Untergruppen

Zusammenfassung

Der erste etwas tieferliegende Struktursatz der Theorie endlicher Gruppen ist der Satz von Lagrange. Er besagt, dass eine endliche Gruppe mit n Elementen höchstens Untergruppen U haben kann, deren Ordnungen Teiler von n sind. Der Weg zum Beweis dieses Satzes von Lagrange führt über sogenannte Nebenklassen $a\,U$. Mit Nebenklassen ist man eigentlich aus der linearen Algebra vertraut: Die Lösungsmengen von linearen Gleichungssystemen sind nämlich ebenfalls Nebenklassen a + U. Ebenfalls aus der linearen Algebra bekannt ist der Begriff eines Erzeugendensystems. Auch in der Gruppentheorie wird darunter eine Teilmenge einer Gruppe verstanden, mittels derer jedes Gruppenelement darstellbar ist.