Zusammenfassung
In vielen Untersuchungen werden nicht negative, kontinuierliche Grössen, wie Wartezeiten vor Flugschaltern, Lebensdauern von Geräten, Zerfallszeiten von radioaktiven Elementen oder Schadensummen bei Unwettern, betrachtet. Ausserdem werden auch positive diskrete Grössen studiert, wie die Anzahl Unfälle während eines Jahres, wie die monatlichen Schadensfälle bei einer Versicherung, oder die Anzahl Zerfälle von α-Teilchen während einer Stunde oder die Anzahl Löcher in produzierten porösen Membranen. Wie Parameter von solchen Grössen berechnet werden können, wird in diesem Kapitel gezeigt. Die Resultate hängen dabei vom Datenmodell ab, das besagt, wie Messwerte der Grössen streuen. Es ist daher sinnvoll, das Datenmodell zu beurteilen. Wie dies gemacht werden kann, wird in diesem Kapitel ebenfalls diskutiert.
Zusammenfassung
In vielen Untersuchungen werden nicht negative, kontinuierliche Grössen, wie Wartezeiten vor Flugschaltern, Lebensdauern von Geräten, Zerfallszeiten von radioaktiven Elementen oder Schadensummen bei Unwettern, betrachtet. Ausserdem werden auch positive diskrete Grössen studiert, wie die Anzahl Unfälle während eines Jahres, wie die monatlichen Schadensfälle bei einer Versicherung, oder die Anzahl Zerfälle von α-Teilchen während einer Stunde oder die Anzahl Löcher in produzierten porösen Membranen. Wie Parameter von solchen Grössen berechnet werden können, wird in diesem Kapitel gezeigt. Die Resultate hängen dabei vom Datenmodell ab, das besagt, wie Messwerte der Grössen streuen. Es ist daher sinnvoll, das Datenmodell zu beurteilen. Wie dies gemacht werden kann, wird in diesem Kapitel ebenfalls diskutiert.
Diesmal war kein Schildchen daran mit der Anschrift ‚Trink mich‘, aber sie entkorkte es trotzdem und führte es an die Lippen. „Irgend etwas Interessantes passiert ja immer“, sagte sie sich, „sobald ich etwas esse oder trinke; ich will doch einmal sehen, wie diese Flasche hier wirkt. Hoffentlich lässt sie mich wieder grösser werden, denn langsam bin ich es wirklich leid, so winzig klein herumzulaufen!“Lewis Carroll, Alice im Wunderland (Insel Taschenbuch, 1973, S. 37.)
Diesmal war kein Schildchen daran mit der Anschrift ‚Trink mich‘, aber sie entkorkte es trotzdem und führte es an die Lippen. „Irgend etwas Interessantes passiert ja immer“, sagte sie sich, „sobald ich etwas esse oder trinke; ich will doch einmal sehen, wie diese Flasche hier wirkt. Hoffentlich lässt sie mich wieder grösser werden, denn langsam bin ich es wirklich leid, so winzig klein herumzulaufen!“
Lewis Carroll, Alice im Wunderland (Insel Taschenbuch, 1973, S. 37.)
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Notes
- 1.
Für einen Beweis, siehe [3]
- 2.
Dies darf hier durchaus kritisch hinterfragt werden.
- 3.
Am einfachsten ist es, μ durch μ = 1 ∕ λ zu substituieren. Das Integral lässt sich anschliessend mit einem Taschenrechner oder von Hand mit partieller Integration bestimmen.
- 4.
Was der Standardfehler ist, wird in Kap. 14 erklärt.
- 5.
Die Wahrscheinlichkeit m i , dass im gesamten Zeitintervall i Ereignisse stattfinden, ist proportional zur Anzahl Möglichkeiten, i Einer und M − i Nullen in die M Boxen zu legen. Diese Anzahl rechnet man mit einem Binomialkoeffizienten. Es gilt
$$m_{i}\;\propto\;\binom{M}{i}=\frac{M!}{i!\cdot(M-i)!}\approx\frac{M^{i}}{i!}$$Der approximative Ausdruck rechts ist nur für grosse M gültig und wird hier verwendet. Die Summe aller m i muss 1 sein. Man erhält \(m_{i}\approx M^{i}/i!\cdot\exp(-M)\).
- 6.
Für einen Beweis siehe [3]
- 7.
\(k!\) ist das Produkt der ersten k natürlichen Zahlen: \(1!=1\), \(2!=1\cdot 2\), \(3!=1\cdot 2\cdot 3\). Für \(0!\) setzt man \(0!=1\).
- 8.
Man nennt die Konstanten a und b, die im Prior sind, Hyperparameter.
Literatur
H. Bühlmann, A. Gisler, A Course in Credibility Theory and its Applications (Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York, 2005)
F. Proschan, Theoretical explanation of observed decreasing failure rate. Technometrics 5, 373–383 (1963)
D.S. Sivia, J. Skilling, Data Analysis, a Bayesian Tutorial (Oxford University Press, 2006)
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Bättig, D. (2017). Zwei Modelle zu positiven Grössen. In: Angewandte Datenanalyse. Statistik und ihre Anwendungen. Springer Spektrum, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-662-54220-0_9
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DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-662-54220-0_9
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Publisher Name: Springer Spektrum, Berlin, Heidelberg
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Online ISBN: 978-3-662-54220-0
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