Zusammenfassung
L 2 -Funktionen
Zeigen Sie, dass für die Einheitskugel \(\Omega=\{x\in\mathbb{R}^{n}:\|x\|_{2}<1\}\) und die Funktionen \(g_{i}(x)=x_{i}/\|x\|_{2}^{2},x\in\Omega,i=1,\ldots,n\> ,\) gilt:
-
a)
$$\displaystyle g_{i}\not\in L^{2}(\Omega),\quad\text{falls }n=1,2;$$
-
b)
$$\displaystyle g_{i}\in L^{2}(\Omega),\quad\text{falls }n=3.$$
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Notes
- 1.
\(\|\cdot\|_{2}\) bezeichnet wieder die euklidische Norm.
- 2.
Die Basisfunktionen w rt werden auch als Formfunktionen bezeichnet (vgl. z. B. [22], 1.5).
- 3.
\((\cdot,\cdot)_{0,2}\) bezeichnet das L 2-Skalarprodukt.
- 4.
\(\langle\cdot,\cdot\rangle\) bezeichnet wieder das euklidische Skalarprodukt.
- 5.
\(\underline{a}_{0},\ldots,\underline{a}_{n}\) heißen affin unabhängig in \(\mathbb{R}^{n}\), wenn die zugehörigen Differenzvektoren \(\underline{b}_{k}=\underline{a}_{k}-\underline{a}_{0},k=1,\ldots,n\), linear unabhängig sind.
- 6.
vgl. z. B. [2], 2.2, [3], 4.2
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Reinhardt, HJ. (2017). Die Methode der Finiten Elemente. In: Aufgabensammlung Numerik. Springer Spektrum, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-662-55453-1_3
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DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-662-55453-1_3
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Publisher Name: Springer Spektrum, Berlin, Heidelberg
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Online ISBN: 978-3-662-55453-1
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