsweise wird in Fichtenholz 2004, Band 2, bei den elliptischen Integralen erster und zweiter Gattung zuerst der Modul und dann die Amplitude im Funktionsargument aufgelistet.
- 20.
Die Laplacegleichung ist also quasi die homogene Poissongleichung.
- 21.
Auch Linienladungen mit der Linienladungsdichte \(\lambda_{\mathrm{el}}\) fallen in diese Kategorie. Da man \(\lambda_{\mathrm{el}}\) nur entlang der Längsachse integrieren muss, um die Ladung zu erhalten, muss die Raumladungsdichte unendlich groß sein.
- 22.
Die Delta-Distribution wird oft als Deltafunktion bezeichnet, was aber die Tatsache verwischt, dass es sich dabei nicht um eine klassische Funktion handelt.
- 23.
In Abschn. 2.15.2 wird aufgezeigt, wie dieser streng mathematische Weg aussieht.
- 24.
Unter einer gewöhnlichen Funktion wird in diesem Zusammenhang eine lokal integrierbare Funktion verstanden, also eine Funktion, die in jedem beschränkten Gebiet absolut integrierbar ist.
- 25.
Die Integration erfolgt in der Distributionentheorie – im Gegensatz zu den endlichen Integrationsgrenzen in diesem Abschnitt – dann von \(-\infty\) bis \(+\infty\) bzw. über den gesamten Raum. Die Ergebnisse dieses Abschnittes werden dadurch nicht geändert, zumal die Grundfunktionen sowieso nur in einem endlichen Intervall ungleich null sind.
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Klingbeil, H. (2018). Mathematische Grundlagen. In: Grundlagen der elektromagnetischen Feldtheorie . Springer Spektrum, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-662-56600-8_2
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