Produkte in Vektorräumen

Zusammenfassung

In jedem Vektorraum sind eine Addition und eine skalare Multiplikation definiert. Bislang haben wir uns nicht mit der Frage beschäftigt, ob es sinnvoll sein kann, auch eine Art Multiplikation zweier Vektoren zu definieren. Wir können eine Bilinearform ß : V × V → 𝕂 als ein Produkt zweier Vektoren aus V auffassen, allerdings ist das Ergebnis für V ≠ 𝕂 kein Element aus V, also kein Vektor, sondern ein Skalar. Ist 𝕂 = ℝ bzw. 𝕂 = ℂ und ß eine positiv definite symmetrische Bilinearform bzw. eine positiv definite hermitesche Sesquilinearform, so wird ß als Skalarprodukt auf V bezeichnet. Mithilfe von Skalarprodukten können wir auf sehr einfache Weise Koordinatenvektoren endlich-dimensionaler Vektorräume bezüglich bestimmter Basen, den Orthogonalbasen, ermitteln. Im Fall der Vektorräume ℝ² und ℝ³ ergibt sich durch das kanonische Skalarprodukt eine Möglichkeit, Abstände und Winkel zu berechnen.