Reihenentwicklungen

Aufgaben

8.1

Nähern Sie die folgenden Ausdrücke durch das Taylor-Polynom $T_{f,n,x_{0}}\in\mathbb{R}[x]$ der Ordnung n für den jeweils angegebenen Entwicklungspunkt x ₀:

• a) $f(x)=\sin^{2}x=(\sin x)^{2}$ für $x_{0}=0$ und n = 6

• b) $f(x)=3x^{4}+5x^{3}+x^{2}-4x+9$ für $x_{0}=1$ und n = 5

• c) $f(x)=\displaystyle\frac{\exp(2x+1)}{2x+1}$ für $x_{0}=0$ und n = 2

• d) $f(x)=\tan x$ für $x_{0}=0$ und n = 4

• e) $f(x)={\mathrm{e}}^{x}$ für $x_{0}=0$ und n = 3

• f) $f(x)={\mathrm{e}}^{x}$ für $x_{0}=1$ und n = 3

8.2

Es sei $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ eine beliebig oft differenzierbare Funktion mit $f^{\prime}(x)=f(-x)$ für alle $x\in\mathbb{R}$ und $f(0)=1$.

• a) Berechnen Sie das Taylor-Polynom von f der Ordnung 4 um $x_{0}=0$.

• b) Es kann sehr leicht gezeigt werden, dass die Taylor-Reihe von f um $x_{0}=0$ für alle $x\in\mathbb{R}$ absolut konvergiert. Wie lautet deren Grenzwert? Hinweis: Aufgrund der absoluten Konvergenz dürfen die Summanden umgeordnet werden.

8.3

Es sei $I\subset\mathbb{R}$ ein Intervall und $f:I\rightarrow\mathbb{R}$ eine differenzierbare Funktion mit $f^{\prime}(x)> 0$ (bzw. $f^{\prime}(x)<0$) für alle $x\in I$. Zeigen sie, dass f streng monoton wachsend (bzw. streng monoton fallend) ist. Hinweis: Zeigen Sie dies durch Widerspruch unter Verwendung des Mittelwertsatzes der Differenzialrechnung.

8.4

Bestimmen Sie die Fourier-Reihe der Sägezahnschwingung

$$s(x)=x-2k\pi,\quad x\in[(2k-1)\pi,(2k+1)\pi)$$

für $k\in\mathbb{Z}$.

8.5

Bestimmen Sie die Fourier-Reihe für die $2\pi$-periodischen Funktionen

$$f(x)=2\sin(x)\cos(x)$$

und

$$g(x)=\cos^{2}(x)-\sin^{2}(x).$$

Was fällt auf (Additionstheoreme)?