Hamiltonsche Gleichungen und Symplektische Gruppe

Zusammenfassung

Der Energiebegriff ist vielleicht das wichtigste Konzept der Physik. Jedenfalls legt die Hamilton–Funktion (also die Gesamtenergie) eines Systems die Teilchendynamik fest. Das Vektorfeld der Differentialgleichung entsteht dabei durch Drehung aus dem Gradienten der Hamilton–Funktion.

Die Systemmatrizen linearer hamiltonscher Differentialgleichungen bilden eine Lie-Algebra. Deren Exponenten sind also Elemente einer Lie-Gruppe, der so genannten symplektischen Gruppe. Ähnlich wie die orthogonalen Matrizen das Skalarprodukt invariant lassen, gibt es eine unter den symplektischen Matrizen invariante antisymmetrische Bilinearform. Diese definiert eine besondere (‚symplektische‘) Geometrie, deren Auswirkungen in klassischer und Quantenmechanik sichtbar sind. Ein Beispiel ist der Maslov-Index.