Die Galoiskorrespondenz

Zusammenfassung

Die genaue Kenntnis der Zwischenkörper einer gegebenen Körpererweiterung L ∕ K ist von entscheidender Bedeutung. Sind L und K endliche Körper, so haben wir dieses Problem in Kapitel 26 erledigt. Im vorliegenden Kapitel untersuchen wir den Fall einer sogenannten Galoiserweiterung. Wir werden zeigen, dass im Falle einer endlichen Galoiserweiterung L ∕ K, d. h., die Körpererweiterung L ∕ K ist endlich, normal und separabel, der Zwischenkörperverband von L ∕ K vollständig angegeben werden kann. Dabei wird das Problem des Auffindens aller Zwischenkörper reduziert auf das zum Teil erheblich leichtere Aufsuchen aller Untergruppen der sogenannten Galoisgruppe $\Gamma(L/K)$ der Erweiterung L ∕ K. Dieses Zusammenspiel von Körpertheorie und Gruppentheorie ist das Charakteristische der Galoistheorie. Die Theorie hat Anwendungen für die Auflösung algebraischer Gleichungen und liefert Antworten auf Konstruierbarkeitsfragen. Auch die algebraische Abgeschlossenheit von ${\mathbb{C}}$ kann mit ihrer Hilfe begründet werden. Ausführliche Beispiele bringen wir im nächsten Kapitel.