Zusammenfassung
Mit der Untersuchung von Cauchyintegralen auf dem Einheitskreis beginnt in diesem Kapitel der Einstieg in die originär komplexe Analysis. Die Cauchysche Integralformel für den Einheitskreis besagt, dass Funktionen in der Diskalgebra auf der offenen Einheitskreisscheibe \(\mathbb {D}\) mit ihrem Cauchyintegral übereinstimmen. Da Cauchyintegrale analytische Funktionen sind, ergibt sich in magischer Weise, quasi wie von selbst, die Analytizität holomorpher Funktionen. Damit hält man den Schlüssel in der Hand, mit dem das Tor zur faszinierenden Welt holomorpher Funktionen geöffnet werden kann. Ein erster Blick in diese Welt wird sofort geworfen.
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Notes
- 1.
Mit z = e it für t ∈ (−π, π] ist \(e_k(z)=e^{ikt}=\cos {}(kt) + i\sin {}(kt)\), und damit sind trigonometrische Polynome Linearkombinationen der trigonometrischen Funktionen \(\cos {}(kt)\) und \(\sin {}(kt)\).
- 2.
Meist schließt man den Fall lokal konstanter Funktionen mit Wert ∞ bei der Definition meromorpher Funktionen nicht mit ein. Das hat aus algebraischer Sicht Vorteile (die in diesem Sinne meromorphen Funktionen bilden im Falle eines Gebiets G den Quotientenkörper des Rings der in G holomorphen Funktionen; siehe etwa [1]). Für unsere Zwecke erweist sich die erweiterte Definition jedoch als praktischer.
Literatur
Remmert, R.: Funktionentheorie I. Springer, Berlin (1984)
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Müller, J. (2018). Magische Zirkel: Kreisfunktionen und lokale Funktionentheorie. In: Konzepte der Funktionentheorie. Springer Spektrum, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-662-56260-4_4
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DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-662-56260-4_4
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Publisher Name: Springer Spektrum, Berlin, Heidelberg
Print ISBN: 978-3-662-56259-8
Online ISBN: 978-3-662-56260-4
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