Numerische Methoden

Zusammenfassung

Von allen Teildisziplinen der Mathematik hatte in den letzten 30 Jahren die numerische Mathematik mit ihrer Realisierung auf programmierbaren Rechnern den mit Abstand größten Einfluß auf die Ingenieurwissenschaften. Universelle Lösungsstrategien wie die Finite Element Methode und hocheffektive Algorithmen erlauben die Behandlung von Problemen mit Millionen Freiheitsgraden. Analytische Verfahren treten dabei fast ganz in den Hintergrund und doch haben sie eine wesentliche Funktion bei der Kontrolle von Näherungsergebnissen. So können die Biegeeigenfrequenzen f [Hz] eines beidseitig frei drehbar unverschieblich gelagerten Bernoullibalkens nach Bild 1 als analytische Funktion der Ordnungszahl k angegeben werden.

$$ f = \frac{k^2 \pi}{2}\sqrt{\frac{EI}{l^3 \rho Al}};\quad k = 1,{\ldots},\infty.$$

(3)

Zwei Standardaufgaben beherrschen die lineare Algebra und damit die Diskretisierung von Ingenieurproblemen: Das Gleichungssystem und das Eigenwertproblem:

$$ \begin{aligned} \boldsymbol{Ax}&=\boldsymbol{r};\quad \boldsymbol{A},\boldsymbol{r}\ \text{gegeben;}\ \boldsymbol{x}\ \text{gesucht.} \\ \boldsymbol{Ax}&=\lambda\ \boldsymbol{Bx};\quad \boldsymbol{A},\boldsymbol{B}\ \text{gegeben;}\ \lambda,\boldsymbol{x}\ \text{gesucht.} \end{aligned}$$