Schnittgrößen – die inneren Kräfte und Momente in Trägern

Zusammenfassung

Ein unter Last stehendes Tragwerk kann grundsätzlich an zwei verschiedenen Stellen versagen: Es kann aus seinen Verankerungen gerissen werden oder an irgendeiner Stelle in seiner Mitte durchbrechen. Im ersten Fall wären die Lagerreaktionen unzulässig hoch, im zweiten Fall die inneren Kräfte und Momente im Tragwerk. Diese werden auch als Schnittgrößen bezeichnet, da sie in ein Freikörperbild immer dann eingetragen werden, wenn ein Träger an einer Stelle in seinem Inneren durchschnitten wird. Um sie geht es in diesem Kapitel.

Appendices

Antworten zu den Verständnisfragen

Antwort 3.1

Beispiele für Streckenlasten sind das Eigengewicht von Trägern, Schneelasten, o. Ä. Aber auch sehr viele eng beieinanderliegende Punktlasten, wie z. B. Passagiere in einer vollbesetzten Straßenbahn oder Fahrzeuge im Stau, lassen sich als Streckenlast behandeln.

Antwort 3.2

Zum Absetzen des Differenzmoments. Die Differenz zwischen Ein- und Ausgangsmoment wird über ein Kräftepaar vom Fahrradrahmen aufgenommen, und je größer hierfür der Hebelarm ist, desto kleiner sind die Kräfte.

Antwort 3.3

C₁ verschwindet, weil die Ableitung an der Stelle x = 0 verschwindet, und C₂ verschwindet, weil der Funktionswert an der Stelle x = 0 gerade $H_{0}/q_{0}$ beträgt.

Aufgaben

Im Folgenden finden Sie Aufgaben zu dem im Kapitel besprochenen Thema. Wenn es sich um Rechenaufgaben handelt, ist der Schwierigkeitsgrad angegeben (• leicht, •• mittel, ••• schwer), und eine Ergebniszeile zeigt das zu erwartende Ergebnis.

Die Lösungen zu allen Aufgaben finden Sie auf der Internetseite des Buches.

3.1

•

• 1. Berechnen Sie die Schnittgrößen Q(x) und M(x) in einer durch zwei gleich große Kräfte F belasteten symmetrischen 4-Punkt-Biegeprobe der Längenabmessungen l_i und l_a.

• 2. Zeichnen Sie die Grafen von Q(x) und M(x).

Resultat:

Bereich I: $Q_{\mathrm{I}}(x)=F$, $M_{\mathrm{I}}(x)=F\leavevmode\nobreak\ x$, Bereich II: $Q_{\text{II}}(x)=0$, $M_{\text{II}}(x)=F\cdot\frac{l_{\mathrm{a}}-l_{\mathrm{i}}}{2}$, Bereich III: $Q_{\text{III}}(x)=-F$, $M_{\text{III}}(x)=F\leavevmode\nobreak\ \left(l_{\mathrm{a}}-x\right)$.

3.2

•  Berechnen Sie die Schnittgrößen in einem durch sein Eigengewicht G belasteten Kragträger der Länge l.

Hinweis:

Resultat:

$N(x)=0$, $Q(x)=G\left(1-\frac{x}{l}\right)$,$M(x)=-\frac{G}{2\,l}\left(l-x\right)^{2}$.

3.3

••  Auf einer Spritztour mit Papas geliehenem Oberklassewagen setzen Sie diesen peinlicherweise vor einen Baum und müssen den Abschleppdienst rufen. Zu allem Überfluss bezweifelt der Abschleppwagenfahrer, dass sein Kran überhaupt der Belastung des Fahrzeugs gewachsen ist. Überzeugen Sie ihn, indem Sie die Schnittgrößen N, Q und M im Kran berechnen. Gehen Sie dabei wie folgt vor:

• 1. Schneiden Sie den Pkw frei, und berechnen Sie die Seilkraft S, mit der dieser angehoben wird.

• 2. Mit welcher Kraft lastet die im Punkt C reibungsfrei drehbar gelagerte Rolle auf dem Kranausleger?

• 3. Schneiden Sie den Kranausleger (Träger A–C) frei und berechnen Sie die Lagerreaktionen des Kranauslegers.

• 4. Berechnen Sie die Schnittgrößen N(s), Q(s) und M(s) im Kranausleger.

Anmerkung: Betrachten Sie der Einfachheit halber Abschleppwagen und Pkw im Stillstand und vernachlässigen Sie dynamische Effekte wie Anfahr- oder Abbremsvorgänge. Vernachlässigen Sie auch das Eigengewicht des Kranauslegers.

Hinweis:

In welche Richtung muss die Abstützkraft der Pendelstütze orientiert sein?

Resultat:

• 1. 7,7 kN

• 2. Mit jeweils 7,7 kN senkrecht nach unten sowie nach links unten parallel zum Kranausleger.

• 3. $A_{x}=5{,}4\,\text{kN}$, $A_{y}=-2{,}3\,\text{kN}$, $B=15{,}4\,\text{kN}$,

• 4. $N_{\mathrm{I}}(s)=-2{,}2\,\text{kN}$, $Q_{\mathrm{I}}(s)=-5{,}4\,\text{kN}$,$M_{\mathrm{I}}(s)=-5{,}4\,\text{kN}\leavevmode\nobreak\ \cdot\leavevmode\nobreak\ s$, $N_{\text{II}}(s)=-13{,}1\,\text{kN}$,$Q_{\text{II}}(s)=5{,}4\,\text{kN}$, $M_{\text{II}}(s)=5{,}4\,\text{kN}\cdot(s-4\,\mathrm{m})$.

3.4

••  Die Tragfläche eines Sportflugzeugs kann vereinfacht als ein gewichtsloser, durch eine konstante Streckenlast q₀ belasteter Balken, der durch ein Festlager und eine Pendelstütze abgestützt wird, modelliert werden.

• 1. Berechnen Sie die Lagerreaktionen.

• 2. Berechnen Sie die Verläufe der Schnittgrößen.

• 3. Zeichnen Sie die Verläufe der Schnittgrößen und geben Sie Rand- und Extremwerte an.

Resultat:

• 1. Lagerreaktionen: $A_{x}=2\,q_{0}l$, $A_{y}=q_{0}l$, $B=-2\sqrt{2}q_{0}l$.

• 2. Schnittgrößen:

  Bereich I: $N_{\mathrm{I}}(x)=-2\,q_{0}l$, $Q_{\mathrm{I}}(x)=q_{0}\left(l+x\right)$, $M_{\mathrm{I}}(x)=\frac{1}{2}q_{0}l^{2}\Bigl[\left(\frac{x}{l}\right)^{2}+2\frac{x}{l}\Bigr]$

  Bereich II: $N_{\text{II}}(x)=0$, $Q_{\text{II}}(x)=q_{0}\left(x-l\right)$, $M_{\text{II}}(x)=\frac{1}{2}q_{0}\left(l-x\right)^{2}$.

3.5

•••  Berechnen Sie die Lagerreaktionen und Schnittgrößen des abgebildeten Trägers in Abhängigkeit der Größen q_max und l.

Hinweis:

Wann kann man für eine Streckenlast eine Ersatzkraft ansetzen, wann muss man integrieren?

Resultat:

Lagerreaktionen: $A_{x}=0$, $A_{y}=\frac{5}{12}q_{\text{max}}l$, $B_{y}=\frac{1}{4}q_{\text{max}}l$.

Schnittgrößen: $N(x)=0$, $Q(x)=q_{\text{max}}l\Bigl[\frac{1}{3}\left(\frac{x}{l}\right)^{3}-\frac{x}{l}+\frac{5}{12}\Bigr]$, $M(x)=q_{\text{max}}l^{2}\Bigl[\frac{1}{12}\left(\frac{x}{l}\right)^{4}-\frac{1}{2}\left(\frac{x}{l}\right)^{2}+\frac{5}{12}\frac{x}{l}\Bigr]$.

3.6

••  Auf Ihrer Paddeltour durch die Mecklenburger Seenplatte müssen Sie leider feststellen, dass die Strecke neben erfrischend klaren Seen auch mit einer Reihe von Umtragestellen aufwartet. Der schweißtreibenden Tätigkeit und den Semesterferien zum Trotz abstrahieren Sie aus Ihrem Kanu das folgende mechanische Modell und begeben sich an die Analyse:

• 1. Ist das Kanu statisch bestimmt gelagert? Begründen Sie kurz ihre Antwort.

• 2. Welchen Verlauf hat die Streckenlast q(x) in den Bereichen I und III?

• 3. Berechnen Sie die Lagerreaktionen.

• 4. Berechnen Sie den Verlauf der Schnittgrößen Q(x) und M(x) im Kanu.

Resultat:

• 1. Nein, es kann ja vorwärts getragen werden.

• 2. $q_{\mathrm{I}}(x)=75\frac{\mathrm{N}}{\mathrm{m}^{2}}\cdot x$, $q_{III}(x)=375\leavevmode\nobreak\ \frac{\mathrm{N}}{\mathrm{m}}-75\leavevmode\nobreak\ \frac{\mathrm{N}}{\mathrm{m}^{2}}\cdot x$.

• 3. $A_{y}=B_{y}=126\,\mathrm{N}$.

• 4. $Q_{\mathrm{I}}(x)=-37{,}5\leavevmode\nobreak\ \frac{\mathrm{N}}{\mathrm{m}^{2}}\cdot x^{2}$, $M_{\mathrm{I}}(x)=-12{,}5\leavevmode\nobreak\ \frac{\mathrm{N}}{\mathrm{m}^{2}}\cdot x^{3}$, $Q_{\text{II}}(x)=150\,\mathrm{N}-60\,\frac{\mathrm{N}}{\mathrm{m}}\cdot x$,$M_{\text{II}}(x)=-107{,}2\,\text{Nm}+150\,\mathrm{N}\cdot x-30\,\frac{\mathrm{N}}{\mathrm{m}}\cdot x^{2}$,$Q_{\text{III}}(x)=937{,}5\,\mathrm{N}-375\,\frac{\mathrm{N}}{\mathrm{m}}\cdot x+37{,}5\,\frac{\mathrm{N}}{\mathrm{m}^{2}}\cdot x^{2}$,$M_{\text{III}}(x)=-1.562{,}5\,\text{Nm}+937{,}5\,\mathrm{N}\cdot x-187{,}5\,\frac{\mathrm{N}}{\mathrm{m}}\cdot x^{2}+12{,}5\,\frac{\mathrm{N}}{\mathrm{m}^{2}}\cdot x^{3}$.

3.7

••  Auf dem Nachhauseweg überfahren Sie versehentlich ein Stoppschild. Nun steht es da, das arme Schild, um 35° abgeknickt.

• 1. Berechnen Sie die Lagerreaktionen.

• 2. Berechnen Sie den Verlauf der Schnittgrößen N(s), Q(s) und M(s).

Hinweis:

In welche Richtungen setzt man bei schiefen Trägern am besten die Kräftegleichgewichte an?

Resultat:

• 1. $A_{x}=0$, $A_{y}=180\,\mathrm{N}$, $M_{\mathrm{A}}=77{,}1\,\text{N\,m}$.

• 2. $N_{\mathrm{I}}(s)=-180\,\mathrm{N}+80\,\frac{\mathrm{N}}{\mathrm{m}}\cdot s$, $Q_{\mathrm{I}}(s)=0$,$M_{\mathrm{I}}(s)=-77{,}1\,\text{N\,m},T$, $N_{\text{II}}(s)=-147\,\mathrm{N}+65{,}5\,\frac{\mathrm{N}}{\mathrm{m}}\cdot s$,$Q_{\text{II}}(s)=103\,\mathrm{N}-46\,\frac{\mathrm{N}}{\mathrm{m}}\cdot s$,$M_{\text{II}}(s)=-23\,\frac{\mathrm{N}}{\mathrm{m}}\left(2\,\mathrm{m}-s\right)^{2}-11{,}5\,\mathrm{N}\left(2\,\mathrm{m}-s\right)$.

3.8

••  Ein 3 m langer Gelenkträger ist im Punkt A drei- und im Punkt B einwertig gelagert. Im Punkt G sind die beiden Trägerhälften durch ein zweiwertiges Gelenk miteinander verbunden.

• 1. Berechnen Sie die Lager- und Gelenkreaktionen.

• 2. Berechnen Sie die Schnittgrößen im waagerechten Trägerteil.

Resultat:

• 1. $A_{x}=2\,\text{kN}$, $A_{y}=1{,}3\,\text{kN}$, $M_{\mathrm{A}}=-2{,}4\,\text{kN\,m}$,$B_{y}=0{,}7\,\text{kN}$, $G_{x}=0$, $G_{y}=-1{,}3\,\text{kN}$.

• 2. $N_{\mathrm{I}}(x)=-2\,\text{kN}$, $Q_{\mathrm{I}}(x)=1{,}3\,\text{kN}$,$M_{\mathrm{I}}(x)=2{,}4\,\text{kN\,m}+1{,}3\,\text{kN}\cdot x$,$N_{\text{II}}(x)=0\ Q_{\text{II}}(x)=1{,}3\,\text{kN}$,$M_{\text{II}}(x)=-2{,}6\,\text{kNm}+1{,}3\,\text{kN}\cdot s$,$N_{\text{III}}(x)=0\ Q_{\text{III}}(x)=2\frac{\text{kN}}{\mathrm{m}^{2}}\left(3\,\mathrm{m}-x\right)^{2}-0{,}7\,\text{kN}$,$M_{\text{III}}(x)=-\frac{2}{3}\frac{\text{kN}}{\mathrm{m}^{2}}\left(3\,\mathrm{m}-x\right)^{3}+0{,}7\,\text{kN}\left(3\,\mathrm{m}-x\right)$ (Ergebnisse gerundet).

3.9

•  Berechnen Sie die Schnittgrößen N, Q und M in Abhängigkeit des Winkels $\varphi$ im abgebildeten Haken.

Resultat:

$N(\varphi)=F\sin\varphi$, $Q(\varphi)=-F\cos\varphi$,$M(\varphi)=-FR\sin\varphi$.

3.10

•  Eine als ebenes Fachwerk konstruierte Brücke ist im Punkt A zwei- und im Punkt B einwertig gelagert. Im Knoten C greift die Vertikalkraft 3 kN, im Knoten D die um 30° zur Horizontalen geneigte Kraft 4 kN an.

• 1. Überprüfen Sie das Fachwerk auf äußere und innere statische Bestimmtheit.

• 2. Bestimmen Sie die Lagerreaktionen.

• 3. Bestimmen Sie mit einem Ritterschnitt die Stabkräfte in den Stäben 4, 5 und 6.

• 4. Bestimmen Sie mit einem weiteren Ritterschnitt die Stabkräfte in den Stäben 1 und 3.

• 5. Schneiden Sie das Lager A frei und bestimmen Sie die Stabkraft in Stab 2.

Resultat:

• 1. Äußere und innere statische Bestimmtheit liegen vor.

• 2. $A_{x}=-3{,}5\,\text{kN}$, $A_{y}=2{,}7\,\text{kN}$, $B_{y}=2{,}3\,\text{kN}$.

• 3. $S_{4}=-2{,}7\,\text{kN}$, $S_{5}=0{,}4\,\text{kN}$, $S_{6}=5{,}9\,\text{kN}$.

• 4. $S_{1}=6{,}2\,\text{kN}$, $S_{3}=2{,}7\,\text{kN}$.

• 5. $S_{2}=-3{,}8\,\text{kN}$.

3.11

•  Berechnen Sie die Lagerreaktionen und Stabkräfte des skizzierten Fachwerkträgers.

Resultat:

$A_{x}=-15\,\text{kN}$, $A_{y}=8\,\text{kN}$, $B_{x}=15\,\text{kN}$.$S_{1}=0$, $S_{2}=-15\,\text{kN}$, $S_{3}=9{,}43\,\text{kN}$$S_{4}=10\,\text{kN}$, $S_{5}=-9{,}43\,\text{kN}$, $S_{6}=-5\,\text{kN}$$S_{7}=4{,}72\,\text{kN}$, $S_{8}=2{,}5\,\text{kN}$, $S_{9}=-4{,}72\,\text{kN}$.

3.12

•  Der skizzierte Wanddrehkran wird durch eine senkrechte Kraft F belastet. Berechnen Sie die Lagerreaktionen und Stabkräfte.

Resultat:

$A_{x}=\frac{5}{6}\leavevmode\nobreak\ F$, $A_{y}=F$, $B_{x}=-\frac{5}{6}\leavevmode\nobreak\ F$.$S_{1}=-3{,}44\,F$, $S_{2}=2{,}34\,F$, $S_{3}=0$,$S_{4}=2{,}33\,F$, $S_{5}=-2{,}61\,F$, $S_{6}=2\,F$,$S_{7}=0$, $S_{8}=2\,F$, $S_{9}=-2{,}24\,F$.

3.13

••  Die skizzierte zweiteilige Fachwerkbrücke wird durch fünf senkrechte Kräfte F belastet. Berechnen Sie die Stabkräfte.

Resultat:

$A_{x}=F$, $A_{y}=2{,}5\,F$, $B_{x}=-F$, $B_{y}=2{,}5\,F$,$G_{x}=-F$, $G_{y}=0$.$S_{1}=-1{,}5\,F$, $S_{2}=-1{,}41\,F$, $S_{3}=0{,}71\,F$,$S_{4}=-0{,}5\,F$, $S_{5}=-F$, $S_{6}=-0{,}5\,F$, $S_{7}=-0{,}71\,F$.

3.14

••  Die beiden Tragseile einer Spielplatz-Hängebrücke sind an 3,50 m hohen und 8 m voneinander entfernt stehenden Masten aufgehängt. Zu berechnen ist die maximal zulässige Belastung $q_{0,\text{zul}}$ eines jeden Tragseils unter den folgenden Voraussetzungen:

• Die Tragseile sollen in Brückenmitte (x = 0) genau bis auf 1 m über den Brückenweg durchhängen.

• Der Horizontalzug im Seil soll maximal 9 kN betragen.

• 1. Berechnen Sie $q_{0,\text{zul}}$ sowie die Gleichung y(x) der Seillinie im angegebenen (x,y)-Koordinatensystem.

• 2. Welcher größten im Tragseil auftretenden Seilkraft S_max entspricht $H_{0}=9\,\mathrm{kN}$?

Resultat:

$q_{0,\text{zul}}=2{,}8\,\frac{\text{kN}}{\mathrm{m}}$ pro Tragseil, $y(x)=0{,}16\,\frac{1}{\mathrm{m}}\cdot x^{2}+1\,\mathrm{m}$, $S_{\text{max}}=14{,}4\,\text{kN}$.

3.15

••  Welcher Horizontalzug H₀ muss im Spielzeugdackelseil herrschen, damit dieses am Dackel eine horizontale Tangente hat und somit auf keinen Fall auf dem Boden schleift?

Resultat:

$H_{0}=1{,}8\,\mathrm{N}$.

3.16

••  Wie das nun mal so ist, telefoniert Ihre kleine Nichte für ihr Leben gerne. Vom Fenster ihres Kinderzimmers aus (Höhe: 5 m über dem Boden) möchte sie nun ein Büchsentelefon zu ihrer im Nachbarhaus wohnenden Freundin spannen (Höhe Kinderzimmerfenster Freundin: 4,5 m über dem Boden). Da sie ihre Telefonbüchse mit einer Horizontalkraft von höchstens 4 N in den Händen halten will – sonst wird der jungen Dame das Telefonieren zu unbequem – macht sie sich Sorgen um den maximalen Durchhang der Telefonleitung.

Tun Sie bitte Ihrer Nichte den Gefallen und berechnen Sie die Stelle x₀ des größten Kordeldurchhangs sowie die kleinste Höhe h_min der Telefonkordel über dem Erdboden. Gehen Sie dabei wie folgt vor:

• 1. Welcher Belastungsfall des Seils liegt vor: konstante Streckenlast q(x) oder konstante Streckenlast q(s)?

• 2. Berechnen Sie die Stelle x₀ des größten Kordeldurchhangs.

• 3. Berechnen Sie die kleinste Höhe h_min der Telefonkordel über dem Erdboden.

Weitere Angabe: Das spezifische Gewicht der Telefonkordel beträgt $q_{0}=0{,}1\,\mathrm{N/m}$.

Resultat:

• 1. $q(s)=\text{konstant}$.

• 2. $x_{0}=13{,}29\leavevmode\nobreak\ \mathrm{m}$.

• 3. $h_{\text{min}}=2{,}77\leavevmode\nobreak\ \mathrm{m}$ über dem Erdboden.