Die Unvollständigkeitssätze

  • Alexander George
  • Daniel J. Velleman
Chapter

Zusammenfassung

Die Unvollständigkeitssätze gelten für eine ganze Bandbreite an formalen Systemen, aber um die Darstellung zu erleichtern, werden wir uns für den Großteil des Kapitels auf ein bestimmtes formales System konzentrieren. Das formale System, welches wir betrachten, ist eine Version der Peano-Axiome und wird häufig als Peano-Arithmetik bezeichnet, oder kurz auch als PA. In Kap. 2 und 3 haben wir bereits gesehen, dass die Peano-Axiome für die Grundlagen der Mathematik eine zentrale Rolle spielen, und wir werden in diesem Kapitel erfahren, dass bestimmte Eigenschaften von PA in den Beweisen der Unvollständigkeitssätze ebenfalls eine zentrale Rolle spielen. Die Sprache von PA enthält zusätzlich zu den üblichen Zeichen der Logik („\(\land\)“, „\(\lor\)“, „\(\neg\)“, „\(\rightarrow\)“, „\(\leftrightarrow\)“, „\(\forall\)“, „\(\exists\)“, „\((\)“, „\()\)“ und „\(=\)“) das Zeichen „\(0\)“ (null), „\(S\)“ (für die Nachfolgeroperation), „\(<\)“, „\(+\)“ und „\(\cdot\)“ und Variablen „\(x_{1}\)“, „\(x_{2}\)“, „\(x_{3}\)“, … (die für natürliche Zahlen stehen). Die Axiome von PA sind die üblichen Axiome für die Logik erster Stufe zusammen mit Sätzen dieser Sprache, die die Peano-Axiome ausdrücken, und Sätzen, die besagen, dass die Zeichen „\(<\)“, „\(+\)“ und „\(\cdot\)“ die üblichen Definitionen der Kleiner-Relation und der Additions- sowie Multiplikationsoperation erfüllen.

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Authors and Affiliations

  • Alexander George
    • 1
  • Daniel J. Velleman
    • 2
  1. 1.Dept of PhilosophyAmherst CollegeAmherstUSA
  2. 2.Dept of Mathematics and StatisticsAmherst CollegeAmherstUSA

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