Streutheorie

Zusammenfassung

Streuexperimente sind ein wichtiges Werkzeug zur Untersuchung von physikalischen Objekten, z. B. Festkörpern, Molekülen, Atomen, Atomkernen und Elementarteilchen. Man kann die Streuung von Teilchen oder von Strahlung an Objekten benutzen, um die Struktur dieser Objekte zu untersuchen und besser zu verstehen. Die Berechnung und Analyse solcher Streuprozesse ist ein wesentlicher Anwendungsbereich der Elektrodynamik, Quantenmechanik und ihrer Verallgemeinerung, der Quantenfeldtheorie.

Ein klassisches Beispiel ist die Elektronenstreuung an Atomkernen. In diesem Fall ist die elektromagnetische Wechselwirkung zwischen Elektronen und Ladungs- sowie Magnetisierungverteilung des Kerns bekannt, und man erhält Aufschluss über die elektromagnetische Struktur des Kerns. Andererseits können Streuprozesse auch verwendet werden, um etwas über die zugrunde liegende Wechselwirkung zu lernen. Ein Beispiel ist die Nukleon-Nukleon-Streuung, aus der man viel über die Kernkräfte erfahren kann.

Appendices

So geht’s weiter

12.1.1 Die Coulomb-Streuung

Das Coulomb-Potenzial fällt im Unendlichen nur langsam ab; deshalb nimmt die Coulomb-Streuung eine Sonderrolle ein. Ganz egal wie weit zwei Teilchen voneinander entfernt sind, sie spüren immer die gegenseitige Coulomb-Kraft. Durch diese langreichweitige Wechselwirkung wird das asymptotische Verhalten der Streuwelle $\psi_{\boldsymbol{k}}({\boldsymbol{x}})$ modifiziert. Deshalb ist auch die Born’sche Näherung, die von einer ebenen Welle ausgeht, hier nicht anwendbar.

Diese Probleme kann man wegen des asymptotischen Verhaltens der radialen Wellenfunktionen im Coulomb-Feld in (8.71),

$$R_{n\ell}(r)\propto r^{n-1}\mathrm{e}^{-\kappa r}\,,\quad\kappa=\frac{1}{na_{\mathrm{B}}}\,,$$

(12.131)

bereits vermuten. Ersetzt man in $(\kappa r)^{n}=\mathrm{e}^{n\ln(\kappa r)}$ die Hauptquantenzahl durch $n=1/(a_{\mathrm{B}}\kappa)$, dann schreibt sich das asymptotische Verhalten wie folgt:

$$R_{n\ell}(r)\propto\frac{1}{r}\,\mathrm{e}^{-\kappa r+\ln(\kappa r)/(a_{\mathrm{B}}\kappa)}\,.$$

(12.132)

Für die Streuzustände mit positiven Energien ist $\kappa^{2}\propto-E$ negativ. Somit erwarten wir für eine auslaufende Kugelwelle dieselbe asymptotische Form, allerdings mit $\kappa$ durch $-\mathrm{i}k$ ersetzt:

$$R_{k\ell}(r)\propto\frac{1}{r}\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}kr+\mathrm{i}\gamma\ln(kr)},\quad\gamma=\frac{1}{a_{\mathrm{B}}k}\,.$$

(12.133)

Diese Vermutung wird sich als richtig erweisen.

12.1.2 Lösung der radialen Schrödinger-Gleichung

Wir betrachten die Coulomb-Streuung zweier geladener Teilchen mit Ladungen $q_{1},q_{2}$ und Massen $m_{1},m_{2}$. Zum Beispiel wäre bei der Streuung von zwei Atomkernen $q_{1}=Z_{1}e$ und $q_{2}=Z_{2}e$. Die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung lautet

$$\left(-{\varDelta}+\frac{2\mu}{\hbar^{2}}\frac{q_{1}q_{2}}{r}-\frac{2\mu E}{\hbar^{2}}\right)\psi=0\,.$$

(12.134)

Darin ist $\mu$ die reduzierte Masse der beiden Teilchen. Setzt man wieder $2\mu E=(\hbar k)^{2}$ und führt den dimensionslosen Parameter

$$\gamma=\frac{\mu q_{1}q_{2}}{\hbar^{2}k}$$

(12.135)

ein, dann vereinfacht sich die Schrödinger-Gleichung zu

$$\left({\varDelta}+k^{2}-\frac{2\gamma k}{r}\right)\psi=0\,.$$

(12.136)

Das Problem der Streuung eines Teilchens im kugelsymmetrischen Feld besitzt Axialsymmetrie um die Achse definiert durch das einfallende Teilchen. Für eine in Richtung der $z$-Achse einlaufende ebene Welle hängt die Wellenfunktion somit nur von $r$ und $z$ ab. Wir setzen die Lösung in der Form

$$\psi({\boldsymbol{x}})=\mathrm{e}^{\mathrm{i}kz}g(\xi)\,,\quad r=|{\boldsymbol{x}}|\,,\quad\xi=\mathrm{i}k(r-z)$$

(12.137)

an. Diese Faktorisierung der Wellenfunktion ist durch die Separation der Variablen in parabolischen Koordinaten begründet. Genauer diskutiert wird dies z. B. in Landau und Lifschitz (1990). Für diese Klasse von Funktionen gilt

$$\begin{aligned}\displaystyle{\varDelta}\psi&\displaystyle=\left({\varDelta}\mathrm{e}^{\mathrm{i}kz}\right)g+2\left({\boldsymbol{\nabla}}\mathrm{e}^{\mathrm{i}kz}\right)\cdot\left({\boldsymbol{\nabla}}g\right)+\mathrm{e}^{\mathrm{i}kz}{\varDelta}g\\ \displaystyle&\displaystyle=\left(-k^{2}g+2\mathrm{i}k\partial_{z}g+{\varDelta}g\right)\mathrm{e}^{\mathrm{i}kz}\,,\end{aligned}$$

(12.138)

worin nur die Komponente $\partial_{z}g$ von ${\boldsymbol{\nabla}}g$ beiträgt, da $\nabla(\mathrm{e}^{\mathrm{i}kz})\propto{\boldsymbol{e}}_{z}$ ist. Mithilfe der einfachen Identitäten

$$\begin{aligned}\displaystyle\partial_{z}g&\displaystyle=\mathrm{i}k\left(\frac{z}{r}-1\right)g^{\prime}\,,\\ \displaystyle{\varDelta}g&\displaystyle=2k^{2}\left(\frac{z}{r}-1\right)g^{\prime\prime}+\frac{2\mathrm{i}k}{r}g^{\prime}\end{aligned}$$

(12.139)

gewinnt man schließlich für $g(\xi)$ eine in der Literatur bekannte Differenzialgleichung:

$$\left(\xi\frac{\mathrm{d}^{2}}{\mathrm{d}\xi^{2}}+(1-\xi)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\xi}+\mathrm{i}\gamma\right)g(\xi)=0\,.$$

(12.140)

Die Funktion $g$ im Ansatz (12.137 ) erfüllt die konfluente hypergeometrische Differenzialgleichung

$$\xi\frac{\mathrm{d}^{2}g}{\mathrm{d}\xi^{2}}+(b-\xi)\frac{\mathrm{d}g}{\mathrm{d}\xi}-ag=0\,,$$

(12.141)

mit den Parametern $a=-\mathrm{i}\gamma$ und $b=1$.

Die Eigenschaften und Lösungen der hypergeometrischen Differenzialgleichung werden in Lehrbüchern besprochen (z. B. Buchholz 1953). Die reguläre Lösung ist die konfluente hypergeometrische Reihe $F(a,b,z)$, auch Kummer’sche Funktion genannt, mit dem asymptotischen Verhalten für $|\text{arg}(\xi)|\leq\uppi/2$:

$$F(a,b,\xi) =\frac{\Upgamma(b)}{\Upgamma(b{\kern-0.65pt}-{\kern-0.65pt}a)}(-\xi)^{-a}\left(1-\frac{a(1+a-b)}{\xi}+O(1/\xi^{2})\right)$$

$$ \quad\quad+\frac{\Upgamma(b)}{\Upgamma(a)}\,\mathrm{e}^{\xi}\xi^{a-b}\left(1+O(1/\xi)\right)\,.$$

(12.142)

Die Lösung von (12.140) ist somit

$$g(\xi)=C\cdot F(-\mathrm{i}\gamma,1,\xi)\,$$

(12.143)

mit einem Normierungsfaktor $C$. Sie hat die asymptotische Form

$$\begin{aligned}\displaystyle g(\xi)&\displaystyle\to C\frac{(-\xi)^{\mathrm{i}\gamma}}{\Upgamma(1+\mathrm{i}\gamma)}\left(1+\frac{\gamma^{2}}{\xi}\right)+C\frac{\xi^{-\mathrm{i}\gamma}\mathrm{e}^{\xi}}{\xi\,\Upgamma(-\mathrm{i}\gamma)}\,.\end{aligned}$$

(12.144)

Mit der Identität $\Upgamma(1+z)=z\,\Upgamma(z)$ kann man nun $\Upgamma(-\mathrm{i}\gamma)$ im letzten Nenner durch $\mathrm{i}\Upgamma(1-\mathrm{i}\gamma)/\gamma$ ersetzen. Bemüht man außerdem

$$(-\xi)^{\mathrm{i}\gamma}=\left(\mathrm{e}^{\ln[k(r-z)]-\mathrm{i}\uppi/2}\right)^{\mathrm{i}\gamma}=\mathrm{e}^{\uppi\gamma/2+\mathrm{i}\gamma\ln[k(r-z)]}\,,$$

(12.145)

und entsprechend für $\xi^{-\mathrm{i}\gamma}$, dann folgt für große $r-z$

$$\begin{aligned}\displaystyle g(\xi)\sim C\mathrm{e}^{\uppi\gamma/2}&\displaystyle\Bigg[\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}\gamma\ln[k(r-z)]}}{\Upgamma(1+\mathrm{i}\gamma)}\left(1+\frac{\gamma^{2}}{\xi}\right)\\ \displaystyle&\displaystyle\quad-\frac{\gamma\mathrm{e}^{\xi-\mathrm{i}\gamma\ln[k(r-z)]}}{k(r-z)\Upgamma(1-\mathrm{i}\gamma)}\Bigg]\,.\end{aligned}$$

(12.146)

Setzt man diese Darstellung in (12.137) ein und benutzt noch

$$k(r-z)=kr(1-\cos\vartheta)=2kr\,\left(\sin\frac{\vartheta}{2}\right)^{2}\,,$$

(12.147)

dann gewinnt man die asymptotische Form der Lösung. Weit weg vom Zentrum hat eine Streulösung die Form

$$\psi(r,\vartheta)\sim\frac{C\mathrm{e}^{\uppi\gamma/2}}{\Upgamma(1+\mathrm{i}\gamma)} \left[\left(1+\frac{\gamma^{2}}{2\mathrm{i}kr\,\sin^{2}(\vartheta/2)}\right)\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}kz}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\gamma\ln k(r-z)}\right.$$

$$ \quad\left.+\,f(\vartheta)\,\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}kr}}{r}\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\gamma\ln(2kr)}\right]\,.$$

(12.148)

Die winkelabhängige Koeffizientenfunktion

$$f(\vartheta)=\frac{\gamma}{2k}\frac{\Upgamma(1+\mathrm{i}\gamma)}{\Upgamma(1-\mathrm{i}\gamma)}\;\left(\sin\frac{\vartheta}{2}\right)^{-2-2\mathrm{i}\gamma}\,$$

(12.149)

darin spielt dieselbe Rolle wie die Streuamplitude bei Streuung an kurzreichweitigen Potenzialen.

Der erste Term in der asymptotischen Form (12.148) beschreibt eine in $z$-Richtung einlaufende Welle, die für die langreichweitige Coulomb-Wechselwirkung mit dem ortsabhängigen Faktor

$$\left(1+\frac{\gamma^{2}}{2\mathrm{i}kr\sin^{2}(\vartheta/2)}\right)\mathrm{e}^{\mathrm{i}\gamma\ln k(r-z)}$$

(12.150)

versehen ist. Die Wahrscheinlichkeitsstromdichte der einlaufenden Welle ist weit weg vom Streuzentrum gleich

$$j_{z}=C^{2}\frac{\hbar k}{\mu}\left|\frac{\mathrm{e}^{\uppi\gamma/2}}{\Upgamma(1+\mathrm{i}\gamma)}\right|^{2}\,.$$

(12.151)

Der zweite Term in (12.148) beschreibt dagegen eine auslaufende Kugelwelle, die durch eine schwach ortsabhängige Phasenverschiebung modifiziert wird. Für große $r$ ist der zugehörige Wahrscheinlichkeitsfluss in den Raumwinkel $\mathrm{d}\Upomega$ gleich

$$j_{r}r^{2}\mathrm{d}\Upomega=C^{2}\frac{\hbar k}{\mu}\left|\frac{\mathrm{e}^{\uppi\gamma/2}}{\Upgamma(1+\mathrm{i}\gamma)}\right|^{2}\,|f(\vartheta)|^{2}\mathrm{d}\Upomega\,.$$

(12.152)

Deshalb ist der Wirkungsquerschnitt wieder durch das Betragsquadrat der Funktion $f$ gegeben:

$$\frac{\mathrm{d}\sigma}{\mathrm{d}\Upomega}=\frac{j_{r}r^{2}}{j_{z}}=\left|f(\vartheta)\right|^{2}\,.$$

(12.153)

Wegen der Identität $\Upgamma(\bar{z})=\bar{\Upgamma}(z)$ ist das Verhältnis der beiden Gammafunktionen in (12.149) eine unimodulare komplexe Zahl die zum Wirkungsquerschnitt nicht beiträgt:

$$\left(\frac{\mathrm{d}\sigma}{\mathrm{d}\Upomega}\right)=\frac{\gamma^{2}}{4k^{2}\sin^{4}(\vartheta/2)}=\left(\frac{\mu q_{1}q_{2}}{2\hbar^{2}k^{2}}\right)^{2}\frac{1}{\sin^{4}(\vartheta/2)}\,.$$

(12.154)

Ersetzen wir hierin noch die Wellengröße $\hbar k$ durch die Teilchengröße $\mu v=\sqrt{2\mu E}$, erhalten wir für die Streuung von zwei geladenen Punktteilchen

$$\left(\frac{\mathrm{d}\sigma}{\mathrm{d}\Upomega}\right)=\left(\frac{q_{1}q_{2}}{4E}\right)^{2}\frac{1}{\sin^{4}(\vartheta/2)}\,.$$

(12.155)

Dieser exakte Ausdruck für den Wirkungsquerschnitt stimmt einerseits mit dem klassischen Ausdruck in Bd. 1, Abschn. 3.4 überein und andererseits mit der Born’schen Näherung für Weitwinkelstreuung von Elektronen an Atomen.

Achtung

Die Übereinstimmung der Ausdrücke für die Wirkungsquerschnitte in der klassischen Physik, der Born’schen Näherung und der exakten Lösung, ist eine Besonderheit des Coulomb-Feldes.  ◀

Der exakte Streuquerschnitt für Coulomb-Streuung divergiert in die Vorwärtsrichtung $\vartheta=0$. Der Grund dafür ist wieder die lange Reichweite des Coulomb-Potenzials, da auch einlaufende Teilchen mit beliebig großem Stoßparameter noch gestreut werden. Aber in einem tatsächlichen Streuexperiment wird die Ladung des streuenden Teilchens durch andere Ladungen abgeschirmt, und einlaufende Teilchen mit großen Stoßparametern sehen ein abgeschirmtes Coulomb-Potenzial. Bei der Streuung an neutralen Atomen ist deshalb der differenzielle Wirkungsquerschnitt auch in Vorwärtsrichtung endlich.

12.1.3 Analytische Eigenschaften der Streuamplitude

Wir wenden uns nun den Polen und Nullstellen der Coulomb-Streuamplitude (12.149) in der komplexen Energieebene zu. Dazu erinnern wir daran, dass die meromorphe Gammafunktion die Rekursionsrelation $\Upgamma(z+1)=z\,\Upgamma(z)$ erfüllt (siehe den „Mathematischen Hintergrund“ 12.4), woraus sich für jedes $r\in\mathbb{N}_{0}$ die Relation

$$\Upgamma(z)=\frac{\Upgamma(z+r+1)}{z(z+1)\cdot\cdot\cdot(z+r)}\quad\text{mit}\quad\Upgamma(1)=1\,$$

(12.156)

ergibt. Die $\Upgamma$-Funktion hat somit einfache Pole an den Stellen $(-z)\in\mathbb{N}_{0}$, und die entsprechenden Residuen sind

$$\lim_{z\to-r}(z+r)\Upgamma(z)=\frac{(-1)^{r}}{r!}\,,\quad r\in\mathbb{N}_{0}\,.$$

(12.157)

Sie hat keine Nullstellen in der komplexen $z$-Ebene. Die Streuamplitude (12.149) hat einfache Pole für

$$\gamma=\frac{\mu q_{1}q_{2}}{\hbar^{2}k}=\mathrm{i}n\,,\quad n\in\mathbb{N}\,,$$

(12.158)

und einfache Nullstellen bei

$$\gamma=\frac{\mu q_{1}q_{2}}{\hbar^{2}k}=-\mathrm{i}n\,,\quad n\in\mathbb{N}\,.$$

(12.159)

Die zugehörigen Energien sind negativ und quantisiert:

$$E_{n}=\frac{\hbar^{2}k^{2}}{2\mu}=-\frac{\mu}{2}\left(\frac{q_{1}q_{2}}{\hbar n}\right)^{2}\,.$$

(12.160)

Für ein wasserstoffähnliches Ion mit $q_{1}=-e$ und $q_{2}=Ze$ sind dies die bekannten Energien der Bindungszustände:

$$E_{n}=-\frac{Z^{2}}{2}\mu c^{2}\left(\frac{\alpha}{n}\right)^{2},\quad\alpha=\frac{e^{2}}{\hbar c}\,.$$

(12.161)

Für das attraktive Coulomb-Potenzial ist das Produkt der Ladungen in (12.158) negativ, und somit liegen die Nullstellen auf der negativen imaginären Achse in der komplexen $k$-Ebene. Für diese Werte ist die „einlaufende Kugelwelle“ $\propto\exp(\mathrm{i}kr)$ in der Lösung (12.149) normierbar. Gleichzeitig verschwindet der auslaufende Anteil. Somit ist die gesamte Lösung normierbar.

Achtung

Für eine abstoßende Coulomb-Kraft mit $q_{1}q_{2}> 0$ liegen die Nullstellen der Streuamplitude auf der positiven imaginären Achse in der komplexen $k$-Ebene. Die entsprechenden Lösungen sind dann nicht mehr normierbar.  ◀

Die Eigenschaft, dass die Nullstellen der Streuamplitude auf der negativen imaginären $k$-Achse zu Bindungszuständen gehören, ist auch für allgemeinere Potenziale in drei Dimensionen gültig (für eine Diskussion siehe Landau und Lifschitz 1990).

Literatur

• Landau, L.D., Lifschitz, E.M.: Lehrbuch der Theoretischen Physik III. Quantenmechanik, 8. Aufl., Akademie Verlag (1990)

Aufgaben

Gelegentlich enthalten die Aufgaben mehr Angaben, als für die Lösung erforderlich sind. Bei einigen anderen dagegen werden Daten aus dem Allgemeinwissen, aus anderen Quellen oder sinnvolle Schätzungen benötigt.

• leichte Aufgaben mit wenigen Rechenschritten

•• mittelschwere Aufgaben, die etwas Denkarbeit und unter Umständen die Kombination verschiedener Konzepte erfordern

••• anspruchsvolle Aufgaben, die fortgeschrittene Konzepte (unter Umständen auch aus späteren Kapiteln) oder eigene mathematische Modellbildung benötigen

12.1 •• Streuwinkel im Labor- und Schwerpunktsystem

Ein Massenpunkt $m_{1}$ stoße im Laborsystem mit einem ruhenden Massenpunkt $m_{2}$ elastisch zusammen.

• (a) Man gebe die Ablenkwinkel für beide Teilchen aufgrund von Energie- und Impulserhaltung im Laborsystem und im Schwerpunktsystem an und stelle zwischen beiden Systemen die Beziehung her.

• (b) Wie vereinfachen sich die Ausdrücke für gleiche Massen? Zeigen Sie insbesondere, dass für gleiche Massen die Geschwindigkeiten nach dem Stoß im Laborsystem immer senkrecht aufeinander stehen.

• (c) Bei inelastischer Streuung ist $\Updelta$ in der Energiebilanzgleichung

  $$\frac{m_{1}}{2}{\boldsymbol{v}}_{1}^{2}+\frac{m_{2}}{2}{\boldsymbol{v}}_{2}^{2}=\frac{m_{1}}{2}{\boldsymbol{v}}_{1}^{\prime 2}+\frac{m_{2}}{2}{\boldsymbol{v}}_{2}^{\prime 2}+\frac{m_{1}\Updelta}{2}$$

  (12.162)

  ungleich null. Wie lautet nun die Transformation zwischen den Streuwinkeln in den beiden Systemen?

Lösungshinweis:

Die Bahnen der beteiligten Teilchen liegen in einer festen Ebene. Sie dürfen die Rechnung also in der $x-y$-Ebene vornehmen. Ohne Beschränkung der Allgemeinheit kann man auch annehmen, dass sich Teilchen 1 anfangs entlang der $x$-Achse bewegt. Das Resultat hängt nicht von den einzelnen Massen, sondern nur vom Verhältnis $\zeta=m_{2}/m_{1}$ ab.

12.2 • Born’sche Näherung für Streuung am Yukawa-Potenzial

• (a) Berechnen Sie das Integral in (12.32) und bestätigen Sie somit das Ergebnis auf der rechten Seite.

• (b) Berechnen Sie den totalen Streuquerschnitt in der ersten Born’schen Näherung für die Streuung am Yukawa-Potenzial (12.31). Drücken Sie Ihre Lösung als Funktion von $E$ aus.

12.3 •• Legendre-Polynome

Eine in Richtung der $z$-Achse einlaufende ebene Welle kann nach Legendre-Polynomen entwickelt werden:

$$\mathrm{e}^{\mathrm{i}kr\cos\vartheta}=\sum_{\ell}\mathrm{i}^{\ell}(2\ell+1)\,a_{\ell}j_{\ell}(kr)P_{\ell}(\cos\vartheta)\,.$$

(12.163)

Diese reellen Polynome sind proportional zu den Kugelflächenfunktionen mit $m=0$:

$$P_{\ell}(\cos\vartheta)=\sqrt{\frac{4\uppi}{2\ell+1}}Y_{\ell,0}(\vartheta)\,.$$

(12.164)

• (a) Berechnen Sie mithilfe der erzeugenden Relation (7.132) die Werte $P_{\ell}(1)$.

• (b) Beweisen Sie die Orthogonalitätsrelationen

  $$\int_{-1}^{1}\mathrm{d}u\,P_{\ell}(u)P_{\ell^{\prime}}(u)=\frac{2}{2\ell+1}\delta_{\ell\ell^{\prime}}\,.$$

  (12.165)

  Hier sollte man sich die Orthonormalität der Kugelflächenfunktionen zunutze machen.

• (c) Bestimmen Sie die Koeffizienten $a_{\ell}$ in der Entwicklung (12.163).

Lösungshinweis:

In Teilaufgabe (c) kann man (12.163) mithilfe der Orthogonalitätsrelationen auf den Sektor mit festem Drehimpuls projizieren. Als Zwischenresultat sollten Sie

$$2\mathrm{i}^{\ell}\,a_{\ell}j_{\ell}(x)=\int_{-1}^{1}\mathrm{d}u\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}xu}P_{\ell}(u)\,$$

(12.166)

erhalten. Nun können Sie beide Seiten für kleine $x$ vergleichen. Links benutzen Sie die Entwicklung der sphärischen Bessel-Funktionen für kleine Argumente. Rechts werden Sie auf das Integral

$$\int_{0}^{\uppi}\mathrm{d}\vartheta\,\sin^{2\ell+1}\vartheta$$

(12.167)

geführt, das bereits früher in (7.128) auftrat.

12.4 •• Integralgleichung für radiale Wellenfunktionen

Überlegen Sie sich, dass eine Lösung der Integralgleichung

$$\phi_{\ell}(k,r)=j_{\ell}(kr)+\int_{0}^{r}\mathrm{d}r^{\prime}r^{\prime 2}G_{\ell}(k,r,r^{\prime})U(r^{\prime})\phi_{\ell}(k,r^{\prime})$$

(12.168)

mit der Green’schen Funktion

$$G_{\ell}(k,r,r^{\prime})=kj_{\ell}(kr)y_{\ell}(kr^{\prime})-ky_{\ell}(kr)j_{\ell}(kr^{\prime})\,,\quad r^{\prime}<r$$

(12.169)

die radiale Schrödinger-Gleichung (12.53) erfüllt.

Lösungshinweis:

Sie werden bei der Lösung der Aufgabe wahrscheinlich auf die Wronski-Determinante von $j_{\ell}(x)$ und $y_{\ell}(x)$ stoßen. Wronski-Determinanten werden im „Mathematischen Hintergrund“ Bd. 1, 6.1 und in Bd. 2, Abschn. 9.4 besprochen.

12.5 •• Streuung am sphärischen Topf

Wir betrachten in dieser Aufgabe die Streuung von Teilchen am sphärischen Topfpotenzial

$$V(r)=\begin{cases}-V_{0}&\text{f{\"u}r }r\leq a\\ 0&\text{f{\"u}r }r> a\end{cases}$$

(12.170)

mit $V_{0}> 0$.

• (a) Bestimmen Sie die Streulösungen. Die Anschlussbedingungen am Topfrand brauchen nicht explizit gelöst werden.

• (b) Zeigen Sie, dass die Streuphase im Sektor mit Drehimpuls $\ell$ durch

  $$\tan\delta_{\ell}=\frac{qj_{\ell-1}(qa)j_{\ell}(ka)-kj_{\ell}(qa)j_{\ell-1}(ka)}{qj_{\ell-1}(qa)y_{\ell}(ka)-kj_{\ell}(qa)y_{\ell-1}(ka)}\,$$

  (12.171)

  gegeben ist.

• (c) Leiten Sie daraus (12.101) her.

• (d) Finden Sie die Energien der gebundenen Zustände im Sektor mit $\ell=0$ in impliziter Form und vergleichen Sie mit den Resultaten für den eindimensionalen Topf in Abschn. 6.2.

• (e) Wann existieren für $E=0$ halbgebundene Zustände, deren Wellenfunktionen überall beschränkt sind?

Lösungshinweis:

In Teilaufgabe (b) werden Sie die Beziehung

$$f^{\prime}_{\ell}(x)=f_{\ell-1}(x)-\frac{\ell+1}{x}f_{\ell}(x)$$

(12.172)

für die sphärischen Bessel-Funktionen $j_{\ell}$ und $y_{\ell}$ benötigen. Bei der Lösung von Teilaufgabe (c) brauchen Sie die sphärischen Bessel-Funktionen mit Index 0 und $-1$:

$$j_{0}(x) =y_{-1}(x)=\frac{\sin x}{x}\,,$$

$$j_{-1}(x) =-y_{0}(x)=\frac{\cos x}{x}\,.$$

(12.173)

Diese und weitere ihrer Eigenschaften finden Sie z. B. in Abramowitz und Stegun 1964. Die Lösung von Teilaufgabe (e) wird bei der Diskussion des Levinson-Theorems benötigt.

12.6 ••• Exponentielles Potenzial

Als lehrreiches und analytisch lösbares Problem untersuchen wir in dieser Aufgabe das Verhalten von Teilchen im kurzreichweitigen und anziehenden Exponentialpotenzial

$$V(r)=-V_{0}\,\mathrm{e}^{-2r/a}\,,\quad V_{0}\equiv\frac{\hbar^{2}k_{0}^{2}}{2m}> 0\,.$$

(12.174)

• (a) Bestimmen Sie die bei $r=0$ reguläre Lösung.

• (b) Bestimmen Sie die Energien der gebundenen Zustände im Sektor $\ell=0$.

• (c) Warum gibt der Wert der Bessel-Funktion $J_{0}$ an der Stelle $k_{0}a$ Auskunft über die Anzahl gebundener Zustände? Welche Bedingungen müssen $a$ und $V_{0}$ erfüllen, damit mindestens ein Bindungszustand existiert?

• (d) Bestimmen Sie die Phasenverschiebung $\delta_{0}$ und zeigen Sie, dass die Nullstellen der Funktion $\mathrm{e}^{2\mathrm{i}\delta_{0}(k)}$ in der komplexen $k$-Ebene auf der negativen imaginären Achse zu den Energien der Bindungszustände gehören.

Lösungshinweis:

Es lohnt sich, die Abkürzungen

$$k_{0}^{2}=\frac{2mV_{0}}{\hbar^{2}}\,,\quad\gamma=k_{0}a$$

(12.175)

einzuführen. Nach der Variablensubstitution $z=\gamma\exp(-r/a)$ werden Sie der Bessel’schen Differenzialgleichung

$$z^{2}f^{\prime\prime}(z)+zf^{\prime}(z)+(z^{2}-\nu^{2})f(z)=0\,,\quad\nu\in\mathbb{C}$$

(12.176)

begegnen, die bereits in Bd. 2, Abschn. 9.4 auftrat. Deren Lösungen sind die Bessel-Funktionen $J_{\pm\nu}(z)$. Die Eigenschaften der Bessel-Funktionen und deren Verhalten für kleine und große Argumente finden Sie z. B. in Abramowitz und Stegun (1964).

12.7 ••• Optisches Theorem und Interferenzstrom

Beweisen Sie (12.87). Berücksichtigen Sie bei der Berechnung des Flusses, dass der Interferenzstrom (12.86) nur in Vorwärtsrichtung konzentriert ist und daher nur $\int\mathrm{d}\Upomega\,\psi_{0}^{*}(t,{\boldsymbol{x}})$ auszuwerten ist. Rechnen Sie dafür nach, dass

$$\int\mathrm{d}\Upomega\,\psi_{0}(t,{\boldsymbol{x}})\approx\frac{2\uppi}{\mathrm{i}k_{0}r}\left[\psi_{0}(t,r{\hat{\boldsymbol{k}}}_{0})-\psi_{0}(t,-r{\hat{\boldsymbol{k}}}_{0})\right]$$

(12.177)

gilt, wenn $\psi_{0}(t,{\boldsymbol{x}})$ durch (12.19) gegeben ist.

12.8 • $\uppi^{+}\uppi^{-}$-Streuung

Ein Zweiteilchensystem bestehend aus einem negativ geladenen Pion und seinem Antiteilchen, dem positiv geladenen Pion, habe einen festen Bahndrehimpuls $\ell$. Was muss für den Drehimpuls gelten, damit die Streuung

$$\uppi^{-}+\uppi^{+}\rightarrow\uppi^{0}+\uppi^{0}\,$$

(12.178)

stattfinden kann?

Lösungshinweis:

Die drei Pionen haben Spin 0 und sind instabil unter der schwachen und elektromagnetischen Wechselwirkung. Letztere Eigenschaft wollen wir hier vernachlässigen. Was wissen Sie über die Wellenfunktion der beiden auslaufenden identischen Teilchen im Schwerpunktsystem?

Lösungen zu den Aufgaben

12.1

Die Umrechnung in Teilaufgabe (a) findet sich im Wesentlichen bereits in Bd. 1, Abschn. 3.4 und soll hier als Wiederholung dienen.

12.2

(b) Totaler Wirkungsquerschnitt

$$\sigma_{\mathrm{tot}}=16\uppi\left(\frac{mg}{\hbar^{2}}\right)^{2}\frac{1}{\mu^{2}(\mu^{2}+8mE/\hbar^{2})}\,.$$

Ausführliche Lösungen zu den Aufgaben

12.1

• (a) Es sei $v_{0}{\boldsymbol{e}}_{x}$ die Geschwindigkeit des ersten Teilchens vor dem Stoß. Das zweite Teilchen sei anfänglich in Ruhe. Nach dem Stoß bilden die Geschwindigkeiten ${\boldsymbol{v}}_{1}$ und ${\boldsymbol{v}}_{2}$ die Winkel $\vartheta_{1}$ und $\vartheta_{2}$ mit der Geschwindigkeit des einlaufenden Teilchens. Die Streuwinkel liegen im Intervall $[0,\uppi]$. Der Impulssatz lautet

  $$\begin{aligned}\displaystyle m_{1}v_{0}&\displaystyle=m_{1}v_{1}\cos\vartheta_{1}+m_{2}v_{2}\cos\vartheta_{2}\,,\\ \displaystyle 0&\displaystyle=m_{1}v_{1}\sin\vartheta_{1}-m_{2}v_{2}\sin\vartheta_{2}\,.\end{aligned}$$

  (12.179)

  In einem Koordinatensystem, das sich mit der Geschwindigkeit $u{\boldsymbol{e}}_{x}$ relativ zum Laborsystem bewegt, lautet die Impulserhaltung

  $$m_{1}(v_{0}-u)-m_{2}u =m_{1}v_{1}^{\prime}\cos\vartheta_{1}^{\prime}+m_{2}v_{2}^{\prime}\cos\vartheta_{2}^{\prime}\,,$$
  $$0 =m_{1}v_{1}^{\prime}\sin\vartheta_{1}^{\prime}-m_{2}v_{2}^{\prime}\sin\vartheta_{2}^{\prime}\,,$$

  (12.180)

  wobei $v_{i}^{\prime}$ und $\vartheta^{\prime}_{i}$ die Geschwindigkeiten und Streuwinkel nach dem Stoß im bewegten System bezeichnen.

  Insbesondere im Schwerpunktsystem muss der Gesamtimpuls $m_{1}(v_{0}-u)-m_{2}u$ vor dem Stoß verschwinden, sodass

  $$u=\frac{v_{0}}{1+\zeta}\quad\text{mit}\quad\zeta=\frac{m_{2}}{m_{1}}\,.$$

  (12.181)

  Aus den Quotienten der resultierenden Beziehungen

  $$\begin{aligned}\displaystyle m_{1}v_{1}^{\prime}\cos\vartheta_{1}^{\prime}&\displaystyle=-m_{2}v_{2}^{\prime}\cos\vartheta_{2}^{\prime}\,,\\ \displaystyle m_{1}v_{1}^{\prime}\sin\vartheta_{1}^{\prime}&\displaystyle=m_{2}v_{2}^{\prime}\sin\vartheta_{2}^{\prime}\end{aligned}$$

  (12.182)

  gewinnt man zuerst $\tan\vartheta^{\prime}_{1}=-\tan\vartheta^{\prime}_{2}$ bzw. $\vartheta_{2}^{\prime}=\uppi-\vartheta_{1}^{\prime}$. Setzt man dies in (12.182) ein, so folgt die Beziehung

  $$v_{1}^{\prime}=\zeta v_{2}^{\prime}\,.$$

  (12.183)

  Für eine beliebige Geschwindigkeit ${\boldsymbol{v}}$ im Laborsystem und ${\boldsymbol{v}}^{\prime}$ im Schwerpunktsystem gilt die Umrechnungsformel ${\boldsymbol{v}}={\boldsymbol{v}}^{\prime}+u{\boldsymbol{e}}_{x}$ oder in Komponenten

  $$\begin{aligned}\displaystyle v\cos\vartheta&\displaystyle=v^{\prime}\cos\vartheta^{\prime}+u\,,\\ \displaystyle v\sin\vartheta&\displaystyle=v^{\prime}\sin\vartheta^{\prime}\,.\end{aligned}$$

  (12.184)

  Daraus folgt für die Umrechnung von allgemeinen Ablenkwinkeln

  $$\tan\vartheta=\frac{\sin\vartheta^{\prime}}{\cos\vartheta^{\prime}+u/v^{\prime}}\,.$$

  (12.185)

  Um die Umrechnung der Streuwinkel zu beenden, benötigen wir noch die Geschwindigkeiten $v_{1}^{\prime}$ und $v_{2}^{\prime}$ im Schwerpunktsystem nach dem Stoß. Hierzu benutzen wir den Energiesatz im Schwerpunktsystem:

  $$m_{1}(v_{0}-u)^{2}+m_{2}u^{2}=m_{1}v_{1}^{\prime 2}+m_{2}v_{2}^{\prime 2}\,.$$

  (12.186)

  Mit $u$ aus (12.181) und $v_{1}^{\prime}$ aus (12.183) ergibt sich

  $$v_{2}^{\prime}=u\,,\quad\text{und damit}\quad v_{1}^{\prime}=\zeta u\,.$$

  (12.187)

  Mit (12.185) findet man nun die Transformationen

  $$\begin{aligned}\displaystyle\tan\vartheta_{1}&\displaystyle=\frac{\sin\vartheta_{1}^{\prime}}{\cos\vartheta_{1}^{\prime}+m_{1}/m_{2}}\,,\\ \displaystyle\tan\vartheta_{2}&\displaystyle=\frac{\sin\vartheta_{2}^{\prime}}{\cos\vartheta_{2}^{\prime}+1}\,.\end{aligned}$$

  (12.188)

  Die erste Beziehung wurde schon früher in Bd. 1, (3.110) abgeleitet.

• (b) Mit der trigonometrischen Beziehung

  $$\tan\frac{\vartheta^{\prime}}{2}=\frac{\sin\vartheta^{\prime}}{1+\cos\vartheta^{\prime}}$$

  (12.189)

  schreiben sich die Beziehungen (12.188) für gleiche Massen wie folgt:

  $$\tan\vartheta_{1}=\tan\frac{\vartheta_{1}^{\prime}}{2}\quad\text{und}\quad\tan\vartheta_{2}=\tan\frac{\vartheta_{2}^{\prime}}{2}\,.$$

  (12.190)

  Im Laborsystem treten also nur Streuwinkel zwischen 0 und $\uppi/2$ auf. Im Schwerpunktsystem bewegen sich die beiden Massen nach dem Stoß in entgegengesetzte Richtungen, $\vartheta_{1}^{\prime}+\vartheta_{2}^{\prime}=\uppi$, und es gilt dann

  $$\vartheta_{1}+\vartheta_{2}=\frac{\uppi}{2}\quad\text{f{\"u}r}\quad m_{1}=m_{2}\,.$$

  (12.191)

  Die Geschwindigkeitsvektoren von Teilchen gleicher Massen stehen im Laborsystem nach dem Stoß senkrecht aufeinander.

• (c) Bei inelastischer Streuung lautet der Energiesatz

  $$(v_{0}-u)^{2}+\zeta u^{2}=v_{1}^{\prime 2}+\zeta v_{2}^{\prime 2}+\Updelta\,.$$

  (12.192)

  Der Impulssatz gilt in der alten Form, und deshalb dürfen wir wieder (12.181) und (12.183) verwenden, um nach $v_{2}^{\prime}$ aufzulösen. Es folgen dann die modifizierten Transformationsformeln

  $$\begin{aligned}\displaystyle\tan\vartheta_{1}&\displaystyle=\frac{\sin\vartheta_{1}^{\prime}}{\cos\vartheta_{1}^{\prime}+m_{1}/(m_{2}a)}\,,\\ \displaystyle\tan\vartheta_{2}&\displaystyle=\frac{\sin\vartheta_{2}^{\prime}}{\cos\vartheta_{2}^{\prime}+1/a}\,,\end{aligned}$$

  (12.193)

  mit dem Parameter

  $$a=\sqrt{1-\frac{\Updelta}{v_{0}^{2}}\frac{1+\zeta}{\zeta}}\,.$$

  (12.194)

  Im elastischen Grenzfall ist $a=1$.

12.2

• (a) Wir schreiben die Sinusfunktion im Integranden in (12.32) als Summe von zwei Exponentialfunktionen und erhalten

  $$\int_{0}^{\infty}\mathrm{d}r\,\mathrm{e}^{-\mu r}\sin(qr) =\frac{1}{2\mathrm{i}}\int_{0}^{\infty}\mathrm{d}r\,\left(\mathrm{e}^{-\mu r+\mathrm{i}qr}-\mathrm{e}^{-\mu r-\mathrm{i}qr}\right)$$
  $$ =\frac{\mathrm{i}}{2}\left[\frac{\mathrm{e}^{-\mu r+\mathrm{i}qr}}{\mu-\mathrm{i}q}-\frac{\mathrm{e}^{-\mu r-\mathrm{i}qr}}{\mu+\mathrm{i}q}\right]_{0}^{\infty}$$
  $$ =\frac{1}{2\mathrm{i}}\left(\frac{1}{\mu-\mathrm{i}q}-\frac{1}{\mu+\mathrm{i}q}\right)$$
  $$ =\frac{q}{\mu^{2}+q^{2}}\,.$$

  (12.195)

  Dies beweist das Ergebnis (12.32).

• (b) Mit $2\sin^{2}\vartheta=1-\cos\vartheta$ schreibt sich der differenzielle Wirkungsquerschnitt (12.34) gemäß

  $$\left(\frac{\mathrm{d}\sigma}{\mathrm{d}\Upomega}\right)_{\mathrm{Born}}=\left(\frac{2mg}{\hbar^{2}}\right)^{2}\left(\frac{1}{2k^{2}(1-\cos\vartheta)+\mu^{2}}\right)^{2}\,.$$

  (12.196)

  Im Ausdruck für den totalen Wirkungsquerschnitt in der ersten Born’schen Näherung

  $$\sigma_{\mathrm{tot}}=\int\mathrm{d}\Upomega\,\frac{\mathrm{d}\sigma}{\mathrm{d}\Upomega}=\int\mathrm{d}\varphi\mathrm{d}\vartheta\,\sin\vartheta\,\frac{\mathrm{d}\sigma}{\mathrm{d}\Upomega}$$

  (12.197)

  ergibt das $\varphi$-Integral nur einen Faktor $2\uppi$. Wir setzen $\cos\vartheta=x$ und erhalten

  $$\sigma_{\mathrm{tot}}=8\uppi\left(\frac{mg}{\hbar^{2}}\right)^{2}\int_{-1}^{1}\frac{\mathrm{d}x}{(2k^{2}+\mu^{2}-2k^{2}x)^{2}}\,.$$

  (12.198)

  Mithilfe des Integrals

  $$\int_{-1}^{1}\frac{\mathrm{d}x}{(ax+b)^{2}}=\frac{2}{b^{2}-a^{2}}$$

  (12.199)

  erhalten wir dann den totalen Wirkungsquerschnitt

  $$\begin{aligned}\displaystyle\sigma_{\mathrm{tot}}&\displaystyle=16\uppi\left(\frac{mg}{\hbar^{2}}\right)^{2}\frac{1}{\mu^{2}(\mu^{2}+4k^{2})}\\ \displaystyle&\displaystyle=16\uppi\left(\frac{mg}{\hbar^{2}}\right)^{2}\frac{1}{\mu^{2}(\mu^{2}+8mE/\hbar^{2})}\,.\end{aligned}$$

  (12.200)

  Dieser divergiert für $\mu\to 0$, d. h. für das Coulomb-Potenzial.

12.3

• (a) Aus der Beziehung (7.132) folgt sofort, dass die $P_{\ell}$ nur über $\cos\vartheta$ von $\vartheta$ abhängen. Die mehrfache Ableitung nach $u$ ist

  $$\begin{aligned}\displaystyle\frac{\mathrm{d}^{\ell}}{\mathrm{d}u^{\ell}}(u^{2}-1)^{\ell}&\displaystyle=\frac{\mathrm{d}^{\ell-1}}{\mathrm{d}u^{\ell-1}}\left(2\ell u(u^{2}-1)^{\ell-1}\right)\\ \displaystyle&\displaystyle=2^{\ell}\ell!\,u^{\ell}+\dots\,,\end{aligned}$$

  (12.201)

  wobei die Punkte für all jene Terme stehen, die mindestens eine Potenz von $u^{2}-1$ enthalten und somit bei $u=1$ verschwinden. Es folgt nun sofort die Normierung $P_{\ell}(1)=1$.

• (b) Die Kugelflächenfunktionen sind orthonormiert. Für die Legendre-Polynome folgt daraus

  $$\begin{aligned}\displaystyle\delta_{\ell\ell^{\prime}}&\displaystyle=\int_{0}^{2\uppi}\mathrm{d}\varphi\int_{0}^{\uppi}\mathrm{d}\vartheta\,\sin\vartheta\,Y^{*}_{\ell 0}(\vartheta)Y_{\ell^{\prime}0}(\vartheta)\\ \displaystyle&\displaystyle=2\uppi\int_{-1}^{1}\mathrm{d}(\cos\vartheta)\,Y_{\ell 0}(\vartheta)Y^{*}_{\ell^{\prime}0}(\vartheta)\\ \displaystyle&\displaystyle=\frac{2\ell+1}{2}\int_{-1}^{1}\mathrm{d}u\,P_{\ell}(u)P_{\ell^{\prime}}(u)\,,\end{aligned}$$

  (12.202)

  und dies sind die Orthogonalitätsrelationen (12.165).

• (c) Um die Koeffizienten in (12.163) zu finden, multiplizieren wir die Gleichung mit $P_{\ell^{\prime}}(u)$ und integrieren über $u=\cos\vartheta$. Benennen wir danach $\ell^{\prime}$ in $\ell$ um und setzen $kr=x$, dann erhalten wir die Beziehung (12.166). Wir erinnern uns an die Entwicklung

  $$j_{\ell}(x)\sim\frac{x^{\ell}}{(2\ell+1)!!}$$

  (12.203)

  für kleine $x$. Ein Vergleich der beiden Terme von der Ordnung $O(x^{\ell})$ in (12.166) führt auf

  $$\frac{a_{\ell}}{(2\ell+1)!!}=\frac{1}{2}\int_{-1}^{1}\mathrm{d}u\,\frac{u^{\ell}}{\ell!}P_{\ell}(u)\,.$$

  (12.204)

  Hier setzen wir für $P_{\ell}$ die Darstellung (7.132) ein. Unter dem entstehenden Integral

  $$\frac{a_{\ell}}{(2\ell+1)!!}=\frac{1}{2}\frac{1}{2^{\ell}(\ell!)^{2}}\int_{-1}^{1}\mathrm{d}u\,u^{\ell}\frac{\mathrm{d}^{\ell}}{\mathrm{d}u^{\ell}}\left(u^{2}-1\right)^{\ell}$$

  integrieren wir $\ell$-mal partiell. Dabei entstehen keine Randterme, da $(u^{2}-1)$ bei $u=\pm 1$ verschwindet. Deshalb ist

  $$\frac{a_{\ell}}{(2\ell+1)!!}=\frac{1}{2}\frac{(-1)^{\ell}}{2^{\ell}\ell!}\int_{-1}^{1}\mathrm{d}u\,\left(u^{2}-1\right)^{\ell}\,.$$

  (12.205)

  Setzt man im letzten Integral $u=\cos\vartheta$, dann erhält man bis auf einen Faktor $(-1)^{\ell}$ das im Hinweis angegebene Integral, sodass

  $$\frac{a_{\ell}}{(2\ell+1)!!}=\frac{1}{(2\ell+1)(2\ell-1)!!}\,.$$

  (12.206)

  Damit ergeben sich die Koeffizienten

  $$a_{\ell}=1\,.$$

  (12.207)

12.4

Die Ableitung der Green’schen Funktion an der Stelle $r=r^{\prime}$ ist

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}r}G_{\ell}(k,r,r^{\prime})\big|_{r^{\prime}=r}=k^{2}\left(j^{\prime}_{\ell}(x)y_{\ell}(x)-j_{\ell}(x)y^{\prime}_{\ell}(x)\right)_{x=kr}\,.$$

(12.208)

Sie ist proportional zur konstanten Wronski-Determinante der beiden unabhängigen Lösungen $j_{\ell}(x)$ und $y_{\ell}(x)$ der Bessel’schen Differenzialgleichung:

$$W(j_{\ell},y_{\ell})=x^{2}\left(j_{\ell}(x)y^{\prime}_{\ell}(x)-j^{\prime}_{\ell}(x)y_{\ell}(x)\right)=1\,.$$

(12.209)

Den expliziten Wert der Wronski-Determinante gewinnt man leicht aus dem asymptotischen Verhalten der sphärischen Bessel-Funktionen für kleine Argumente. Somit gilt

$$G_{\ell}(k,r,r)=0\quad\text{und}\quad\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}r}G_{\ell}(k,r,r^{\prime})|_{r^{\prime}=r}=-\frac{1}{r^{2}}\,.$$

(12.210)

Es sei nun

$$p(r)=\int_{0}^{r}\mathrm{d}r^{\prime}r^{\prime 2}\,G_{\ell}(k,r,r^{\prime})q(r^{\prime})\,.$$

(12.211)

Mithilfe von (12.210) findet man für die erste und zweite Ableitung dieser Funktion

$$\begin{aligned}\displaystyle\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}r}p(r)&\displaystyle=\int_{0}^{r}\mathrm{d}r^{\prime}r^{\prime 2}\,\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}r}G_{\ell}(k,r,r^{\prime})q(r^{\prime})\,,\\ \displaystyle\frac{\mathrm{d}^{2}}{\mathrm{d}r^{2}}p(r)&\displaystyle=-q(r)+\int_{0}^{r}\mathrm{d}r^{\prime}r^{\prime 2}\,\frac{\mathrm{d}^{2}}{\mathrm{d}r^{2}}G_{\ell}(k,r,r^{\prime})q(r^{\prime})\,.\end{aligned}$$

(12.212)

Wirkt man mit dem radialen Schrödinger-Operator im Drehimpulssektor $\ell$

$${\hat{H}}_{\ell}={\hat{H}}^{0}_{\ell}+U\,,\quad{\hat{H}}^{0}_{\ell}=-\frac{\mathrm{d}^{2}}{\mathrm{d}r^{2}}-\frac{2}{r}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}r}+\frac{\ell(\ell+1)}{r^{2}}$$

(12.213)

auf beide Seiten von (12.168) und berücksichtigt, dass $j_{\ell}$ und $G_{\ell}$ Lösungen der freien radialen Schrödinger-Gleichung sind, so findet man

$${\hat{H}}_{\ell}\phi_{\ell}(k,r) =(k^{2}+U)j_{\ell}-U\phi_{\ell}$$

$$ \quad\quad+(k^{2}+U)\int_{0}^{r}G_{\ell}(k,r,r^{\prime})U(r^{\prime})\phi_{\ell}(r^{\prime}){r^{\prime}}^{2}$$

$$ =(k^{2}+U)j_{\ell}-U\phi_{\ell}+(k^{2}+U)(\phi_{\ell}-j_{\ell})$$

$$ =k^{2}\phi_{\ell}(k,r)\,.$$

(12.214)

Dies bedeutet, dass $\phi_{\ell}$ die radiale Schrödinger-Gleichung löst.

Ähnlich könnte man zeigen, dass

$$f_{\ell}(k,r)=h^{*}_{\ell}(kr)-\int_{r}^{\infty}\!\mathrm{d}r^{\prime}r^{\prime 2}\,G_{\ell}(k,r,r^{\prime})U(r^{\prime})f_{\ell}(k,r^{\prime})$$

(12.215)

ebenfalls die radiale Schrödinger-Gleichung löst.

12.5

• (a) Die radiale Schrödinger-Gleichung im Sektor $\ell$ lautet

  $$\frac{\mathrm{d}^{2}R_{k\ell}}{\mathrm{d}r^{2}}+\frac{2}{r}\frac{\mathrm{d}R_{k\ell}}{\mathrm{d}r}+\frac{\ell(\ell+1)}{r^{2}}R_{k\ell}+(k^{2}-U)R_{k\ell}=0$$

  (12.216)

  mit $k^{2}=2mE/\hbar^{2}$ und

  $$U(r)=\begin{cases}-U_{0}=-2mV_{0}/\hbar^{2}&\text{f{\"u}r }r\leq a\\ 0&\text{f{\"u}r }r> a\,.\end{cases}$$

  (12.217)

  Im Topf und außerhalb des Topfes ist das Potenzial konstant, und $R_{k\ell}$ ist eine Linearkombination von sphärischen Bessel-Funktionen. Die am Ursprung reguläre Lösung lautet innerhalb des Topfes

  $$R_{k\ell}(r)=Aj_{\ell}(qr)\,,\quad q=\sqrt{k^{2}+U_{0}}\,.$$

  (12.218)

  Nach (12.65) ist außerhalb des Topfes

  $$R_{k\ell}(r)=j_{\ell}(kr)-\tan\delta_{\ell}\,y_{\ell}(kr)\,,$$

  (12.219)

  wobei durch den irrelevanten Faktor $\mathrm{e}^{\mathrm{i}\delta_{\ell}}\cos\delta_{\ell}$ in (12.65) dividiert wurde. Dafür erscheint innerhalb des Topfes die $k$-abhängige Konstante $A$. Die Stetigkeit und stetige Differenzierbarkeit am Topfrand bedeuten

  $$\begin{aligned}\displaystyle Aj_{\ell}(qa)&\displaystyle=j_{\ell}(ka)-\tan\delta_{\ell}\,y_{\ell}(ka)\,,\\ \displaystyle Aqj^{\prime}_{\ell}(qa)&\displaystyle=kj^{\prime}_{\ell}(ka)-k\,\tan\delta_{\ell}\,y^{\prime}_{\ell}(ka)\,.\end{aligned}$$

  (12.220)

• (b) Im Quotienten der beiden Gleichungen fällt die Normierungskonstante $A$ heraus und man kann nach $\tan\delta_{\ell}$ auflösen:

  $$\tan\delta_{\ell}=\frac{qj^{\prime}_{\ell}(qa)j_{\ell}(ka)-kj_{\ell}(qa)j^{\prime}_{\ell}(ka)}{qj^{\prime}_{\ell}(qa)y_{\ell}(ka)-kj_{\ell}(qa)y^{\prime}_{\ell}(ka)}\,.$$

  (12.221)

  Benutzen wir noch die Beziehung (12.172), um die abgeleiteten sphärischen Bessel-Funktionen zu eliminieren, dann erhalten wir das Ergebenis (12.171).

• (c) Die für $\ell=0$ auftretenden Bessel-Funktionen mit Index 0 und $-1$ wurden im Hinweis angegeben. Damit erhält man im s-Wellen-Kanal die Phasenverschiebung

  $$\delta_{0}={\mathrm{arctan\> }}\left(\frac{\frac{k}{q}\tan(qa)-\tan(ka)}{1+\frac{k}{q}\tan(qa)\tan(ka)}\right)\,.$$

  (12.222)

  Mithilfe von

  $${\mathrm{arctan\> }}x-{\mathrm{arctan\> }}y={\mathrm{arctan\> }}\frac{x-y}{1+xy}$$

  (12.223)

  findet man schlussendlich

  $$\delta_{0}={\mathrm{arctan\> }}\left(\frac{k}{q}\tan(qa)\right)-ka\,.$$

  (12.224)

• (d) Die Energien $E$ der gebundenen Zustände liegen im Intervall zwischen $-V_{0}$ und 0. Mit den Abkürzungen

  $$\kappa^{2}=-\frac{2mE}{\hbar^{2}}\geq 0\quad\text{und}\quad q^{2}=U_{0}-\kappa^{2}\geq 0$$

  (12.225)

  hat die radiale Schrödinger-Gleichung im Sektor $\ell=0$ für $u_{k}(r)=rR_{k0}(r)$ eine einfache Form:

  $$\begin{aligned}\displaystyle u^{\prime\prime}_{k}+q^{2}u_{k}&\displaystyle=0,\quad r\leq a\,,\\ \displaystyle u^{\prime\prime}_{k}-\kappa^{2}u_{k}&\displaystyle=0,\quad r> a\,.\end{aligned}$$

  (12.226)

  Die am Ursprung reguläre und für große $r$ normierbare Lösung ist

  $$u_{k}(r)=\begin{cases}A\sin(qr)&\text{f{\"u}r }r\leq a\\ B\mathrm{e}^{-\kappa r}&\text{f{\"u}r }r> 0\,.\end{cases}$$

  (12.227)

  Die Anschlussbedingungen sind

  $$A\sin(qa)=B\mathrm{e}^{-\kappa a}\,,\quad A\cos(qa)=-\frac{\kappa}{q}B\mathrm{e}^{-\kappa a}\,.$$

  (12.228)

  Dividieren wir die zweite Gleichung durch die erste, dann folgt eine transzendente Bestimmungsgleichung für $aq$:

  $$\cot(qa)=-\frac{\sqrt{(ak_{0})^{2}-(aq)^{2}}}{aq}\,,\quad k_{0}^{2}=U_{0}\,.$$

  (12.229)

  Dies ist aber gerade identisch zu (6.59) für die Energien der ungeraden Zustände im eindimensionalen Topf. Somit ist die Anzahl gebundener Zustände gleich der größten natürlichen Zahl $n$ mit $n<k_{0}a/\uppi+1/2$.

• (e) Für $E=0$ verschwindet $\kappa$, und die Anschlussbedingungen lauten

  $$A\sin(k_{0}a)=B\quad\text{und}\quad Ak_{0}\cos(k_{0}a)=0\,.$$

  (12.230)

  Dies impliziert $k_{0}a=(n+1/2)\uppi$ und $A=(-1)^{n}B$ für ein $n\in\mathbb{N}_{0}$. Halbgebundene Zustände existieren also nur für quantisierte Werte von $k_{0}a$, und ihre Wellenfunktionen sind konstant außerhalb des Topfes. Innerhalb des Topfes ist

  $$R_{00}(r)=\frac{A}{r}\sin\left(\uppi\left(n+\tfrac{1}{2}\right)\frac{r}{a}\right)\,,\quad n=0,1,2,\dots$$

  (12.231)

12.6

• (a) Die radiale Schrödingergleichung für $u_{k}(r)=rR_{k0}(r)$ lautet

  $$\frac{\mathrm{d}^{2}}{\mathrm{d}r^{2}}u_{k}(r)+\left(k^{2}+k_{0}^{2}\mathrm{e}^{-2r/a}\right)u_{k}(r)=0\,,$$

  (12.232)

  wobei $k_{0}$ in (12.175) definiert wurde. Führen wir die neue unabhängige Variable $z=k_{0}a\mathrm{e}^{-r/a}$ ein, dann erhalten wir die Bessel’sche Differenzialgleichung für $\tilde{u}_{k}(z)=u_{k}(r)$:

  $$z^{2}\tilde{u}^{\prime\prime}_{k}(z)+z\tilde{u}^{\prime}_{k}(z)+\left((ka)^{2}+z^{2}\right)\tilde{u}_{k}(z)=0\,.$$

  (12.233)

  Deren Lösungen sind die linear unabhängigen Bessel-Funktionen $J_{\mathrm{i}ka}(z)$ und $J_{-\mathrm{i}ka}(z)$. Eine am Ursprung reguläre Lösung ist eine Linearkombination dieser Lösungen, die bei $r=0$, d. h. bei $z=k_{0}a=\gamma$, verschwindet. Somit haben die regulären Lösungen bis auf einen irrelevanten Normierungsfaktor die Form

  $$\tilde{u}_{k}(z)=J_{-\mathrm{i}ka}(\gamma)J_{\mathrm{i}ka}(z)-J_{\mathrm{i}ka}(\gamma)J_{-\mathrm{i}ka}(z)\,.$$

  (12.234)

• (b) Für große $r$ strebt $z$ gegen null und

  $$J_{\pm\mathrm{i}ka}(z)\to\left(\frac{z}{2}\right)^{\pm\mathrm{i}ka}\frac{1}{\Upgamma(1\pm\mathrm{i}ka)}\,.$$

  (12.235)

  Daraus folgt die Form der Lösung (12.234) weit weg vom Streuzentrum:

  $$\begin{aligned}\displaystyle u_{k}(r)&\displaystyle\sim J_{-\mathrm{i}ka}(\gamma)\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}ka\log(\gamma/2)}}{\Upgamma(1+\mathrm{i}ka)}\,\mathrm{e}^{-\mathrm{i}kr}\\ \displaystyle&\displaystyle\quad\quad-J_{\mathrm{i}ka}(\gamma)\frac{\mathrm{e}^{-\mathrm{i}ka\log(\gamma/2)}}{\Upgamma(1-\mathrm{i}ka)}\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}kr}\,.\end{aligned}$$

  (12.236)

  Ein Bindungszustand gehört zu einem imaginären $k$ mit negativem Imaginärteil. Wir setzen $k=-\mathrm{i}\kappa$ mit $\kappa> 0$. Für ein positives $\kappa$ muss der Koeffizient von $\mathrm{e}^{\mathrm{i}kr}$ verschwinden, damit die Lösung für große Radien abfällt. Dies bedeutet, dass entweder $J_{\kappa a}(\gamma)$ verschwindet oder aber $1/\Upgamma(1-\kappa a)$.

  Die Gammafunktion hat auf der reellen Achse Pole an den Stellen $0,-1,-2,\dots$ (siehe den „Mathematischen Hintergrund“ 12.4). Deshalb führt die zweite Bedingung auf

  $$\kappa_{n}a=n\quad\text{mit}\quad n\in\mathbb{N}\,.$$

  (12.237)

  Aber für $\kappa a\in\mathbb{Z}$ ist die Ordnung der Bessel-Funktionen $J_{\kappa a}$ ganzzahlig, und in diesem Fall sind die beiden Lösungen in (12.234) wegen $J_{n}(z)=(-1)^{n}J_{-n}(z)$ linear abhängig. Daraus folgt sofort, dass die Wellenfunktion $\tilde{u}_{k}$ identisch null ist.

  Also liefern nur die diskreten Lösungen $\kappa_{n}$ der transzendenten Gleichung

  $$J_{\kappa a}\left(k_{0}a\right)=0$$

  (12.238)

  für $\kappa$ normierbare Lösungen mit Bindungsenergien

  $$E_{n}=-\frac{\hbar^{2}}{2m}\,\kappa_{n}^{2}\,.$$

  (12.239)

  Im Gegensatz zur Herleitung bleibt das Ergebnis auch für ganzzahlige $\kappa_{n}a\equiv n$ gültig, obwohl dann die Linearkombination in (12.234) verschwindet. In diesem Fall sind die Lösungen eine Linearkombination von $J_{n}$ und $Y_{n}$.

• (c) Für genügend große $x$ sind die Funktionen $x\mapsto J_{x}(\gamma)$ für alle $\gamma> 0$ positiv. Für Parameterwerte $\gamma<\gamma_{1}\approx 2{,}4048$ sind die Funktionen überall positiv und haben keine Nullstelle, und somit hat (12.238) keine Lösung für

  $$k_{0}a=\sqrt{2mV_{0}}\;\frac{a}{\hbar}<2{,}4048\,.$$

  (12.240)

  Zum Beispiel hat die Funktion $J_{x}(2)$ in Abb. 12.13 keine Nullstelle. Für $\gamma\in(\gamma_{1},\gamma_{2})$ ist nun $J_{0}(\gamma)$ negativ, und die entsprechenden Funktionen $x\mapsto J_{x}(\gamma)$ haben einen Knoten, da sie für große $x$ ja positive Werte annehmen. Die Funktion $J_{x}(3)$ in Abb. 12.13 gehört zu dieser Klasse von Funktionen. In einem folgenden Intervall $(\gamma_{2},\gamma_{3})$ ist nun $J_{0}(\gamma)$ wieder positiv. Deshalb sind für diese $\gamma$-Werte die Funktionen $J_{x}(\gamma)$ positiv für kleine $x$, negativ für mittlere $x$ und wieder positiv für große $x$ und haben zwei Knoten. Die Funktion $J_{x}(6)$ in Abb. 12.13 ist ein Beispiel.

  Abb. 12.13

  

  Die Bindungsenergien im Sektor $\ell=0$ sind bestimmt durch die Nullstellen von $J_{\kappa a}(k_{0}a)$ als Funktion der Ordnung $\kappa a$ der Bessel-Funktionen

  Bezeichnen $2{,}4048\approx\gamma_{1}<\gamma_{2}<\dots$ die Nullstellen von $J_{0}(\gamma)$, dann gibt es also für $k_{0}a\in[\gamma_{n},\gamma_{n+1})$ genau $n$ Lösungen $\kappa a=\nu_{1},\nu_{2},\dots,\nu_{n}$ von (12.238) und somit $n$ Bindungszustände im s-Wellen-Kanal. Nimmt die Stärke des anziehenden Potenzials zu, so wächst die Anzahl der Bindungszustände.

• (d) Um die Phasenverschiebung zu extrahieren, vergleichen wir die asymptotische Form (12.236) mit der allgemeinen asymptotischen Entwicklung in (12.65):

  $$u_{k}(r)\to A\left(\mathrm{e}^{-\mathrm{i}kr-\mathrm{i}\delta_{0}}-\mathrm{e}^{\mathrm{i}kr+\mathrm{i}\delta_{0}}\right)\propto\sin(kr+\delta_{0})\,.$$

  (12.241)

  Daraus können wir sofort die Phasenverschiebung ablesen:

  $$\mathrm{e}^{2\mathrm{i}\delta_{0}(k)}=\frac{J_{\mathrm{i}ka}(\gamma)}{J_{-\mathrm{i}ka}(\gamma)}\frac{\Upgamma(1+\mathrm{i}ka)}{\Upgamma(1-\mathrm{i}ka)}\,\mathrm{e}^{-2\mathrm{i}ka\,\log(\gamma/2)}\,.$$

  (12.242)

  Für die Suche von Nullstellen dieses Ausdrucks auf der negativen imaginären Achse setzen wir $k=-\mathrm{i}\kappa$ mit einem positiven $\kappa$. Dann ist

  $$\mathrm{e}^{2\mathrm{i}\delta_{0}(-\mathrm{i}\kappa)}=\frac{J_{\kappa a}(\gamma)}{J_{-\kappa a}(\gamma)}\frac{\Upgamma(1+\kappa a)}{\Upgamma(1-\kappa a)}\,\mathrm{e}^{-2\kappa a\,\log(\gamma/2)}\,.$$

  (12.243)

  Die rechte Seite ist null, wenn $J_{\kappa a}(\gamma)$ verschwindet oder $\Upgamma(1-\kappa a)$ unendlich ist. Dies sind genau die oben diskutierten Bedingungen für die Existenz von Bindungszuständen.

12.7

In Vorwärtsrichtung ist $(1+\hat{{\boldsymbol{k}}}_{0}\cdot{\boldsymbol{e}}_{r})\approx 2$ und $f({\boldsymbol{k}}^{\prime},{\boldsymbol{k}}_{0})\approx f({\boldsymbol{k}}_{0},{\boldsymbol{k}}_{0})$. Damit ist

$$ r^{2}\int\mathrm{d}\Upomega\,j_{\mathrm{r,int}}(t,{\boldsymbol{x}})$$

(12.244)

$$ \approx\frac{2\hbar k_{0}}{mr}\,\mathrm{Im\,}\left(\mathrm{i}f({\boldsymbol{k}}_{0},{\boldsymbol{k}}_{0})\psi_{0}(t,\hat{{\boldsymbol{k}}}_{0}r)\int r^{2}\mathrm{d}\Upomega\,\psi^{*}_{0}(t,{\boldsymbol{x}})\right)\,.$$

Im verbleibenden Integral über die Wellenfunktion

$$\psi_{0}(t,{\boldsymbol{x}})=\int\frac{\mathrm{d}^{3}k}{(2\uppi)^{3}}a({\boldsymbol{k}})\mathrm{e}^{\mathrm{i}{\boldsymbol{k}}\cdot{\boldsymbol{x}}}\mathrm{e}^{-\mathrm{i}E_{k}(t-t_{0})/\hbar}$$

(12.245)

ergibt sich mit dem Polarwinkel $\vartheta$ bezüglich der Richtung ${\boldsymbol{k}}$

$$\begin{aligned}\displaystyle\int\mathrm{d}\Upomega\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}{\boldsymbol{k}}\cdot{\boldsymbol{x}}}&\displaystyle=2\uppi\int_{-1}^{1}\mathrm{d}(\cos\vartheta)\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}kr\,\cos\vartheta}\\ \displaystyle&\displaystyle=\frac{2\uppi}{\mathrm{i}kr}\left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}kr}-\mathrm{e}^{-\mathrm{i}kr}\right).\end{aligned}$$

(12.246)

Da $a({\boldsymbol{k}})$ um ${\boldsymbol{k}}_{0}$ konzentriert ist, kann dies durch

$$\frac{2\uppi}{\mathrm{i}k_{0}r}\left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}{\boldsymbol{k}}\cdot(r{\hat{\boldsymbol{k}}}_{0})}-\mathrm{e}^{-\mathrm{i}{\boldsymbol{k}}\cdot(r{\hat{\boldsymbol{k}}}_{0})}\right)$$

genähert werden, woraus (12.177) folgt, dessen komplex Konjugiertes in (12.244) einzusetzen ist. Da $\psi_{0}(t,r{\hat{\boldsymbol{k}}}_{0})$ nur nach und $\psi_{0}(t,-r{\hat{\boldsymbol{k}}}_{0})$ nur vor der Streuung ungleich null ist, bleibt nach erfolgter Streuung nur ein Beitrag proportional zu $|\psi_{0}(t,\hat{{\boldsymbol{k}}}_{0}r)|^{2}$ in

$$r^{2}\int\mathrm{d}\Upomega\,j_{\mathrm{r,int}}(t,{\boldsymbol{x}}) \approx-\frac{4\uppi\hbar}{m}\,\mathrm{Im\,}f({\boldsymbol{k}}_{0},{\boldsymbol{k}}_{0})\left|\psi_{0}(t,\hat{{\boldsymbol{k}}}_{0}r)\right|^{2}$$

$$ =-\frac{4\uppi}{k_{0}}j_{\mathrm{r,0}}\,\mathrm{Im\,}f({\boldsymbol{k}}_{0},{\boldsymbol{k}}_{0})\,.$$

(12.247)

12.8

Die Auswahlregel kommt zustande, weil die beiden Pionen im Endzustand identische Teilchen sind. Als spinlose Teilchen sind Pionen Bosonen, und somit muss ihre Wellenfunktion eine symmetrische Funktion in den Koordinaten der beiden Pionen sein:

$$\psi({\boldsymbol{x}}_{1},{\boldsymbol{x}}_{2})=\psi({\boldsymbol{x}}_{2},{\boldsymbol{x}}_{1})\,.$$

(12.248)

Im Schwerpunktsystem bedeutet dies

$$\psi({\boldsymbol{x}})=\psi(-{\boldsymbol{x}})\,,\quad{\boldsymbol{x}}={\boldsymbol{x}}_{2}-{\boldsymbol{x}}_{1}\,.$$

(12.249)

Also ist die Wellenfunktion spiegelsymmetrisch und trägt eine gerade Parität. Wegen ${\hat{P}}\psi=(-1)^{\ell}\psi$ ist dann der Bahndrehimpuls der Relativbewegung gerade. Da der gesamte Drehimpuls eine Erhaltungsgröße ist, muss auch der gesamte Bahndrehimpuls des Anfangszustands gerade sein.