Zusammenfassung
Vor einem näheren Blick auf eine zeitgemäße Konzeption des Lernens und Übens sowie auf entsprechende didaktische Prinzipien sollen vorbereitend einige der damit verbundenen Ideen an Unterrichtsbeispielen konkretisiert werden. Dies geschieht exemplarisch an einem zentralen Inhalt des 1. Schuljahres (Erarbeitung des Einspluseins), um zu verdeutlichen, dass die aufgeführte didaktische Konzeption durchgängig zu realisieren ist. Der nachfolgende Vorschlag versteht sich natürlich nur als eine Möglichkeit der Behandlung. Primär geht es um die dahinterstehenden Ideen, die dann im Weiteren ausgeführt werden.
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Notes
- 1.
Vgl. die aktuelle Diskussion über Kompetenzraster und die Phase der Lernzieloperationalisierung in den 1970er‐Jahren (Wittmann 2014a; Möller 1974). Auf der anderen Seite gilt: Theoretisch‐konzeptionelle Schriften von Kühnel 1925 über z. B. Oehl in den 1960er‐Jahren, Piaget, Aebli, Freudenthal – um nur einige ›Urväter‹ der Mathematikdidaktik zu nennen – sind trotz ihres ›alten‹ Datums nach wie vor fundamental und aktuell, d. h. der Lektüre sehr zu empfehlen.
- 2.
Ein denkbarer Einwand wäre nun, dass auch bei der unten folgenden ›Schneckenaufgabe‹ Musterlösungen angeben werden. Diese erfüllen allerdings einen anderen Zweck: Zum einen wird ausdrücklich angeregt, erst nach der hoffentlich erfolgten eigenen Durcharbeitung die vorgeschlagenen Lösungswege zu betrachten; und dann findet sich eben auch nicht nur eine Lösung. Vielmehr ist die Vielfalt an Strategien zu betonen; und zum anderen, dass die Lösungswege in der vorgestellten Form nicht als immer und für jede Sachaufgabe passendes Schema verstanden werden können.
- 3.
Dabei spiegeln sich Bruners Repräsentationsstufen (enaktiv, ikonisch, symbolisch) wider, ohne dass damit eine Hierarchie in Form einer linear zu durchlaufenden Stufenfolge gemeint ist.
- 4.
Es handelt sich um ein Beispiel aus einem Workshop von Ahmed (1999).
- 5.
Bei den Beschreibungen bzw. Regeln von Spielen kann man hin und wieder feststellen, dass solche Texte nicht ganz eindeutig sind und daher auch bei Kindern zu Missverständnissen führen können. Ggf. muss ein Spiel vorgemacht oder beim gemeinsamen ›Probespielen‹ erklärt werden.
- 6.
In Zeiten digitaler Medien finden sich solche auch zuhauf im Überangebot fragwürdiger Lernprogramme oder Tablet‐Apps (vgl. Krauthausen 2012, S. 19 ff., 55 ff.).
- 7.
Als eine solche muss man es wohl sehen, da es nicht nur zahlreiche didaktische Gegenargumente gibt, sondern auch ein breites Angebot an Alternativen, die – ohne Abstriche am Grad der Motivation – eine durchaus höhere mathematische Relevanz und Substanz aufweisen.
- 8.
Im Folgenden wird das Material beschrieben, wie es als Schauen und Bauen im Klett Grundschulverlag erhältlich ist (vgl. Müller et al. 1997).
- 9.
Lehrveranstaltungen (insbesondere Seminare/Übungen) sollten hierfür gezielt Gelegenheiten anbieten und auch Studierende zu einer Haltung wie von Schoenfeld beschrieben anhalten und diese selbstständig, bewusst, weitreichend und konsequent realisieren.
- 10.
In der mathematikdidaktischen Literatur sind derartige Vorschläge gerade in den vergangenen Jahren zunehmend ausgearbeitet, in der Praxis aber vielleicht noch nicht hinreichend genug gewürdigt und ausgeschöpft worden.
- 11.
Sundermann (1999) nennt sie ›Rechentagebücher‹, da sie diese Form im Mathematikunterricht erprobt hat. Bei Ruf und Gallin handelt es sich dagegen um ein Schulbuch, in dem Sprache und Mathematik integriert sind, sodass der Begriff des Reisetagebuchs die allgemeinere Idee widerspiegelt.
- 12.
Diese wurden in Analogie zu den aus dem Sprachunterricht bekannten Schreibkonferenzen entwickelt (vgl. Spitta 1999).
- 13.
Nachdenklich machen kann der Vergleich solcher Erfahrungen mit der manchmal anzutreffenden Unsicherheit von Lehramtsstudierenden bei Moderationen/Referaten in Seminaren. Welche Gründe es auch sein mögen, die sich hier negativ auswirken (Scheu, mangelndes Selbstvertrauen, Unsicherheit in der Sache, zu vordergründige Vorbereitung o. Ä.), sie dokumentieren Lernbedarf und die Notwendigkeit geeigneter Erfahrungssituationen.
- 14.
Im Unterschied zu eher allgemeineren, gleichsam inhaltsunabhängigen Empfehlungen rücken hier fachspezifische Spezifika in den Vordergrund. Zum Vergleich mit einem eher allgemein‐organisatorischen Modell (›Nummerierte Köpfe‹) vgl. Krauthausen und Scherer 2014, S. 92 ff.
- 15.
Obwohl sich sehr zahlreiche weitere Beispiele anbieten würden, soll es bei dem hier gewählten bleiben, weil es (als solches oder in verwandter Form) in der Literatur ausgiebig bearbeitet wurde, sowohl bzgl. der theoretischen Hintergründe, der didaktischen Vorschläge als auch der unterrichtspraktischen Erprobung, sodass interessierte Leserinnen und Leser sich dort näher informieren können. Vgl. dazu etwa Krauthausen 1998c, S. 125–128; Price et al. 1991; Scherer 1996c, 1997a; Scherer und Selter 1996; Selter und Scherer 1996; Steinbring 1995; Walther 1978, 1985 oder Erfahrungsberichte wie Verboom 1998a, 1998b. Im 5. Kapitel bei Krauthausen und Scherer 2014 findet sich eine Aufklärung des fachlichen Hintergrundes, die ausführliche Planung einer ganzen Unterrichtsreihe mit verschiedenen Fragestellungen rund um das Aufgabenformat sowie die entsprechenden Verlaufspläne und Kopiervorlagen der Arbeitsblätter.
Außerdem sollen hier die Zahlenketten mit Absicht durchgängig in verschiedenen Zusammenhängen dieses Buches angesprochen werden (vgl. Abschn. 3.1.2, 4.2, 4.3, 4.5), um über das Spektrum der Einsatzmöglichkeiten und Zielsetzungen in exemplarischer Weise zu verdeutlichen, welche vielfältigen Bezüge bzw. Postulate bereits eine wohlüberlegte Lernumgebung potenziell in sich vereinigt bzw. einzulösen vermag (vgl. auch Abschn. 3.1.2). Das Aufgabenformat lässt sich durch Variation der Kettenlänge, des Zahlenraums und der Auswahl der Fragestellungen problemlos für den Einsatz vom 1. bis 4. Schuljahr (und weit darüber hinaus, bis hinein in die Lehrerbildung) anpassen.
- 16.
Die Wirksamkeit eines wechselseitigen Mit‐ und Voneinander‐Lernens dokumentiert sich besonders in Empfehlungen und Praxisberichten zu einem gelingenden jahrgangsübergreifenden Unterricht (Nührenbörger 2006, 2009, 2013; Nührenbörger und Verboom 2011).
- 17.
Käpnick (2014) hält die Konstruktion wie die Nutzung mathematikdidaktischer Prinzipien allerdings für »generell problematisch« (Käpnick 2014, S. 60). Darauf soll am Ende dieses Kapitels noch näher eingegangen werden.
- 18.
Diese weithin bekannte Floskel sollte der Vollständigkeit halber stets ergänzt werden: »… und sie dorthin zu begleiten, wo sie noch nie waren« (vgl. Otto 1998, S. 5). Dies nicht zuletzt, um einer Begrenzung der Lernprozesse durch Verabsolutierung der Schülerinteressen vorzubeugen.
- 19.
Vgl. das Themenheft ›Zum genetischen Unterricht‹ der Zeitschrift ›mathematik lehren‹, Heft 83/August 1997 sowie Wittmann 1981, S. 130 ff.
- 20.
Bruner nennt seine Hypothese (1970, S. 44), dass jedem Kind auf jeder Entwicklungsstufe jeder Lerngegenstand in einer intellektuell ehrlichen Form erfolgreich gelehrt werden könne, zwar eine kühne Hypothese, sieht sie aber durch kein Indiz widerlegt, jedoch durch viele gestützt.
- 21.
»Im traditionellen Rechenunterricht wurde das Gleichheitszeichen durchgehend im Sinne von ›ergibt‹ aufgefasst. Diese funktionale Sicht ist durchaus natürlich und sollte nicht pauschal verworfen werden. Allerdings verhindert eine reine Aufgabe‐Ergebnis‐Deutung die algebraische Durchdringung des Rechnens, die auf jeden Fall erstrebenswert erscheint. Es sollte daher in der Primarstufe behutsam auch schon die Gleichheitsdeutung aufgebaut werden« (Winter 1982, S. 185).
- 22.
Vgl. auch das Stabilitätsprinzip bei Wittmann (1981, S. 79).
- 23.
Wenn dieses Prinzip dort auch am Beispiel des Übergangs vom halbschriftlichen zum schriftlichen Rechnen illustriert wird, so darf das nicht darüber hinwegtäuschen, dass sein Anwendungsbereich ein sehr viel allgemeinerer ist.
- 24.
So hat bspw. Selter (1994, S. 125 ff.) dokumentiert, dass und wie Kinder die sogenannte Bonbonaufgabe (»In einer Tüte sind 24 Bonbons. Drei Kinder teilen sich diese Bonbons.«) kontextbezogen lösen können, obwohl die gleiche Anforderung auf dem formalen Niveau von Zahlensätzen noch nicht in ihrer Reichweite lag. Vgl. auch Abschn. 4.1 sowie Hengartner 1999a.
- 25.
Gerade im Fall der schriftlichen Rechenverfahren wird es ohne die Lehrperson kaum zu den vorgeschriebenen Endformen kommen, da es sich hierbei um Konventionen handelt, die man als solche nicht entdecken kann oder die naturgemäß entstehen müssten. Sie müssen ggf. mitgeteilt werden – als eine weitere Möglichkeit neben jenen, die von den Kindern entwickelt wurden. Die Notwendigkeit zur Konventionalisierung ist eine Sache, die man ebenfalls mit den Kindern thematisieren kann (Stichwort: ein authentisches Bild des Faches gewinnen), sodass nicht das Gefühl aufkommen muss, die eigenen Wege wären nur ein didaktisches Vorspiel, bevor die Lehrerin dann preisgäbe, wie es ›richtig‹ geht (vgl. Abschn. 5.4; auch Scherer und Steinbring 2004b).
- 26.
Auch manches ›Tätigsein‹ im Rahmen sogenannter Rechenspiele müsste kritischer daraufhin untersucht werden, ob es zu Recht die Zuschreibung einer Aktivität i. S. enaktiven Tuns erfüllt (vgl. Abschn. 3.1.3).
- 27.
Sie verkörpern damit einen der o. g. Aspekte der Piaget’schen Theorie: »Das erkennende Subjekt wirkt durch seine Handlungen auf Gegenstände ein und beobachtet die Wirkungen seiner Handlungen […]. Bekannte Wirkungen werden antizipierend zur Erreichung bestimmter Ziele eingesetzt […]. Wissen ist keine vorgefertigte Sache, sondern wird vom erkennenden Subjekt in Wechselwirkung mit der Realität konstruiert« (Wittmann 1985, S. 7).
- 28.
- 29.
Solche Lege‐ und Schiebeübungen sind kein Selbstzweck oder gar Spielerei! Ihr Wert liegt nicht nur im Verständnis des Stellenwertsystems und des Aufbaus unserer Zahlen; er zeigt sich auch später wieder in anderen Zusammenhängen (auch bereits der Grundschulmathematik), die nur dann gehaltvoll durchgearbeitet werden können, wenn auf solide Vorerfahrungen etwa aus der o. g. Aufgabenstellung zurückgegriffen werden kann: Begründungen zur (Nicht‑)Lösbarkeit von Aufgaben im Rahmen von Übungen zu schriftlichen Rechenverfahren etwa greifen darauf zurück (vgl. die Übungsform Möglichst nahe an in Wittmann und Müller 1992, S. 119 f. bzw. auch in Abschn. 1.3.1) oder die Neunerprobe, bei der Teilungsreste eine Rolle spielen, zur Durchdringung und Begründung von Teilbarkeitsregeln, insbesondere Quersummenregeln (vgl. Padberg und Büchter 2015; Winter 1983, 1985b).
- 30.
Die Kommentierungen verstehen sich ausdrücklich nicht als letzte Antworten, sondern als Diskussionsbeitrag und Rampe für weitere argumentative Diskurse.
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Krauthausen, G. (2018). Grundideen des Mathematiklernens. In: Einführung in die Mathematikdidaktik – Grundschule. Mathematik Primarstufe und Sekundarstufe I + II. Springer Spektrum, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-662-54692-5_3
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