Energie- und Impulstransport in Wellen

Zusammenfassung

In diesem Kapitel werden wir uns mit der energetischen Seite der Wellenausbreitung befassen. Dabei werden wir zu einer vertieften Anschauung des Ausbreitungsvorgangs gelangen und noch einige Größen und Begriffe einführen, die für die Physik der Wellen wichtig sind. Auch werden wir einen Einblick in die Begriffswelt der technischen Akustik und der Photometrie gewinnen und uns kurz mit den physikalischen Grundlagen des Gehörs und des Sehvermögens befassen.

In Kap. 2 wurde darauf hingewiesen, dass elektromagnetische Wellen von beschleunigten Ladungen abgestrahlt werden. Wir berechnen nun die Strahlungsleistung eines schwingenden Dipols und geben eine allgemeine Formel für die Strahlung beschleunigter Ladungen an. Im Anschluss daran wird das interessante Phänomen der Synchrotronstrahlung diskutiert.

Wellen transportieren nicht nur Energie, sondern auch Impuls. Das führt im letzten Abschnitt zum Phänomen des Strahlungsdrucks und schließlich sogar zu der wohl berühmtesten physikalischen Formel, Einsteins $E=mc^{2}$.

Übungsaufgaben

3.1 Schallstärke und Schallwechseldruck.

Wie groß ist ist die Druckamplitude $\tilde{p}$ einer Schallwelle in Luft unter Normalbedingungen bei einem Schallpegel $L_{p}=50$ dB?

3.2 Reflexionsfreie Aufspaltung eines Signals.

Ein hochfrequentes Signal, das von einem Koaxialkabel mit der Impedanz Z transportiert wird, soll in zwei Signale mit gleichen Amplituden aufgespalten werden. Zu diesem Zweck werden an das Kabelende zwei andere gleichartige Kabel in der folgenden Weise angeschlossen: Die Kabelmäntel werden direkt miteinander verbunden. Die drei Innenleiter werden unter Zwischenschaltung dreier gleicher Ohmscher Widerstände R miteinander verbunden (Sternschaltung). Wie groß muss R sein, damit an der Verbindungsstelle keine Signalreflexionen auftreten? Wie groß sind die Ausgangssignale, die an den beiden Ausgängen abgegriffen werden im Vergleich zum ursprünglich eingespeisten Signal? Wie viel % der Leistung des Generators gehen in dem Widerstandsnetzwerk verloren?

3.3 Wellenwiderstand eines Koaxialkabels und einer Streifenleitung.

a) Geben Sie den Wellenwiderstand (3.26) eines Koaxialkabels als Funktion des Innenradius r _i und des Außenradius r _a an. Die Dielektrizitätskonstante des Materials im Zwischenraum sei $\epsilon=2{,}2$. Wie groß muss r _i sein, wenn $r_{a}=0{,}15$ cm gewählt wird und der Wellenwiderstand $Z=50\,\Upomega$ sein soll? Wie groß sind die Kapazität und die Induktivität pro m Kabellänge?

b) Die Gleichungen (2.87) setzen voraus, dass der Strom in den Leitern in einer dünnen Schicht nahe der Oberfläche fließt. Ab welcher Frequenz beträgt die Eindringtiefe in einen Kupferleiter weniger als 10 % des inneren Leiterradius r _i ?

c) Eine Streifenleitung bestehe aus zwei langen parallelen Metallbändern im Abstand d mit der Breite b. Wie groß muss das Verhältnis d ∕ b sein, wenn der Wellenwiderstand $50\,\Upomega$ sein soll (ϵ = 1)?

3.4 Feldstärken in einem Laserstrahl.

a) Wie groß sind die Amplituden der elektrischen und der magnetische Feldstärke in einem kontinuierlichen Laserstrahl mit der Leistung P = 1 mW und dem Radius $\sigma_{r}=1$ mm? Rechnen Sie zunächst mit einem konstanten und dann, realistischer, mit einem Gaußschen Strahlprofil für die Intensität: $I(r)=I_{0}\cdot\exp(-r^{2}/\sigma_{r}^{2})$.

b) Wie groß sind die Amplituden der elektrischen und der magnetischen Feldstärke in einem gepulsten Strahl gleichen Durchmessers mit der Energie 1 mJ pro Puls und einer Pulsdauer t = 10 ns?

3.5 Kometenschweif.

a) Kometen besitzen schmale Typ I- und diffuse Typ II-Schweife, wobei letztere aus Staubteilchen bestehen. Ein kleines Teilchen im Staubschweif eines Kometen unterliegt dem von der Sonne ausgehenden Strahlungsdruck und der Schwerkraft der Sonne. Wie groß ist deren Verhältnis für ein Teilchen mit dem Radius $r=1\,\upmu\mathrm{m}$ und der Dichte $\rho=2\,\mathrm{g\,cm^{-3}}$? Die Leuchtkraft der Sonne ist $P=3{,}8\cdot 10^{26}$ W. Das Produkt aus der Sonnenmasse und der Gravitationskonstanten erhält man aus dem Keplerschen Gesetz für die Erdbahn, der mittlere Abstand der Sonne von der Erde ist $R_{\text{Erde}}=1{,}5\cdot 10^{8}$ km.

b) Den Einfluss der Schwerkraft des Kometenkerns auf ein Staubteilchen braucht man schon in unmittelbarer Nähe zum Kern nicht zu berücksichtigen. Der Komet lege am sonnennächsten Punkt seiner Bahn eine Strecke s zurück, deren Verhältnis zu seinem Abstand R von der Sonne $s/R=0{,}1$ beträgt. Um welchen Abstand $\Updelta R$ im Verhältnis zur Laufstrecke s wird sich das Staubteilchen im gleichen Zeitraum von der Bahn des Kometenkerns entfernen? Hinweis: Bei kleinen $\Updelta R$ ist für die Radialbewegung des Staubteilchens relativ zur Bahn des Kometenkerns nur der Strahlungsdruck verantwortlich. Warum? Aus welchen Gründen ist der Staubschweif diffus und gebogen?

3.6 Magnetischer und elektrischer Dipol.

a) Aus der Elektrizitätslehre ist bekannt, dass ein von einem Strom I durchflossener kreisförmiger Drahtring mit dem Radius r ein magnetisches Dipolmoment $\pi r^{2}I$ besitzt. Ist der Strom ein Wechselstrom, emittiert der Drahtring elektromagnetische Wellen wie ein elektrischer Dipol; nur sind in der Fernzone die elektrische und die magnetische Feldstärke miteinander vertauscht. Schließen Sie aus (3.34) auf die Gleichung für die Leistung des magnetischen Dipols, indem Sie die elektrischen durch entsprechende magnetische Größen ersetzen und eine Dimensionsanalyse durchführen. Zahlenbeispiel: r = 5 cm, Frequenz $\nu=5{,}5$ MHz, Stromamplitude $I_{0}=10$ mA. Wie hängt die Leistung von ν ab?

b) Zum Vergleich betrachten wir einen elektrischen Dipol, bei dem ein gleich großer Strom während der Zeit 1 ∕ ν über eine Strecke 2r hin- und herfließt, genauer gesagt, wir wählen als Amplitude des elektrischen Dipolmoments $p_{\mathrm{e}}=2rI_{0}/\nu$. Wie groß ist die abgestrahlte Leistung? Wie ändert sich die Leistung des elektrischen Dipols mit der Frequenz, wenn man die Länge r und die Stromstärke I ₀ konstant hält?

c) Ein Mobiltelefon besitze bei einer Frequenz $\nu=1{,}8$ GHz eine Sendeleistung von 1 W. Wie groß ist p _e ? Man vergleiche mit dem extrapolierten Dipolmoment von Teil b) für das Zahlenbeispiel von Teil a).

3.7 Abstrahlung eines geladenen Teilchens.

a) Ein Elektron befinde sich in einem elektrischen Wechselfeld mit der Amplitude E ₀. Es führt darin periodische Schwingungen aus, die wir zunächst als ungedämpft annehmen. Wie groß ist die die Schwingungsamplitude und welche Amplituden des elektrischen Dipolmoments und des Elektronen-Impulses ergeben sich daraus? Das beschleunigte Elektron stahlt elektromagnetische Wellen ab. Verifizieren Sie, dass (3.34) und (3.35) äquivalent sind.

b) Die Abstrahlung führt zu einer Dämpfung der Elektronenschwingung. Die obige Rechnung setzt voraus, dass die Energieabstrahlung pro Schwingungsperiode klein im Vergleich zur durchschnittlichen kinetischen Energie des Elektrons ist. Was folgt aus dieser Bedingung für die Frequenz der Schwingung?

3.8 Poynting-Vektor.

Eine Gleichspannungsquelle ist über ein Koaxialkabel mit einem Ohmschen Verbraucher verbunden. Wie groß sind die elektrische Feldstärke, die magnetische Feldstärke und der Poynting-Vektor, wenn die Spannung U, der Strom I und der Innen- und der Außenradius bekannt sind? Man zeige: Die vom Poynting-Vektor transportierte Leistung ist P = IU.

3.9 Energiefluss im Kondensator.

Ein Plattenkondensator mit einem Dielektrikum besitze kreisförmige Platten, deren Abstand d viel kleiner als der Kondensatorradius ist. Während einer Aufladung entsteht ein zeitabhängiges elektrisches Feld E(t). Die Aufladung erfolge so langsam, dass E(t) im Kondensatorinneren mit Ausnahme des Randbereichs überall gleich groß ist.

a) Zwischen den Kondensatorplatten entsteht wegen (2.44) ein magnetisches Ringfeld H. Wie groß ist $H(r,t)$ als Funktion des Abstands r zur Symmetrieachse?

b) Wie groß ist der Poynting-Vektor und wie ist er bei der Kondensatoraufladung gerichtet?

c) Wie groß ist der Energiefluss durch eine konzentrisch zur Symmetrieachse liegende Zylinderfläche mit dem Radius r innerhalb des Kondensators? Rechnen Sie nach: Dieser Energiefluss ist gleich der zeitlichen Änderung der elektrischen Feldenergie innerhalb des Zylindervolumens.

d) Beschreiben Sie, wie elektrische Energie von einer Batterie in einen Kondensator transportiert wird.