Das Levi-Problem

Zusammenfassung

Ziel dieses Kapitels ist es zu zeigen, dass eine offene Menge D ⊂ Cⁿ genau dann ein Holomorphiebereich ist, wenn sie pseudokonvex ist, das heißt eine plurisubharmonische Ausschöpfungsfunktion besitzt. Die Existenz einer solchen Ausschöpfungsfunktion für Holomorphiebereiche lässt sich elementar beweisen. Die Frage, ob die Umkehrung gilt, ist als Levi-Problem bekannt. Positive Lösungen wurden 1953 von Oka sowie 1954 unabhängig von Bremermann und Norguet gegeben. Der hier gegebene Beweis beruht auf einer Arbeit von Grauert aus dem Jahre 1958. Als Anwendung zeigen wir, dass zu jedem Randpunkt einer streng pseudokonvexen Menge D ⊂ Cⁿ eine holomorphe Peakfunktion f ∈ O(D) existiert.