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Aufgaben
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8.1
Nähern Sie die folgenden Ausdrücke durch das Taylor-Polynom \(T_{f,n,x_{0}}\in\mathbb{R}[x]\) der Ordnung n für den jeweils angegebenen Entwicklungspunkt x 0:
-
a)
\(f(x)=\sin^{2}x=(\sin x)^{2}\) für \(x_{0}=0\) und n = 6
-
b)
\(f(x)=3x^{4}+5x^{3}+x^{2}-4x+9\) für \(x_{0}=1\) und n = 5
-
c)
\(f(x)=\displaystyle\frac{\exp(2x+1)}{2x+1}\) für \(x_{0}=0\) und n = 2
-
d)
\(f(x)=\tan x\) für \(x_{0}=0\) und n = 4
-
e)
\(f(x)={\mathrm{e}}^{x}\) für \(x_{0}=0\) und n = 3
-
f)
\(f(x)={\mathrm{e}}^{x}\) für \(x_{0}=1\) und n = 3
8.2
Es sei \(f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\) eine beliebig oft differenzierbare Funktion mit \(f^{\prime}(x)=f(-x)\) für alle \(x\in\mathbb{R}\) und \(f(0)=1\).
-
a)
Berechnen Sie das Taylor-Polynom von f der Ordnung 4 um \(x_{0}=0\).
-
b)
Es kann sehr leicht gezeigt werden, dass die Taylor-Reihe von f um \(x_{0}=0\) für alle \(x\in\mathbb{R}\) absolut konvergiert. Wie lautet deren Grenzwert? Hinweis: Aufgrund der absoluten Konvergenz dürfen die Summanden umgeordnet werden.
8.3
Es sei \(I\subset\mathbb{R}\) ein Intervall und \(f:I\rightarrow\mathbb{R}\) eine differenzierbare Funktion mit \(f^{\prime}(x)> 0\) (bzw. \(f^{\prime}(x)<0\)) für alle \(x\in I\). Zeigen sie, dass f streng monoton wachsend (bzw. streng monoton fallend) ist. Hinweis: Zeigen Sie dies durch Widerspruch unter Verwendung des Mittelwertsatzes der Differenzialrechnung.
8.4
Bestimmen Sie die Fourier-Reihe der Sägezahnschwingung
für \(k\in\mathbb{Z}\).
8.5
Bestimmen Sie die Fourier-Reihe für die \(2\pi\)-periodischen Funktionen
und
Was fällt auf (Additionstheoreme)?
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Göllmann, L. et al. (2017). Reihenentwicklungen. In: Mathematik für Ingenieure: Verstehen – Rechnen – Anwenden. Springer Vieweg, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-662-53867-8_8
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Publisher Name: Springer Vieweg, Berlin, Heidelberg
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