Zusammenfassung
Die Jahre zwischen 1868 und 1875 brachten einige für die Geschichte der vier- und höherdimensionalen Räume wichtige Ereignisse.
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Notes
- 1.
Newcomb 1898, 1. Newcomb hat wenige Jahre später eine Erzählung „The Fairyland of Geometry“ in Harpers Magazine veröffentlicht; vgl. Newcomb 1902.
- 2.
Riemanns Schrift findet sich in den Abhandlungen der Göttinger Akademie, 13. Band, des Jahres 1867 – ausgeliefert 1868.
- 3.
Das „von“ ließ noch auf sich warten, Helmholtz wurde erst später in den Adelsstand erhoben.
- 4.
Es handelt sich dabei um eine Note, die der Pariser Akademie vorgelegt wurde. Ihr Hauptzweck war, die große Veröffentlichung anzukündigen und eventuelle Prioritätsfragen zu klären.
- 5.
Kurze Zeit später, am 30. Juni, hielt auch Riemanns Freund Richard Dedekind vor demselben Gremium seinen Habilitationsvortrag. Dieser fand im Haus von Prof. Hoeck in Anwesenheit der Professoren Hoeck, Gauß und Weber statt. Leider sind entsprechende Angaben für Riemanns Vortrag nicht bekannt.
- 6.
Diese war wohl mit ein Grund dafür, dass Riemann nicht an das Polytechnikum in Zürich berufen wurde. Der Beamte, der im Auftrag des Eidgenössischen Schulrates die beiden Kandidaten Dedekind und Riemann in Göttingen in Augenschein nahm, fand den Ersteren wesentlich überzeugender.
- 7.
Jost 2013, 29.
- 8.
Gauß hatte abweichend vom üblichen Vorgehen das dritte von Riemann vorgeschlagene Thema für den Vortrag der Fakultät zur Auswahl empfohlen. Das legt die Vermutung nahe, dass er sich von diesem etwas erwartete.
- 9.
Jost 2013, 32.
- 10.
Jost 2013, 34. Modern würde man sich dies als lokale Karten vorstellen, die eine Beziehung zwischen Umgebungen von Punkten in der Mannigfaltigkeit und solchen im Rn herstellen.
- 11.
Von konstant verschwindender Krümmung würde man wohl heute sagen.
- 12.
Bekanntlich war es eine wesentliche Errungenschaft von Riemanns Vortrag, diesen Unterschied deutlich gemacht zu haben.
- 13.
Vgl. Jost 2013, 31.
- 14.
Natürlich gab es zwischen Riemann und Poincaré Autoren, die sich mit Riemanns Ideen beschäftigten, z. B. Enrico Betti. Mehr Informationen hierzu findet man bei Scholz 1980.
- 15.
Es handelte sich um Bruno Elwin Christoffel (1829–1900), der bei Riemann Vorlesungen gehört hatte, und um Rudolf Lipschitz (1832–1903), der Riemanns Habilitationsvortrag in der Einleitung seines Artikels ausdrücklich erwähnt. Vgl. u. a. Christoffel 1869 und Lipschitz 1869.
- 16.
In den Verhandlungen des Dozentenvereines findet sich ein Druckfehler; dort wird der Vortrag auf 1866 datiert. Es gibt aber mehrere Argumente, die belegen, dass diese Datierung falsch sein muss; vgl. Volkert 1993. Ein anderer bekannter Vortrag von Helmholtz hieß übrigens: Ueber die Thatsachen der Wahrnehmung (1878).
- 17.
Helmholtz 1868 und Helmholtz 1868a. Dem Heidelberger Vortrag ließ Helmholtz eine Richtigstellung folgen: Helmholtz 1869. Darin nahm er seinen Anspruch zurück, aus seinen Axiomen ergäbe sich zwangsläufig die Euklidische Geometrie. Durch eine briefliche Mitteilung von Eugenio Beltrami hatte er nämlich in der Zwischenzeit gelernt, dass auch die hyperbolische Geometrie mit seinen Axiomen kompatibel war. Vgl. Volkert 2013, 67.
- 18.
Helmholtz war auswärtiges Mitglied der Göttinger Akademie und bekam vom Redakteur der Akademie, Schering, Fahnenabzüge von Riemanns Vortrag.
- 19.
Helmholtz 1868, 197 f.
- 20.
Diese Forschungsrichtung führte u.a. zu den sogenannten Raumformen, vgl. Volkert 2016c.
- 21.
Hier fällt einem sofort die bekannte Wendung ein, Mathematik werde zum Ruhme des menschlichen Geistes betrieben. Oder auch: Das Wesen der Mathematik liegt in ihrer Freiheit.
- 22.
Helmholtz 1868, 199 f.
- 23.
Helmholtz 1868, 220. Helmholtz diskutiert – ähnlich wie Drobisch – dann die Frage, dass der gewöhnliche Raum des Euklid hieraus als Grenzfall hervorgeht (R gleich unendlich): „Letzterer specieller Fall entspricht unserer wirklichen Geometrie gemäß den Axiomen des Euklid.“ (Helmholtz 1868a, 22) Die Hypersphäre (S3 in moderner Notation) wurde im weiteren Verlaufe des 19. Jhs. manchmal auch als „Helmholtzscher Raum“ bezeichnet.
- 24.
Betti 1871, 140.
- 25.
Weshalb wir heute noch – einem von H. Poincaré eingeführten Brauch folgend – von Betti-Zahlen sprechen.
- 26.
Als solcher ist vor allem zu nennen: „Über den Ursprung und die Bedeutung der geometrischen Axiome“ (= Helmholtz 1903, 1–32). Dieser Text beruht auf einem Vortrag von Helmholtz im Heidelberger Dozentenverein aus dem Jahre 1870, der dann überarbeitet und erweitert wurde. Auch eine Übersetzung ins Englische erfolgte.
- 27.
Vgl. hierzu Volkert 2013.
- 28.
Helmholtz 1903, 28. In diesem Kontext gibt Helmholtz auch seine vielzitierte Definition von „sich vorstellen können“ (Helmholtz 1903, 8). Auch Flächenwesen werden bei ihm angeführt (vgl. 6.2).
- 29.
Rosanes 1871, Vorwort.
- 30.
Solche findet man z. B. in Volkert 2013.
- 31.
Rosanes 1871, 10 f.
- 32.
Bereits 1872 hatte Frischauf eine Ausgabe von J. Bolyais absoluter Raumlehre veröffentlicht.
- 33.
Frischauf 1876, IV.
- 34.
Genaueres findet man in Volkert 2013, 147–152.
- 35.
Rosanes 1871, 11 f. Rosanes hebt in einer Fußnote hervor, dass sich der Cartonsche Beweis vor anderen Beweisversuchen in keiner Hinsicht auszeichne, was natürlich Bertrands Haltung noch mehr diskreditierte.
- 36.
Z. B. sein fundamentales Werk „Théorie des substitutions et des équations algébriques“ (1870) zur Gruppentheorie und zahlreiche Einzelarbeiten, u.a. zur Topologie der Flächen.
- 37.
Poncelets Ziel war auch eine derartige Allgemeinheit – allerdings ohne Verwendung der Analysis. „Allgemeinheit“ war überhaupt ein wichtiges Thema der Geometrie im 19. Jh.
- 38.
In moderner Sprache geht es um einen (n − k)-dimensionalen linearen Unterraum, insbesondere um (n − 1)-dimensionale Hyperebenen.
- 39.
Jordan 1872, 50.
- 40.
Zwischen diesen beiden macht Jordan keinen wirklichen Unterschied.
- 41.
Jordan 1875, 80.
- 42.
Gemeint ist, dass sich eine Drehung im vierdimensionalen Raum darstellen lässt mit Hilfe eines Produktes von zwei Drehungen des dreidimensionalen Raumes. Letztere wiederum werden durch ihre Drehachsen und die Größe des Drehwinkels charakterisiert.
- 43.
Jordan spricht selbst auch von einer „orthogonalen Substitution mit Determinante 1“ (substitution orthogonale de déterminant 1; Jordan 1875, 80). Der Begriff „Substitution“ steht bei ihm ganz allgemein für Elemente einer Gruppe. Konsequenter Weise hieß sein Lehrbuch der Gruppentheorie „Traité des substitutions et des équations algébrigues“ (1870).
- 44.
Es wird also immer nur der orientierungserhaltende Fall betrachtet.
- 45.
Vgl. Jordan 1875, 134.
- 46.
Vgl. Jordan 1875, 135.
- 47.
Sommerville 1970.
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Volkert, K. (2018). Der Aufbruch. In: In höheren Räumen. Mathematik im Kontext. Springer Spektrum, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-662-54795-3_2
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