Zusammenfassung
Die ersten noch tastenden Versuche, auch in der Geometrie die Dreidimensionalität zu überwinden, begegnen uns in den 1840er-Jahren. Sie gehen alle in die gleiche Richtung, nämlich analytische Ausdrücke geometrisch zu interpretieren, oder, wie man manchmal liest, Algebra in geometrischer Einkleidung zu betreiben.
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Notes
- 1.
Legendre sprach wie zu seiner Zeit üblich schlicht von „gleichen“ (égaux) Figuren, die er von flächen- oder volumengleichen (équivalents) unterschied; vgl. Legendre 1817, 60 und 276. Der dem Lateinischen entlehnte deutsche Begriff „kongruent“ bürgerte sich erst im Laufe des 19. Jh. allmählich in der Geometrie ein; vgl. Tropfke 1940, 94 – 96. Insofern ist Kants Wortwahl bemerkenswert.
- 2.
Vgl. verschiedene Arbeiten von Hon und Goldstein.
- 3.
Legendre 1817, 163.
- 4.
Lies: kongruent.
- 5.
Lies: Flächenwinkel.
- 6.
Legendre 1817, 165.
- 7.
Legendre 1817, 167–168. Segner hatte dies schon vor Legendre erkannt, was aber anscheinend in Vergessenheit geraten war.
- 8.
Möbius 1827, 184.
- 9.
Möbius 1827, 185.
- 10.
Dieses Problem war auch I. Kant bekannt.
- 11.
Gauß VIII, 241–242.
- 12.
Kant 1910, 24. Gemeint sind Räume, in denen nicht das übliche Gravitationsgesetz gilt, sondern z. B. eines, in dem die Kraft der dritten Potenz des Abstands umgekehrt proportional wäre. Ein solcher Raum hätte auch eine andere Dimension, denn nach Kant hängt die letztere von der konkreten Form des Gravitationsgesetz ab – wie, bleibt allerdings dunkel.
- 13.
Kant 1976, 38–39.
- 14.
Vgl. Confalonieri/Kröger 2016.
- 15.
Z. B. in der zweiten Auflage der „Kritik der reinen Vernunft“ (1787), wo Segners Punktmuster zur Verdeutlichung von natürlichen Zahlen erwähnt werden. Kants bezieht sich dabei auf Segners „Anfangsgründe der Arithmetik“ ([2. Auflage, Halle 1773]) – vgl. Kant 1976, 49 [B 16])
- 16.
Lies: sphärisches Dreiecke. Dabei ist zu beachten, dass Segner stets auch die zu den sphärischen Dreiecken gehörigen Dreikante betrachtet.
- 17.
Segner 1767, 591–592.
- 18.
„Nieder“ meint hier „ohne Einbezug der Trigonometrie“. Gudermanns Lehrbuch war eines der ersten Lehrbücher der sphärischen Geometrie synthetischer Art. Deren Wichtigkeit liegt darin, dass sie einer autonomen Auffassung der sphärischen Geometrie und damit einem besseren Blick auf diese in Analogie zur ebenen Geometrie den Weg bahnten.
- 19.
Lies: Polardreiecke.
- 20.
Gudermann 1835, 18–19.
- 21.
Nämlich den Raum als dreidimensionalen Vektorraum zu betrachten und die beiden möglichen, entgegengesetzten Orientierungen desselben mit den geraden und ungeraden Permutationen der Tripel der Basisvektoren zu identifizieren. Diese Auffassung nutzt Begrifflichkeiten, die erst gegen Ende des 19. Jhs. einigermaßen geklärt waren.
- 22.
Bibliothek ETH Archiv Nachlass Fiedler Hs 87a: 30 (Korrekturfahnen [?] eines offenen Briefs an F. K. Zöllner, undatiert); vgl. Abschnitt 5.2.
- 23.
Ich danke Friedrich Steinle (Berlin), von dem ich diese Dinge gelernt habe.
- 24.
Im Französischen auch heute noch meist als „Bonhomme d‘Ampère“ bezeichnet.
- 25.
Sein französischer Kollege, der „Bonhomme d‘Ampère“, ist nicht so dynamisch wie sein deutsches Alter ego: Er liegt auf dem Leiter, derart, dass der Strom ihn von den Füßen nach dem Kopf hin durchfließt. Blickt er dann auf die Nadel, so wird diese, wie oben beschrieben, abgelenkt. Der Strom fließt per Konvention immer von Plus nach Minus.
- 26.
Natürlich könnte man auch an den Drehimpuls denken. Modern gesehen kann man diese Problematik elegant behandeln mit Hilfe des Vektorprodukts. Nach fast gänzlich unbemerkt gebliebene Ansätzen in Hermann Grassmanns (1809–1877) „Ausdehnungslehre“ (1844) wurde dieses Werkzeug erst in der zweiten Hälfte des 19. Jhs. entwickelt und eingesetzt (zu nennen wären hier Oliver Heavyside und George Green ).
- 27.
Es handelt sich um die rechtsdrehende L(+)- bzw. um die linksdrehende (D-)Weinsäure.
- 28.
Vgl. Scholz 1990.
- 29.
Dagegen sind Drehungen genuin ebene Phänomene, selbst räumliche um eine Achse lassen sich im Wesentlichen so verstehen.
- 30.
Vgl. hierzu die Aufsätze von Freudenthal 1963 und 1964.
- 31.
Freudenthal spricht von einer „merkwürdigen Vergöttlichung des Raumes.“ (Freudenthal 1963, 200)
- 32.
Leibniz nennt ihn gar einen „Beweis“.
- 33.
Leibniz 1989, 373.
- 34.
In der projektiven Geometrie wurde „Stellung“ später im Deutschen üblich als Bezeichnung für die Parallelität von Ebenen: Zwei Ebenen, die sich nicht schneiden, haben gleiche Stellung. Das ist bei Carnot nicht gemeint. Analog sprach man von Richtung bei parallelen Geraden.
- 35.
Carnot lehnte eigentlich negative Zahlen ab, was die Situation kompliziert macht. Negative Strecken sind begrifflich etwas anderes als negative Zahlen, die als Koordinaten dienen. Letzterer Brauch ist viel älter (z. B. schon bei Newton zu finden).
- 36.
Möbius 1827, 3.
- 37.
Möbius 1827, 20 - 21.
- 38.
Möbius 1827 22–23.
- 39.
Modern geht es also um induzierte Orientierungen und vorgegebene.
- 40.
Mehr als die beiden Figuren in Abbildung 1.8 gibt es in Listings Abhandlung nicht. Listings Werk blieb im deutschsprachigen Raum weitgehend unbeachtet, rezipiert wurde es vor allem in Großbritannien (Maxwell, Tait ).
- 41.
Möbius 1886, 482.
- 42.
Möbius 1886, 483.
- 43.
Möbius 1886, 484.
- 44.
Möbius 1886, 485.
- 45.
Diese Begriffe sind nicht gänzlich äquivalent in ihrem modernen Gebrauch. Ersterer hat mit der Einbettung der Fläche zu tun, letzterer nicht.
- 46.
Vgl. beispielsweise Volkert 2002.
- 47.
Hierzu gibt es zwei Möglichkeiten: Entweder man identifiziert AA‘ und BB‘ so, dass A auf B und A‘ auf B‘ fällt, oder man vertauscht: A auf B‘ und B auf A‘. Im ersteren Fall entsteht topologisch gesehen die projektive Ebene , im zweiten Fall die Kleinsche Flasche . All dies lernte man nach und nach beim Versuch, die geschlossenen Flächen zu klassifizieren (vgl. Volkert 2002, Kapitel 2). Zur Geschichte der projektiven Ebene vgl. man auch Volkert 2010.
- 48.
Heißt: Bildebene und Objektebene sind orthogonal zueinander.
- 49.
Vgl. Steck 1943, 270f und die zugehörige Anm. 270 nebst weiteren Stellen.
- 50.
Diese verkleinerten Modelle, wie sie in Technik und Architektur gang und gäbe waren und immer noch sind, werfen keine begrifflichen Schwierigkeiten auf.
- 51.
Fiedler war nach einigen Jahren als Lehrer hauptsächlich an der Gewerbeschule in Chemnitz Professor der darstellenden Geometrie am Polytechnikum in Prag (1865–1867) und dann in Zürich (1867–1907). Am Zürcher Polytechnikum lautete die Denomination von Fiedlers Professur „Darstellende Geometrie und Geometrie der Lage“; er war ein prominenter Vertreter der Idee, darstellende und projektive Geometrie sowie ebene und räumliche Geometrie zu fusionieren.
- 52.
Fiedler 1875, 129–130.
- 53.
Möbius 1827, XII. Bei der Zentralperspektive kommen für die räumliche Kollineation noch zusätzliche Bedingungen (für die sogenannte Zentralkollineation) hinzu; vgl. Schaal 1981. Vor Poncelet und Möbius waren schon Regelwerke für Reliefperspektiven in Gebrauch, die allerdings eher empirischen Charakter besaßen.
- 54.
Möbius 1827, 311 n. *). Ähnliche Vorbehalte, wie sie Möbius pflegte, scheint es auch zu jener Zeit in der Pariser Akademie gegeben zu haben. Poncelet berichtet von der Sitzung der Akademie am 12.4.1824, in der er seine Theorie der Pol und Polaren vorstellte, wo man ihm gesagt habe: „Dies ist romantische Geometrie, Geometrie von vier Dimensionen.“ (Poncelet 1827-1828, 127).
- 55.
Man muss natürlich stets projektiv, das heißt unter Einschluss von Fernpunkten, denken. Der projektive Raum selbst gab auch allerhand Rätsel auf, vor allem, wenn man ihn anschaulich verstehen wollte. Vgl. Volkert 2010.
- 56.
Letztere hat - wie allgemein bekannt - letztlich den Sieg davongetragen. Eine entscheidende Etappe hierbei waren Hilberts „Grundlagen der Geometrie“ (1899).
- 57.
Steiner 1832, VI.
- 58.
Das Geradenbüschel enthält alle Geraden einer Ebene, die durch einen festen Punkt gehen. Projektiv gedacht fallen hierunter auch die Parallelenbüschel; dabei geht ein Parallelenbüschel durch einen Fernpunkt.
- 59.
Ein Ebenenbüschel besteht aus allen Ebenen des Raumes, die durch eine Gerade gehen. Dabei hat ein Büschel paralleler Ebenen eine Ferngerade gemeinsam.
- 60.
Alle Ebenen durch einen Punkt im Raum.
- 61.
Steiner 1832, XIV.
- 62.
Steiner 1832, XIV–XV.
- 63.
Steiner 1832, XV.
- 64.
Steiner 1832, XVI. Steiners Festlegung der Aufgabe der Geometrie erinnert den modernen Leser wohl sofort an Kleins Erlanger Programm (1872). Dort ist die Aufgabe der Geometrie die Untersuchung der Invarianten einer bestimmten Gruppe – in der Regel eine Untergruppe der Hauptgruppe.
- 65.
ETH-Bibliothek Archiv Hs 87 : 1405. Die Schreibweise ist die des Originals.
- 66.
ETH-Bibliothek Archiv Hs 87 : 1406. Veronese erwähnt dann noch, dass er in Leipzig in Kleins Seminar über vierdimensionale Geometrie vorgetragen habe. Dort hat er in der Tat am 24.4.1881 „Über die darstellende Geometrie im Raum von vier Dimensionen“ gesprochen. Eine 13 Seiten umfassende Zusammenfassung findet sich im Seminarbuch (vgl. http://page.mi.fu-berlin.de/moritz/klein/ [Band 3 S. 1–13]).
- 67.
Vgl. Veronese 1882, 161. Veronese bringt die Idee der n-dimensionalen Räume mit Riemanns Habilitationsvortrag in Beziehung. Die Vermutung liegt nahe, dass ihn Klein auf diesen hingewiesen hat. Klein wird auch ausdrücklich gedankt (vgl. Veronese 1882, 162).
- 68.
Autoren, die Veronese im Zusammenhang mit der n-dimensionalen Geometrie erwähnt, sind neben Riemann Grassmann , Jordan , d’Ovidio und Clifford .
- 69.
Der Aspekt an diesem Buch, der im Nachhinein betrachtet vielleicht am meisten Beachtung fand, war Veroneses Behandlung von nicht-Archimedischen Größensystemen und Geometrien, ein Thema, das wiederum in Hilberts „Grundlagen der Geometrie“ (1899) eine wichtige Rolle spielen sollte (wo auch Veronese erwähnt wird).
- 70.
Auf More wurde erstmals hingewiesen in der Dissertation Zimmermann 1881.
- 71.
Vgl. Lipscomb 2014. Hier werden allerdings Spekulationen gefährlich nahe an Tatsachen herangerückt.
- 72.
Vgl. Epheserbrief, Kap. 3, V 18: „Auf dass ihr begreifen möget mit allen Heiligen, welches da sei die Breite, und die Länge, und die Tiefe, und die Höhe.“ sowie die hieran anschließende Diskussion bei Weitzenböck 1956, 136–137. Die Ideen Frickers wurden durch seinen Lehrer, den pietistischen Theologen Friedrich Christioph Oetinger (1702–1782), bekannt gemacht.
- 73.
In heutiger Ausdrucksweise ist das Pascalsche Dreieck.
- 74.
Pascal 1998, 239.
- 75.
Um eine bekannte Formulierung von Gauß aufzugreifen. Welcher Raum denn nun gemeint war, wird im Epilog zu diesem Kapitel diskutiert.
- 76.
Vgl. hierzu Boyer 1988.
- 77.
Eine wichtige Rolle als Schrittmacher spielte hierbei die aufkommende darstellende Geometrie von Monge , die das Interesse für räumliche Fragen beförderte, insbesondere auch solche, die sich auf Geraden, Ebenen und dergleichen bezogen. Lacroix war ein direkter Schüler von G. Monge.
- 78.
Im Folgenden werden einige Arbeiten genannt, die bei der Einführung der vier- und mehrdimensionalen Geometrie eine Rolle gespielt haben. Die Auswahl hierbei ist keineswegs erschöpfend. Eine detaillierte Beschreibung dieser verwickelten Geschichte bleibt ein Desiderat, die ausführlichste Quelle, die ich kenne, ist Segre’s Beitrag zur Enzyklopädie (Segre 1912). Eine frühe Quelle ist Schlegel 1886. Ausgewählte Texte findet man bei Smith 1959, 524–545.
- 79.
Cauchy 1847, 293.
- 80.
Cauchy 1847, 293.
- 81.
„Sur quelques points de la géométrie de position“. Dieser Titel ist bemerkenswert, denn Cayley verwendete eigentlich immer die (für moderne Leser irritierende) Bezeichnung „descriptive geometry“ für die projektive Geometrie. Vermutlich erklärt sich dieser Sachverhalt daraus, dass Cayley selbst den Artikel auf Englisch geschrieben hatte und dass A. L. Crelle ihn als Herausgeber des Journals für die reine und angewandte Mathematik, in dem Cayleys Aufsatz erschien, ins Französische übersetzte. Diese Vermutung wird nahegelegt durch die Datierung „Berlin, 2. September 1845“, die sich am Ende des Artikels von Cayley findet. Gegenstand der Abhandlung von Cayley sind modern gesprochen Konfigurationen (aufgefasst als Inzidenzgebilde).
- 82.
Cayley 1846, 217–218. W. Fiedler nennt diese Stelle „das älteste mir bekannte Beispiel einer Verwendung des Gedankens [der Verwendung von Schneiden und Projizieren im vierdimensionalen Raum; K. V.]“ (Fiedler 1882, 172). Er gibt an dieser Stelle auch eine ausführliche Erläuterung des Inhalts des Satzes von Cayley. Weiterhin erwähnt Fiedler, dass er Fragen der vierdimensionalen Geometrie in seiner Vorlesung über ausgewählte Kapitel der Geometrie im Sommersemester 1882 am Züricher Polytechnikum behandelt habe (vgl. Fiedler 1882, 174).
- 83.
Lies Ebenen.
- 84.
Modern: Hyperebenen im vierdimensionalen Raum. Diese nennt man auch schlicht Räume.
- 85.
Cayley 1846, 217.
- 86.
Fiedler 1882, 172.
- 87.
Sylvester hat an mehreren Stellen versucht, eine für die vierdimensionale Geometrie geeignete Terminologie einzuführen, vgl. Segre 1912, 774 f.
- 88.
Godfrey Harold Hardy (1877 – 1947), ein bekannter britischer Zahlentheoretiker, verfasste später „A Mathematician’s Apology“ (Verteidigungsrede eines Mathematikers) [1941] zum Thema „Wie lässt sich reine Mathematik rechtfertigen?“. Hinzu zu fügen ist: in Zeiten des Krieges.
- 89.
Die BAAS, wie die Association meist kurz genannt wird, bot ein sehr wichtiges Forum zur Diskussion aktueller Themen aus Mathematik und Naturwissenschaften in einer Zeit, in der es ansonsten noch keine wissenschaftlichen Kongresse gab. In Deutschland bildete die „Gesellschaft Deutscher Naturforscher und Ärzte“ (VdNÄ) das Gegenstück zur BAAS, in Frankreich die „Association pour l’avancement des sciences“ (AFAS). Alle genannten Vereinigungen hielten einmal jährlich Wanderversammlungen ab, wo sich die Möglichkeit der Diskussion aber auch des Vortrags bot. Im nächsten Kapitel werden wir sehen, welche Rolle die mehrdimensionale Geometrie bei den Versammlungen Deutscher Naturforscher und Ärzte spielte. Die Diskussionen um die nichteuklidische Geometrie unter Einschluss der höherdimensionalen Räume im Rahmen der BAAS wurden ausführlich untersucht in Richards 1988.
- 90.
Sylvester 1869, 237. Als Beispiel zur Untermauerung seiner These schildert Sylvester, wie er seine Theorie der kanonischen binären Formen von ungeradem Grad gefunden hat: an einem Abend mit einer Karaffe Portwein, um die flackernden Energien der Natur aufrecht zu erhalten, in seinem Büro in Lincoln’s Inn Fields sitzend (vgl. Sylvester 1867, 237 n. *).
- 91.
Sylvester 1869, 238 n. +)
- 92.
Vielleicht meint Sylvester hier Geraden, deren Gleichungen komplexe Koeffizienten enthalten. Solche wurden in der Geometrie des 19. Jhs. nach Poncelet betrachtet.
- 93.
Solche treten z. B. in der hyperbolischen Geometrie auf.
- 94.
Die „Educational Times“ wie auch „Ladies Diary“, das später zu „Ladies and Gentlemen Diary“ wurde, veröffentlichten oft anspruchsvolle mathematische Probleme. Clifford’s Aufgabe lautete: A line of length a is broken up into n pieces at random; prove that [ …] (Question 1878).
- 95.
Die entsprechende Frage für Dreiecke ist später als „Problem des zerbrochenen Stabs“ in der Wahrscheinlichkeitsrechnung bekannt geworden und wird meist als ein Paradoxon angesehen. Sie wurde u.a. von Emile Michel Hyacinthe Lemoine (1840–1912) populär gemacht.
- 96.
Eine andere gebräuchliche Bezeichnung ist „Simplex“; Clifford erfand die Begiffe „confine“ and „prime confine“ hierfür.
- 97.
Vgl. Sylvester 1869, 238. Interessanter Weise erwähnt Sylvester schon die Möglichkeit einer gekrümmten Welt in diesem Zusammenhang. Wir werden auf dieses Thema in Kapitel 4 ausführlicher zu sprechen kommen; Flächenwesen aller Art werden in Abschnitt 6.2 besprochen.
- 98.
Rodwell 1873, 9. Die Vorstellbarkeit des vierdimensionalen Raumes wurde (und wird) immer wieder kontrovers diskutiert.
- 99.
Vgl. Segre 1912, 775–776. Weitere Beispiele findet man bei Scholz 1980, 230–242; vgl. auch Scholz 1980, 15–19 und 263–264. Natürlich ist bei einer solchen Einordnung der Ermessensspielraum nicht unerheblich.
- 100.
Vgl. 4.1.
- 101.
Zu Schläfli vgl. man Kellerhals 2010 und Abschnitt 4.1.
- 102.
Drobisch 1876, 269.
- 103.
Drobisch 1876, 271.
- 104.
Drobisch 1876, 272–273.
- 105.
Vgl. hierzu Volkert 2013.
- 106.
Plücker arbeitet natürlich in der traditionellen analytischen Geometrie, in der eine Gerade im Raum durch ihre Projektionen in zwei Koordinatenebenen festgelegt wird. Zudem verwendet er – ohne das deutlich zu sagen – in der Regel homogene Koordinaten . Deshalb werden die Projektionen der Geraden in die beiden Ebenen jeweils durch drei Koeffizienten festlegt. Zusammengenommen macht das sechs Koeffizienten und zwei lineare Gleichungen zwischen ihnen, also vier unabhängige Koeffizienten. Vereinfacht gesagt, hätte man ja eigentlich schon bei der Verwendung von vier homogenen Koordinaten zur Beschreibung des projektiven Raums auf die Idee kommen können, diesen vierdimensional zu nennen. Das hat anscheinend niemand getan.
- 107.
Klein 1872, 43. Im vorangehenden Abschnitt verteidigt Klein die Mathematik dahingehend, dass sie in abstracto mehrdimensionale Mannigfaltigkeiten betrachten dürfe. Dies sage aber nichts über den wirklichen Raum aus, dessen Dreidimensionalität außer Frage stehe.
- 108.
Clebsch 1872, 31
- 109.
Klein 1926, 171.
- 110.
Timerding 1922, 192–193.
- 111.
Übersetzungen ins Italienische, Französische und Englische.
- 112.
Wir würden heute sagen: zur algebraischen Topologie . Zu Poincaré vgl. Abschnitt 6.1.
- 113.
Poincaré 1892, 663.
- 114.
Poincaré 1895, 1.
- 115.
Fechner 1846, 17.
- 116.
So die später übliche gewordene treffende Bezeichnung. Vgl. 6.2.
- 117.
Fechner 1846, 24.
- 118.
Fechner 1846, 29.
- 119.
Vgl. hierzu Kap. 5.
- 120.
Vgl. Kapitel 1.
- 121.
Legendre 1817, 1. Für eine ausführliche Diskussion der historischen Entwicklung im Verhältnis Raum und Geometrie verweise ich auf de Risi 2015, insbesondere dort auf die Einleitung des Herausgebers.
- 122.
Alternativen waren der absolute Raum und der relationale – vgl. Kapitel 1. Für die Geometrie selbst hatte es anscheinend keine Konsequenzen, welchem Raumbegriff man anhing: Sie blieb dieselbe.
- 123.
Zitiert bei Becker 1975, 114.
- 124.
Ein Beispiel haben wir oben bei Sylvester angetroffen.
- 125.
Den Diskurs der Philosophie/Psychologie/Physiologie lassen wir hier beiseite.
- 126.
Houël 1863, 172.
- 127.
Allerdings gibt es daneben bei Pasch – der ja aus der Berliner Schule hervorgegangen ist - eine andere Ebene der Geometrie, die streng deduktiv-axiomatisch vorgeht. Die naturwissenschaftliche Geometrie ist hierfür das Präludium.
- 128.
Eine andere „Alternativgeometrie“ hätte im Prinzip die sphärische Geometrie sein können. Diese wurde aber lange Zeit nicht als eigenständige Geometrie gesehen (die gängige Bezeichnung war „Sphärik“ nicht etwa „sphärische Geometrie“), sondern als Teilgeometrie der Euklidischen Geometrie betrachtet. Insofern konnte man sie nicht der Euklidischen Geometrie als Alternative zur Seite stellen.
- 129.
Die Diskussion ist durchaus kontrovers, vgl. z. B. Breitengerger 1984 und Scholz 2004. Nikolaus Lobatschewsky (1792 – 1856), einer der Entdecker der hyperbolischen Geometrie, schlug übrigens auch Messungen (allerdings astronomische) vor, um die Frage, welche Geometrie in der Welt herrsche, zu klären.
- 130.
Man denke hier auch an den bekannten Satz von Legendre (1787), welcher es erlaubt, durch geeignete Korrekturen ein sphärisches Dreieck wie ein ebenes zu behandeln. Hier werden also – modern gesprochen – zwei Geometrien ins Verhältnis gesetzt. Ich danke Erhard Scholz (Wuppertal) für seine Erklärungen zu diesen Punkten.
- 131.
Vgl. etwa Enriques 1910 und Poincaré 1906, 72–104.
- 132.
In der ersten Hälfte des 19. Jhs. war bekanntlich Kants Einfluss nicht allzu groß; es dominierte in Deutschland der Idealismus und die Naturphilosophie.
- 133.
Kritik der reinen Vernunft, B 38/A 23. Begründung: Der Raum macht ja allererst äußere Erfahrung möglich.
- 134.
Kant nennt als Beispiel eines geometrischen Satzes, der apodiktisch sei: „z. b. der Raum hat nur drei Abmessungen“ (Kritik der reine Vernunft, B 41).
- 135.
In den 1920iger und 1930iger Jahren führten Hans Reichenbach (1891–1953) und Oskar Becker (1889–1964) eine interessante Diskussion zu diesem Problemkomplex. Während es für den Phänomenologen O. Becker eine nicht-hintergehbare also apriorische Geometrie der Lebenswelt gibt, die natürlich i. w. Euklidisch ist und an der wir alle anderen geometrischen Eindrucke messen, vertrat Hans Reichenbach ganz im Sinne des logischen Empirismus die These, durch Erfahrung könne die geometrischen Anschauung umtrainiert werden. Vgl. Volkert 1994.
- 136.
In diesem Sinne äußerte sich z. B. H. Grassmann .
- 137.
Vgl. Kapitel 1.
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Volkert, K. (2018). Inkongruente Gegenstücke, Reliefs und erste Schritte. In: In höheren Räumen. Mathematik im Kontext. Springer Spektrum, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-662-54795-3_1
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