Relativistische Formulierung der Elektrodynamik

Zusammenfassung

Schon vor der Formulierung der speziellen Relativitätstheorie durch Einstein hatten Lorentz und Poincaré das Transformationsverhalten elektromagnetischer Felder unter einem Wechsel des Inertialsystems herausgefunden und waren dabei auf die Effekte der Lorentz-Kontraktion und sogar der Zeitdilatation gestoßen. Einsteins spezielle Relativitätstheorie und insbesondere der „Viererformalismus“ des Minkowski-Raumes, in dem das Newton’sche Konzept der absoluten Zeit aufgegeben wird, erlaubt es, die Maxwell-Gleichungen in eine elegante und auch praktische Lorentz-kovariante Form zu bringen, in der elektrische und magnetische Felder endgültig vereinheitlicht werden.

Zu diesem Zweck werden wir in Abschn. 8.1 zunächst die Vierernotation aus Bd. 1, Kap. 9 und 10 rekapitulieren und die wichtigsten Aspekte des Minkowski-Raumes in Erinnerung rufen. Falls diese Kapitel aus Bd. 1 übersprungen wurden, wäre nun auch ein guter Zeitpunkt, die spezielle Relativitätstheorie anhand der Bd. 1, Kap. 9 und 10 ausführlicher zu studieren.

Appendices

Aufgaben

Gelegentlich enthalten die Aufgaben mehr Angaben, als für die Lösung erforderlich sind. Bei einigen anderen dagegen werden Daten aus dem Allgemeinwissen, aus anderen Quellen oder sinnvolle Schätzungen benötigt.

• leichte Aufgaben mit wenigen Rechenschritten

•• mittelschwere Aufgaben, die etwas Denkarbeit und unter Umständen die Kombination verschiedener Konzepte erfordern

••• anspruchsvolle Aufgaben, die fortgeschrittene Konzepte (unter Umständen auch aus späteren Kapiteln) oder eigene mathematische Modellbildung benötigen

8.1 • Lorentz-Boost eines Plattenkondensators senkrecht zu den Platten

Im Text wurde gezeigt, dass sich am homogenen elektrischen Feld eines unendlich ausgedehnten Plattenkondensators nichts ändert, wenn eine Lorentz-Transformation mit Geschwindigkeit senkrecht zu den Platten ausgeführt wird. Nicht einmal ein magnetisches Feld kommt hinzu, da dies die Symmetrie des Problems nicht erlaubt. Überprüfen Sie diese Aussagen, indem Sie das rein elektrostatische Potenzial im Ruhesystem des Kondensators, $A^{\mu}=(\phi,{\boldsymbol{0}})$, $\phi=-Ex$ für $x\in(0,d)$, in ein Inertialsystem, das sich mit Geschwindigkeit $v$ in positiver $x$-Richtung bewegt, transformieren.

Lösen Sie dabei folgendes Paradoxon auf: Im bewegten System ist der Plattenabstand Lorentz-kontrahiert, somit sollte bei gleichem $E$ die Potenzialdifferenz an den Platten sinken. Tatsächlich wird sie aber bei der Lorentz-Transformation als Nullkomponente eines Vierervektors um einen Faktor $\gamma$ erhöht: $\phi^{\prime}=\gamma\phi$.

Lösungshinweis:

Hier ist es besser, zuerst sorgfältig zu rechnen und dann zu denken!

8.2 • Lorentz-Invariante des Feldstärketensors als Test

Überprüfen Sie, dass die in (8.75) angegebene Lösung für die Feldstärke einer gleichförmig bewegten Punktladung zusammen mit dem Magnetfeld ${\boldsymbol{B}}^{\prime}=-{\boldsymbol{\beta}}\times{\boldsymbol{E}}^{\prime}$ die Relationen in (8.70) erfüllt.

Lösungshinweis:

Beachten Sie den Zusammenhang (8.73) zwischen gestrichenen und ungestrichenen Koordinaten.

8.3 •• Knick der Feldlinien bei der Schockwelle einer plötzlich gestoppten Punktladung

Berechnen Sie den Zusammenhang (8.76) für die elektrischen Feldlinien einer ruhenden und einer bewegten Punktladung aus der Forderung, dass der elektrische Fluss durch eine Kugelkappe mit Öffnungswinkel $\theta$ bzw. $\theta^{\prime}$ gleich ist (siehe Abb. 8.4).

Lösungshinweis:

Verwenden Sie die in (8.75) angegebene Lösung für das elektrische Feld einer gleichförmig bewegten Punktladung. Das auftretende Integral kann auf

$$\int\frac{\mathrm{d}x}{(a^{2}+x^{2})^{3/2}}=\frac{x}{a^{2}\sqrt{a^{2}+x^{2}}}$$

(8.136)

zurückgeführt werden.

8.4 •• Wie sieht Licht aus, wenn man ihm mit Lichtgeschwindigkeit nachläuft?

Betrachten Sie eine ebene Welle, die sich in $x$-Richtung ausbreitet und linear polarisiert ist gemäß $E_{y}(t,x)=E_{0}\cos(\omega(t-\frac{x}{c}))$. Wie stellt sich das Feld in einem Bezugssystem $\mathcal{S}^{\prime}$ dar, das sich mit Geschwindigkeit $v$ in positiver $x$-Richtung bewegt? Betrachten Sie insbesondere den Limes $v\to c$ und beantworten Sie damit die Frage, die sich Einstein als Jugendlicher stellte, nämlich wie Licht aussieht, wenn man ihm mit Lichtgeschwindigkeit nachläuft.

8.5 ••• Lorentz-Transformation von Energie und Impuls eines Ausschnitts einer ebenen Welle

Betrachten Sie nochmals Aufgabe 8.4, den Fall einer ebenen Welle, die in Ausbreitungsrichtung Lorentz-transformiert wird. Berechnen Sie mit den Ergebnissen von Aufgabe 8.4 Feldenergie und -impuls, $E_{V}$ und ${\boldsymbol{P}}_{V}$, die im System $\mathcal{S}$ in einem ruhenden endlichen Volumen $V$ vorhanden sind, und berechnen Sie die entsprechenden Ergebnisse im System $\mathcal{S}^{\prime}$ für dasselbe, nun Lorentz-kontrahierte Volumen. Nehmen Sie dabei der Einfachheit halber eine zirkular polarisierte Welle an, für die die Energiedichte räumlich konstant ist. Zeigen Sie, dass $E^{\prime}_{V}$ und ${\boldsymbol{P}}^{\prime}_{V}$ nicht mit dem Ergebnis einer Lorentz-Transformation des vermeintlichen Vierervektors $(\frac{1}{c}E_{V},{\boldsymbol{P}}_{V})$ übereinstimmt. Suchen Sie nach einer Lösung dieses Paradoxons!

Lösungshinweis:

Überlegen Sie, ob das betrachtete Volumen geeignet ist, eine kovariante Definition von Energie und Impuls in einem Ausschnitt des elektromagnetischen Feldes zu definieren.

8.6 •• Energie-Impuls-Tensor in linearen Medien

Verallgemeinern Sie die Herleitung des elektromagnetischen Energie-Impuls-Tensors aus (8.90) auf den Fall eines linearen Mediums. Überlegen Sie sich, woran diese Herleitung scheitert, wenn das Medium nicht durch einfache Materialkonstanten, sondern durch ortsabhängige Parameter charakterisiert ist.

8.7 • Relativistische Bewegung in zueinander senkrechten homogenen ${\boldsymbol{E}}$- und ${\boldsymbol{B}}$-Feldern

In Abschn. 5.5 und in Aufgabe 5.10 haben wir die Bewegung eines Teilchens in homogenen ${\boldsymbol{E}}$- und ${\boldsymbol{B}}$-Feldern betrachtet. In einem reinen Magnetfeld hatten wir gefunden, dass die Bewegung eine Spiralbahn ist, wobei wir schon bemerkt hatten, dass die relativistische Verallgemeinerung nur einen inversen $\gamma$-Faktor für die Zyklotronfrequenz bedeutet. Werden elektrische Felder hinzugenommen, wird die Bewegung komplizierter. In Aufgabe 5.10 wurde nur der nichtrelativistische Fall betrachtet, der gegeben ist, wenn die ${\boldsymbol{E}}$-Feldkomponente senkrecht zum Magnetfeld sehr viel kleiner als der Betrag des Magnetfeldes ist. In diesem Fall ergab sich eine Bahnkurve, die in der Ebene senkrecht zum Magnetfeld die Form einer oszillierenden Radlaufkurve (Trochoide) hat.

Zeigen Sie (ohne Rechnung), dass keine oszillierenden Bewegungen mehr möglich sind, wenn ein ${\boldsymbol{E}}$-Feld vorliegt, das senkrecht auf ${\boldsymbol{B}}$ steht und dessen Betrag größer als der des ${\boldsymbol{B}}$-Feldes ist, während für den umgekehrten Fall immer Oszillationen auftreten.

Zusatzfrage: Was bedeutet das hier im Gauß’schen Maßsystem formulierte Kriterium, dass das ${\boldsymbol{E}}$-Feld größer oder kleiner als das ${\boldsymbol{B}}$-Feld ist, im SI-System?

Lösungshinweis:

Verwenden Sie die Invarianten des Feldstärketensors für die Argumentation.

8.8 ••• Relativistische Bewegung in zueinander senkrechten homogenen ${\boldsymbol{E}}$- und ${\boldsymbol{B}}$-Feldern mit gleichem Betrag

Bestimmen Sie die Bahnkurve eines geladenen Teilchens für den Fall betragsgleicher zueinander senkrechter homogener ${\boldsymbol{E}}$- und ${\boldsymbol{B}}$-Felder mit der Anfangsbedingung, dass das Teilchen ursprünglich im Ursprung des Koordinatensystems ruhte. (Sind homogene ${\boldsymbol{E}}$- und ${\boldsymbol{B}}$-Felder in einem Inertialsystem betragsgleich und zueinander senkrecht, dann sind sie das in jedem. Wir können daher ohne Beschränkung der Allgemeinheit annehmen, dass das Teilchen zu einem vorgegebenen Zeitpunkt in Ruhe war.)

Lösungshinweis:

Identifizieren Sie zunächst anhand von (8.83) eine Konstante der Bewegung. Um die Bahnkurve aufzufinden, muss sie zudem nicht unbedingt durch die Koordinatenzeit parametrisiert werden. Es kann auch eine andere monoton anwachsende Größe dafür verwendet werden.

8.9 • Materialgleichungen eines linearen Mediums

Lösen Sie die Materialgleichungen in bewegter Materie (8.121) nach ${\boldsymbol{D}}$, ${\boldsymbol{B}}$ als Funktionen von ${\boldsymbol{E}}$, ${\boldsymbol{H}}$ auf!

Lösungshinweis:

Nutzen Sie dabei (8.122) aus.

Lösungen zu den Aufgaben

8.4

$$E^{\prime}_{y}(t^{\prime},x^{\prime})=b\,E_{0}\,\cos\left(b\,\omega\left(t-\frac{x}{c}\right)\right)\;\text{mit}\;b=\sqrt{\frac{1-\beta}{1+\beta}}$$

(8.137)

8.6

(8.117) und (8.118)

8.9

$${\boldsymbol{D}} =\frac{1}{1-\epsilon\mu\beta^{2}}$$

$$ \quad\cdot\left\{\epsilon{\boldsymbol{E}}(1-\beta^{2})+(\epsilon\mu-1)\left[{\boldsymbol{\beta}}\times{\boldsymbol{H}}-\epsilon{\boldsymbol{\beta}}\left({\boldsymbol{\beta}}\cdot{\boldsymbol{E}}\right)\right]\right\}$$

$${\boldsymbol{B}} =\frac{1}{1-\epsilon\mu\beta^{2}}$$

(8.138)

$$ \quad\cdot\left\{\mu{\boldsymbol{H}}(1-\beta^{2})-(\epsilon\mu-1)\left[{\boldsymbol{\beta}}\times{\boldsymbol{E}}+\mu{\boldsymbol{\beta}}\left({\boldsymbol{\beta}}\cdot{\boldsymbol{H}}\right)\right]\right\}$$

Ausführliche Lösungen zu den Aufgaben

8.1

Im relativ zum Ruhesystem des Kondensators bewegten System ist $\phi^{\prime}=\gamma\phi=-\gamma Ex$, sodass tatsächlich das Potenzial $\phi^{\prime}$ auf den Platten erhöht ist. Um die Feldstärke ${\boldsymbol{E}}^{\prime}$ auszurechnen, ist aber zu berücksichtigen, dass es im bewegten System auch ein Vektorpotenzial gibt, obwohl gar kein Magnetfeld ins Spiel kommen kann:

$$A^{\prime}_{x}=-\gamma\beta\phi=\gamma\beta Ex.$$

(8.139)

Dieses muss aber in den neuen Koordinaten angeschrieben werden, $x=\gamma(x^{\prime}+\beta ct^{\prime})$, und in diesen Koordinaten ist ${\boldsymbol{A}}^{\prime}$ zeitabhängig, sodass auch das Vektorpotenzial zu ${\boldsymbol{E}}^{\prime}$ beiträgt:

$$E^{\prime}_{x}=-{\partial}^{\prime}_{x}\phi^{\prime}-\frac{1}{c}{\partial}^{\prime}_{t}A_{x}^{\prime}=(\gamma^{2}-\beta^{2}\gamma^{2})E=E.$$

(8.140)

Das Magnetfeld verschwindet wegen ${\boldsymbol{B}}^{\prime}={\boldsymbol{\nabla}}^{\prime}\times{\boldsymbol{A}}^{\prime}\equiv 0$ auch in $\mathcal{S}^{\prime}$.

8.2

Die Identität ${\boldsymbol{E}}(x)\cdot{\boldsymbol{B}}(x)={\boldsymbol{E}}^{\prime}(x^{\prime})\cdot{\boldsymbol{B}}^{\prime}(x^{\prime})$ ist erfüllt, weil in $\mathcal{S}$ das Magnetfeld ${\boldsymbol{B}}\equiv 0$ ist und in $\mathcal{S}^{\prime}$ das Magnetfeld ${\boldsymbol{B}}^{\prime}$ orthogonal zu ${\boldsymbol{E}}^{\prime}$ steht.

Es bleibt zu zeigen, dass ${\boldsymbol{E}}^{\,\prime 2}(x^{\prime})-{\boldsymbol{B}}^{\,\prime 2}(x^{\prime})={\boldsymbol{E}}^{2}(x)$ erfüllt ist. ${\boldsymbol{E}}^{2}(x)=q^{2}/r^{4}$ lautet in den gestrichenen Koordinaten (8.73)

$${\boldsymbol{E}}^{2}(x(x^{\prime}))=\frac{q^{2}}{(\gamma^{2}R^{\prime 2}_{x}+R^{\prime 2}_{y}+R^{\prime 2}_{z})^{2}}.$$

(8.141)

Mit ${\boldsymbol{B}}^{\prime 2}=\beta^{2}{\boldsymbol{E}}^{\prime 2}\sin^{2}\vartheta$ und ${\boldsymbol{E}}^{\prime}$ aus (8.74) ergibt sich

$${\boldsymbol{E}}^{\,\prime 2}(x^{\prime})-{\boldsymbol{B}}^{\,\prime 2}(x^{\prime})=\frac{q^{2}\gamma^{2}R^{\prime 2}}{(\gamma^{2}R^{\prime 2}_{x}+R^{\prime 2}_{y}+R^{\prime 2}_{z})^{3}}(1-\beta^{2}\sin^{2}\vartheta),$$

(8.142)

wobei $\vartheta$ der Winkel zwischen ${\boldsymbol{R}}^{\prime}$ und ${\boldsymbol{\beta}}$ ist. Wegen $\beta^{2}\gamma^{2}=\gamma^{2}-1$ und $1-\sin^{2}\vartheta=\cos^{2}\vartheta$ ist (wie schon in (8.75) verwendet)

$$\begin{aligned}\displaystyle\gamma^{2}R^{\prime 2}(1-\beta^{2}\sin^{2}\vartheta)&\displaystyle=\gamma^{2}R^{\prime 2}\cos^{2}\vartheta+R^{\prime 2}\sin^{2}\vartheta\\ \displaystyle&\displaystyle=\gamma^{2}R^{\prime 2}_{x}+R^{\prime 2}_{y}+R^{\prime 2}_{z}.\end{aligned}$$

(8.143)

8.3

Für die ruhende Punktladung ist der elektrische Fluss durch eine Kugelkappe mit Öffnungswinkel $\theta$

$$\Upphi_{\mathrm{e}}=\frac{q}{r^{2}}\,2\uppi r^{2}\int_{0}^{\theta}\sin\vartheta\,\mathrm{d}\vartheta=2\uppi q(1-\cos\theta).$$

(8.144)

Für die bewegte Punktladung ergibt sich mit (8.75)

$$\begin{aligned}\displaystyle\Upphi_{\mathrm{e}}^{\prime}&\displaystyle=2\uppi q(1-\beta^{2})\int_{0}^{\theta^{\prime}}\frac{\sin\vartheta\,\mathrm{d}\vartheta}{(1-\beta^{2}\sin^{2}\vartheta)^{3/2}}\\ \displaystyle&\displaystyle=2\uppi q(1-\beta^{2})\int_{\cos\theta^{\prime}}^{1}\frac{\mathrm{d}x}{(1-\beta^{2}(1-x^{2}))^{3/2}}\\ \displaystyle&\displaystyle=2\uppi q\left(1-\frac{\cos\theta^{\prime}}{\sqrt{1-\beta^{2}\sin^{2}\theta^{\prime}}}\right),\end{aligned}$$

(8.145)

wobei im Integral $x=\cos\vartheta$ substituiert wurde. Aus $\Upphi_{\mathrm{e}}=\Upphi_{\mathrm{e}}^{\prime}$ ergibt sich damit

$$\frac{\cos\theta^{\prime}}{\sqrt{1-\beta^{2}\sin^{2}\theta^{\prime}}}=\cos\theta.$$

(8.146)

Berechnet man damit $\sin\theta=\sqrt{1-\cos\theta^{2}}$, so findet man

$$\sin\theta=\frac{\sqrt{1-\beta^{2}}\,\sin\theta^{\prime}}{\sqrt{1-\beta^{2}\sin^{2}\theta^{\prime}}}$$

(8.147)

und nach Division dieser Gleichungen

$$\tan\theta=\sqrt{1-\beta^{2}}\,\tan\theta^{\prime},$$

(8.148)

also (8.76).

8.4

Eine linear polarisierte ebene Welle, die sich in positiver $x$-Richtung mit elektrischem Feld ${\boldsymbol{E}}=E_{y}{\boldsymbol{\hat{y}}}$ ausbreitet, hat ein Magnetfeld $B_{z}=E_{y}$. Mit (8.65) folgt

$$\begin{aligned}\displaystyle E^{\prime}_{y}&\displaystyle=\gamma(E_{y}-\beta B_{z})\\ \displaystyle&\displaystyle=E_{y}\underbrace{\gamma(1-\beta)}_{b}=E_{y}\frac{1-\beta}{\sqrt{1-\beta^{2}}}=E_{y}\sqrt{\frac{1-\beta}{1+\beta}}.\qquad\end{aligned}$$

(8.149)

Mit der (inversen) Lorentz-Transformation $t=\gamma(t^{\prime}+\beta\frac{x^{\prime}}{c})$, $\frac{x}{c}=\gamma(\beta t^{\prime}+\frac{x^{\prime}}{c})$ ergibt sich für das Argument der Felder

$$\omega\,\left(t-\frac{x}{c}\right)=\omega\gamma(1-\beta)\,\left(t^{\prime}-\frac{x^{\prime}}{c}\right).$$

(8.150)

Damit ist die Frequenz in $\mathcal{S}^{\prime}$ in Übereinstimmung mit dem Ergebnis für den relativistischen Doppler-Effekt (8.107) für $\cos\alpha=-1$ gegeben durch

$$\omega^{\prime}=\gamma(1-\beta)\,\omega=b\,\omega.$$

(8.151)

Im Limes $\beta=\frac{v}{c}\to 1$ gehen also sowohl die Frequenz als auch die Amplitude der elektromagnetischen Felder gegen null.

8.5

Für die ebene Welle ist wegen ${\boldsymbol{E}}\perp{\boldsymbol{B}}$ und $|{\boldsymbol{E}}|=|{\boldsymbol{B}}|$

$$T^{00}=w_{\mathrm{em}}=T^{01}=c|{\boldsymbol{g}}^{\mathrm{em}}|=\frac{1}{4\uppi}{\boldsymbol{E}}^{2},$$

(8.152)

und bei zirkularer Polarisation sind diese Felder homogen im gesamten Raum. Energie und Impuls in einem in $\mathcal{S}$ ruhenden Volumen $V$ sind damit einfach

$$E_{V}=c{\boldsymbol{P}}_{V}=\frac{V}{4\uppi}{\boldsymbol{E}}^{2}.$$

(8.153)

Gemäß der Lösung von Aufgabe 8.4 ist im System $\mathcal{S}^{\prime}$

$$|{\boldsymbol{E}}^{\prime}|=\gamma(1-\beta)\,|{\boldsymbol{E}}|.$$

(8.154)

Weil dies in den Energie- und Impulsdichten quadratisch auftritt, haben wir

$$T^{\prime 00}=w^{\prime}_{\mathrm{em}}=T^{\prime 01}=c|{\boldsymbol{g}}^{\prime\mathrm{em}}|=\gamma^{2}(1-\beta)^{2}\,\frac{1}{4\uppi}{\boldsymbol{E}}^{2}.$$

(8.155)

Das Volumen $V$ bewegt sich nun bezüglich $\mathcal{S}^{\prime}$ mit Geschwindigkeit $-v$ in $x$-Richtung. Es wird also in dieser einen Richtung Lorentz-kontrahiert, sodass $V^{\prime}=V/\gamma$ gilt. Damit bekommen wir

$$E^{\prime}_{V}=V^{\prime}w^{\prime}_{\mathrm{em}}=\gamma(1-\beta)^{2}E_{V}$$

(8.156)

und denselben Zusammenhang für $P^{\prime}_{V}$ und $P_{V}$. Ein Viererimpuls mit Komponenten $(\frac{1}{c}E_{V},P_{V},0,0)$ würde bei einer Lorentz-Transformation aber einen Faktor $\gamma(1-\beta)$ für jede Komponente bekommen, und nicht $\gamma(1-\beta)^{2}$.

Was haben wir hier falsch gemacht? Nun, wir haben ein Volumen betrachtet, in das elektromagnetische Wellen auf der einen Seite ein- und auf der anderen Seite wieder austreten, jeweils mit Lichtgeschwindigkeit. In einem bewegten Volumen ist das zwar weiterhin der Fall, aber wir haben bei der Lorentz-Transformation nicht in Rechnung gestellt, dass die Ränder dieses Volumens in den beiden Systemen zu unterschiedlichen Zeiten betrachtet werden.

In der Definition des Viererfeldimpulses in (8.95) war wesentlich, dass über den gesamten Raum integriert werden kann und dass Beiträge vom Unendlichen verschwinden. Dies ist bei einer ebenen Welle nicht mehr der Fall. Wenn wir die Energie eines endlichen Bereichs betrachten wollen, bei dem sichergestellt ist, dass bei der Transformation nichts an den Rändern verloren geht, sollten wir diesen mit der ebenen Welle mitbewegen. Da es nur um ein Volumen zum Zweck der Rechnung geht und um keinen realen Behälter, ist dies kein Problem. Betrachten wir also ein Volumen $\bar{V}$, das sich in $\mathcal{S}$ mit Lichtgeschwindigkeit in positive $x$-Richtung bewegt und von Flächen bei $x=ct$ und $x=L+ct$ begrenzt wird. Sind die Flächen in transversaler Richtung $F$, so ist das Volumen zu einem beliebigen Zeitpunkt $\bar{V}=LF$. Im System $\mathcal{S}^{\prime}$ sind die Grenzflächen durch

$$x =ct\;\Rightarrow\;\gamma\left(\beta ct^{\prime}+x^{\prime}\right)=\gamma\left(ct^{\prime}+\beta x^{\prime}\right),$$

(8.157)

$$x =L+ct\;\Rightarrow\;\gamma\left(\beta ct^{\prime}+x^{\prime}\right)=L+\gamma\left(ct^{\prime}+\beta x^{\prime}\right)$$

(8.158)

gegeben. Betrachten wir z. B. den Zeitpunkt $t^{\prime}=0$, dann liegt eine Grenze bei $x^{\prime}=0$, während die andere durch

$$\gamma x^{\prime}=L+\gamma\beta x^{\prime}$$

(8.159)

gegeben ist. Dieser Wert von $x^{\prime}$ definiert nun $L^{\prime}$ und ist offenbar nicht durch $L/\gamma$, sondern durch

$$\gamma L^{\prime}=L+\gamma\beta L^{\prime}\Rightarrow L^{\prime}=\frac{1}{\gamma(1-\beta)}L$$

(8.160)

gegeben. Damit ist der fehlende Faktor $(1-\beta)^{-1}$ gefunden, der notwendig ist, damit Energie und Impuls des betrachteten Volumens wie Komponenten eines Vierervektors transformieren:

$$E^{\prime}_{\bar{V}}=\bar{V}^{\prime}w^{\prime}_{\mathrm{em}}=\gamma(1-\beta)E_{\bar{V}}=b\,E_{\bar{V}}.$$

(8.161)

Das Volumen muss dafür offenbar ein mit Lichtgeschwindigkeit mitgeführtes sein.

Diese Überlegung findet sich übrigens im Wesentlichen genau so in Einsteins berühmter Veröffentlichung aus dem Jahr 1905, in dem er die spezielle Relativitätstheorie begründete (Einstein 1905, §8). Er kommentiert dies dann mit der Feststellung: „Es ist bemerkenswert, dass die Energie und die Frequenz eines Lichtkomplexes sich nach demselben Gesetze mit dem Bewegungszustande des Beobachters ändern.“ Unter Lichtkomplex versteht er hierbei gerade den mit Lichtgeschwindigkeit mitgeführten Ausschnitt einer ebenen Welle. Ohne dieses Ergebnis wäre Einsteins unmittelbar zuvor veröffentlichte Lichtquantenhypothese, die ja $E=\hbar\omega$ setzt und mit der wir uns in Bd. 3 auseinandersetzen werden, nicht mit seiner speziellen Relativitätstheorie in Einklang gewesen (für weitere Diskussionen von Subtilitäten im Zusammenhang mit der Lorentz-Transformation von elektromagnetischer Feldenergie vgl. Avron 1999).

8.6

In die Viererkraftdichte für die freien Quellen

$$f^{\mu}_{\mathrm{f}}=\frac{1}{c}F^{\mu\nu}j_{\mathrm{f}\,\nu}$$

(8.162)

wird $j_{\mathrm{f}\,\nu}=\frac{c}{4\uppi}\partial^{\sigma}D_{\sigma\nu}$ eingesetzt:

$$\begin{aligned}\displaystyle f^{\mu}_{\mathrm{f}}&\displaystyle=\frac{1}{4\uppi}\,F^{\mu\nu}\,\partial^{\sigma}D_{\sigma\nu}\\ \displaystyle&\displaystyle=\frac{1}{4\uppi}\;\partial^{\sigma}\!\left(F^{\mu\nu}D_{\sigma\nu}\right)-\frac{1}{4\uppi}D_{\sigma\nu}\,\partial^{\sigma}F^{\mu\nu},\end{aligned}$$

(8.163)

und der letzte Term wird wie in (8.89) umgeformt:

$$\begin{aligned}\displaystyle D_{\sigma\nu}\,\partial^{\sigma}F^{\mu\nu}&\displaystyle=D_{\nu\sigma}\,\partial^{\nu}F^{\mu\sigma}=D_{\sigma\nu}\,\partial^{\nu}F^{\sigma\mu}\\ \displaystyle&\displaystyle=\frac{1}{2}\,D_{\sigma\nu}\,(\partial^{\sigma}F^{\mu\nu}+\partial^{\nu}F^{\sigma\mu})\\ \displaystyle&\displaystyle=-\frac{1}{2}\,D_{\sigma\nu}\,\partial^{\mu}F^{\nu\sigma}.\end{aligned}$$

(8.164)

Hierbei konnte im letzten Schritt wieder die homogene Maxwell-Gleichung (8.57) eingesetzt werden, um den freien (äußeren) Index auf die Viererableitung zu übertragen. In (8.89) konnte an dieser Stelle aber ${\partial}^{\mu}$ vor den ganzen Ausdruck gezogen und dafür mit $\frac{1}{2}$ multipliziert werden. Im Allgemeinen gilt also nur

$$f^{\mu}_{\mathrm{f}}=-\frac{1}{4\uppi}\left[\partial_{\nu}\left({F^{\mu\sigma}}D_{\sigma}{}^{\nu}\right)+\frac{1}{2}\,D_{\sigma\tau}{\partial}^{\mu}{F^{\sigma\tau}}\right]\not\equiv-\partial_{\nu}T^{\nu\mu}_{\mathrm{M}}.$$

(8.165)

Ist aber etwa komponentenweise $D_{\sigma\tau}={\mathrm{const}}\cdot F_{\sigma\tau}$, wobei die Konstante nicht einheitlich sein muss, dann kann wieder

$$D_{\sigma\tau}\,{\partial}^{\mu}\,{F^{\sigma\tau}}=\frac{1}{2}{\partial}^{\mu}\left(D_{\sigma\tau}F^{\sigma\tau}\right)$$

(8.166)

geschrieben werden, sodass (8.117) mit (8.118) gilt. Dies ist erfüllt, wenn in einem Inertialsystem ${\boldsymbol{D}}=\epsilon{\boldsymbol{E}}$ und ${\boldsymbol{H}}=\frac{1}{\mu}{\boldsymbol{B}}$ mit konstanten $\epsilon$ und $\mu$ gilt.

Die Herleitung zeigt auch, dass es wesentlich für eine Bilanzgleichung für $f^{\mu}_{\mathrm{f}}$ mit einem bestimmten Index $\mu$ ist, dass ${\partial}^{\mu}$ mit eben diesem Index mit den Materialkonstanten vertauscht werden kann. Hat man z. B. Inhomogenitäten in einer räumlichen Richtung, dann wird nur der Impulssatz bezüglich dieser Richtung verletzt. Hat man dagegen räumliche Homogenität, aber frequenzabhängige Materialkonstanten, dann scheitert die Ableitung nur für ${\partial}^{0}$, d. h., der Energiesatz gilt nicht mehr, in Übereinstimmung damit, dass in diesem Fall Dissipation von Energie im Medium auftreten kann.

8.7

Die Invarianten des Feldstärketensors sind bis auf Vorfaktoren durch die Ausdrücke ${\boldsymbol{E}}^{2}-{\boldsymbol{B}}^{2}$ und ${\boldsymbol{E}}\cdot{\boldsymbol{B}}$ gegeben. Ist ${\boldsymbol{E}}\cdot{\boldsymbol{B}}=0$ und sind die Beträge von ${\boldsymbol{E}}$ und ${\boldsymbol{B}}$ ungleich, dann gibt es immer ein Inertialsystem, in dem ein reines ${\boldsymbol{E}}$- oder ein reines ${\boldsymbol{B}}$-Feld vorliegt. Ist ${\boldsymbol{E}}$ betragsmäßig das größere, dann gibt es ein Bezugssystem, in dem das Teilchen einem reinen ${\boldsymbol{E}}$-Feld ausgesetzt ist, sodass eine konstante Kraft in einer Richtung vorliegt. Die Bewegung hat dann offensichtlich keinen oszillierenden Anteil, und das gilt auch für alle dazu gleichförmig bewegten Bezugssysteme. Ist ${\boldsymbol{B}}$ betragsmäßig das größere Feld, dann gibt es ein Bezugssystem, in dem ein reines Magnetfeld vorliegt, für das die Bewegung eine Schraubenlinie ist. In dazu gleichförmig bewegten Bezugssystemen hat die Bewegung weiterhin oszillierende Anteile.

Zusatzfrage: Gemäß den Umrechnungsvorschriften (1.90) und (1.91) übersetzt sich $E\gtrless B$ von Gauß’schen in SI-Einheiten als

$$\sqrt{4\uppi\epsilon_{0}}\,E^{\mathrm{[SI]}}\gtrless\sqrt{\frac{4\uppi}{\mu_{0}}}\;B^{\mathrm{[SI]}},$$

(8.167)

also

$$E^{\mathrm{[SI]}}\gtrless\frac{1}{\sqrt{\epsilon_{0}\mu_{0}}}\;B^{\mathrm{[SI]}}=c\,B^{\mathrm{[SI]}}.$$

(8.168)

Bei einer magnetischen Flussdichte von 1 Tesla (T) liegt das Kriterium für die elektrische Feldstärke also bei ungefähr $3\cdot 10^{8}\,\mathrm{V/m}$; bei 1 Gauß (G) immer noch bei $3\cdot 10^{4}\,\mathrm{V/m}$.

8.8

Legen wir das Koordinatensystem so, dass das ${\boldsymbol{B}}$-Feld in $z$-Richtung und das ${\boldsymbol{E}}$-Feld in $y$-Richtung zeigt, und führen wir die Abkürzung $F=qE_{y}=qB_{z}$ ein, dann lauten die Bewegungsgleichungen (8.84)

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}p_{x} =\frac{q}{c}v_{y}\,B_{z}=\frac{1}{c}Fv_{y},$$

(8.169)

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}p_{y} =qE_{y}-\frac{q}{c}v_{x}\,B_{z}=F\left(1-\frac{v_{x}}{c}\right),$$

(8.170)

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}p_{z} =0,$$

(8.171)

während (8.83)

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}p^{0}c\equiv\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}E=qE_{y}v_{y}=Fv_{y}=c\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}p_{x}$$

(8.172)

ergibt, wobei im letzten Schritt (8.169) verwendet wurde. Daraus folgt, dass $E-cp_{x}$ eine Konstante der Bewegung ist. Zum Zeitpunkt null, zu dem das Teilchen ruht, ist $E=mc^{2}$ und $p_{x}=0$, also gilt für die gesamte Bewegung

$$E-c\,p_{x}=m\,c^{2}.$$

(8.173)

Da $p_{z}=0$ bleibt, ist $E=\sqrt{m^{2}\,c^{4}+c^{2}(p_{x}^{2}+p_{y}^{2})}$, und wir können $p_{x}$ durch $p_{y}$ ausdrücken. Eine kurze Rechnung ergibt

$$p_{x}=\frac{p_{y}^{2}}{2m\,c},\quad E=m\,c^{2}+c\,p_{x}=m\,c^{2}+\frac{p_{y}^{2}}{2m}.$$

(8.174)

Damit können die Bewegungsgleichungen (8.169) und (8.170) entkoppelt werden. Insbesondere finden wir

$$\begin{aligned}\displaystyle\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}p_{y}&\displaystyle=F\left(1-\frac{v_{x}}{c}\right)\\ \displaystyle&\displaystyle=F\left(1-\frac{p_{x}c}{E}\right)=F\frac{E-p_{x}c}{E}=F\frac{mc^{2}}{E}\qquad\end{aligned}$$

(8.175)

und damit

$$E\,\mathrm{d}p_{y}=\left(m\,c^{2}+\frac{p_{y}^{2}}{2m}\right)\mathrm{d}p_{y}=F\,m\,c^{2}\,\mathrm{d}t.$$

(8.176)

Integration mit der Anfangsbedingung $p_{y}(0)=0$ führt auf

$$Ft=p_{y}+\frac{p_{y}^{3}}{6m^{2}c^{2}}.$$

(8.177)

Anstatt diese kubische Gleichung zu lösen, kann man auch mit $p_{y}$ als Bahnparameter weiter machen, da $t$ eine monotone Funktion von $p_{y}$ ist. Auf diese Weise findet man mit ${\mathrm{d}p_{y}}/{\mathrm{d}t}=Fmc^{2}/E$ und $\mathrm{d}t/{\mathrm{d}p_{y}}=E/(Fmc^{2})$

$$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}p_{y}}=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}\frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}p_{y}}=\frac{p_{y}\,c^{2}}{E}\frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}p_{y}}=\frac{p_{y}}{Fm}.$$

(8.178)

Mit dem Zusammenhang zwischen $p_{x}$ und $p_{y}$ ergibt sich des Weiteren

$$\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}p_{y}}=\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}p_{y}}=\frac{p_{x}\,c^{2}}{E}\frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}p_{y}}=\frac{p_{y}^{2}}{2Fm^{2}c}.$$

(8.179)

Eine einfache Integration liefert dann unter Berücksichtigung der Anfangsbedingung

$$x(p_{y})=\frac{p_{y}^{3}}{6Fm^{2}c},\quad y(p_{y})=\frac{p_{y}^{2}}{2Fm}.$$

(8.180)

Daraus kann man ablesen, dass die Bahnkurve die Gestalt $x\propto y^{3/2}$ hat, sodass letztlich die Bewegung in $x$-Richtung dominiert, obwohl sie in $y$-Richtung startet.

Für große Zeiten wird gemäß (8.177) $p_{y}^{3}\sim 6m^{2}c^{2}F\,t$ und daher

$$x(t)\sim ct,\quad y(t)\propto t^{2/3},\quad\dot{y}\propto t^{-1/3},$$

(8.181)

sodass schließlich die Geschwindigkeit in $y$-Richtung wieder abnimmt, während die Geschwindigkeit in $x$-Richtung asymptotisch gegen die Lichtgeschwindigkeit geht. In Abb. 8.10 sind die Ergebnisse für $x(t)$ und $y(t)$ grafisch dargestellt, zusammen mit den Geschwindigkeiten $\dot{x}(t)$ und $\dot{y}(t)$.

Abb. 8.10

Relativistische Bewegung in homogenen ${\boldsymbol{E}}$- und ${\boldsymbol{B}}$-Feldern mit $E_{y}=B_{z}$. Ein geladenes Teilchen wird in die Richtung senkrecht auf die beiden Felder auf annähernd Lichtgeschwindigkeit beschleunigt; $x(t)$ (blaue Kurve) nähert sich asymptotisch ${\mathrm{const}}+c\,t$. In Richtung des ${\boldsymbol{E}}$-Feldes ($y(t)$; rote Kurve) nimmt die Geschwindigkeit dagegen zuerst zu und dann wieder ab (hellrote Kurve)

8.9

Die erste Gleichung in (8.121) ergibt nach Bildung eines äußeren Produkts mit ${\boldsymbol{\beta}}=\frac{1}{c}{\boldsymbol{v}}$ unter Verwendung von ${\boldsymbol{a}}\times({\boldsymbol{b}}\times{\boldsymbol{c}})={\boldsymbol{b}}({\boldsymbol{a}}\cdot{\boldsymbol{c}})-{\boldsymbol{c}}({\boldsymbol{a}}\cdot{\boldsymbol{b}})$

$${\boldsymbol{\beta}}\times{\boldsymbol{D}}=-{\boldsymbol{\beta}}({\boldsymbol{\beta}}\cdot{\boldsymbol{H}})+\beta^{2}{\boldsymbol{H}}+\epsilon{\boldsymbol{\beta}}\times{\boldsymbol{E}}+\epsilon{\boldsymbol{\beta}}({\boldsymbol{\beta}}\cdot{\boldsymbol{B}})-\epsilon\beta^{2}{\boldsymbol{B}}.$$

(8.182)

Ersetzt man darin gemäß (8.122) auf der rechten Seite $({\boldsymbol{\beta}}\cdot{\boldsymbol{B}})=\mu({\boldsymbol{\beta}}\cdot{\boldsymbol{H}})$, dann kann dies in der zweiten Gleichung in (8.121) dazu verwendet werden, ${\boldsymbol{B}}$ durch ${\boldsymbol{E}}$ und ${\boldsymbol{H}}$ auszudrücken.

Analog kann aus der zweiten Gleichung in (8.121) ${\boldsymbol{\beta}}\times{\boldsymbol{B}}$ berechnet und mit $({\boldsymbol{\beta}}\cdot{\boldsymbol{D}})=\epsilon({\boldsymbol{\beta}}\cdot{\boldsymbol{E}})$ über die erste Gleichung ${\boldsymbol{D}}$ durch ${\boldsymbol{E}}$ und ${\boldsymbol{H}}$ dargestellt werden.