Integralrechnung einer Variablen

Aufgaben

7.1

Berechnen Sie die folgenden Integrale:

• a) $\int\limits_{a}^{b}\sin(2\pi t)\,{\mathrm{d}}t$ für a = 0, b = 1 und für a = 0.5, b = 1.5. Was fällt auf?

• b) $\int_{0}^{1}(x^{4}-(x-1)^{2}+x(x^{2}-1)+2)\,{\mathrm{d}}x$

• c) $\int x(x-1){\mathrm{e}}^{x}\,{\mathrm{d}}x$

• d) $\int_{0}^{\sqrt{{\mathrm{e}}-1}}\frac{2x}{x^{2}+1}\,{\mathrm{d}}x$

• e) $\int\exp(\sin t)\cos t\,{\mathrm{d}}t$

• f) $\int\frac{1}{x+x^{2}}\,{\mathrm{d}}x$

• g) $\int\frac{5x+11}{x^{2}+3x-10}\,{\mathrm{d}}x$

• h) $\int\limits_{1}^{2}\exp(\sqrt{x+1})\,{\mathrm{d}}x$

• i) $\int-2t\sin(t^{2}-1)\,{\mathrm{d}}t$

• j) $\int\limits_{0}^{1}\frac{4t}{t^{3}+t}\,{\mathrm{d}}t$

• k) $\int\frac{1}{2\sqrt{t}(t+1)}\,{\mathrm{d}}t$

7.2

Eine einstufige Rakete besitze die Startmasse $m=100\,\mathrm{kg}$, die sich aus der Leermasse von 50 kg, der Nutzlastmasse (Payload) von 10 kg und der Treibstoffmasse von 40 kg zusammensetzt. Die Rakete werde zum Zeitpunkt $t=0\,\mathrm{s}$ gezündet und mit voller Schubkraft F ₀ senkrecht in die Höhe gestartet. Die Treibstoffmasse wird dabei innerhalb von 60 s gleichmäßig verbrannt und vollständig verbraucht. Nach diesem Zeitpunkt fliegt die Rakete ohne Antrieb.

Berechnen Sie die Geschwindigkeit und die Höhe der Rakete zu jedem Zeitpunkt t > 0. Zur Vereinfachung betrachten wir dabei eine konstante Gravitation mit $g\approx 10\,\mathrm{m\,s^{-2}}$ und vernachlässigen den Luftwiderstand. Welche Höhe und welche Geschwindigkeit erreicht die Rakete mit einer Schubkraft von $F_{0}=1000\,\mathrm{N}$ nach 1 min? Warum hebt die Rakete überhaupt ab, wenn diese Schubkraft gerade einmal dazu ausreicht, die Gewichtskraft der Startmasse von 100 kg zu kompensieren?

7.3

Der Energieverbrauch zweier Maschinen soll miteinander verglichen werden. Die Betriebsdauer T beider Maschinen sei identisch. Maschine 1 habe beim Einschalten eine sehr hohe Leistungsaufnahme $P_{1}(t)$ (Anlaufphase), die nach einem Zeitpunkt $t_{0}\in(0,T)$ auf ein konstantes Niveau absinkt, während Maschine 2 ab Einschaltzeitpunkt über die gesamte Betriebsdauer durch eine konstante Leistungsaufnahme $P_{2}(t)=P_{2}$ gekennzeichnet sei:

$$P_{1}(t)=\left\{\begin{array}[]{ll}P_{0}\,e^{-\lambda t},&0\leq t\leq t_{0},\\ P_{0}\,e^{-\lambda t_{0}},&t_{0}\leq t\leq T,\end{array}\right.\qquad P_{2}(t)=P_{2}=\text{const.}$$

Berechnen Sie den gesamten Energieverbrauch W ₁ bzw. W ₂ von Maschine 1 bzw. 2 über die Betriebszeit T (berechnen Sie die Formel für W ₁ und W ₂). Es sei $\lambda=1\,\mathrm{h^{-1}}$, $P_{0}=10\,\mathrm{kW}$, $P_{2}=100\,\mathrm{W}$, $t_{0}=5\,\mathrm{h}$. Ab welcher Betriebszeit T arbeitet dann Maschine 1 sparsamer als Maschine 2, und wie viel Energie wird zu diesem Zeitpunkt verbraucht?

7.4

Die Betriebstemperatur T einer Maschine unterliege einer Schwankung bzgl. der Zeit t gemäß folgender Funktion:

$$T(t)=T_{0}(\sin(\omega t)+1)\quad\text{f{\"u}r }\quad t\in[t_{0},t_{f}]\quad\text{mit }\quad\omega> 0.$$

• a) Geben Sie eine Formel für die mittlere Betriebstemperatur $\overline{T}$ an, welche die Maschine während ihrer Betriebszeit annimmt.

• b) Welche mittlere Temperatur nimmt die Maschine für die Werte

  $$T_{0}=50\,{{}^{\circ}\mathrm{C}},\quad t_{0}=0\,\mathrm{s},\quad t_{f}=30\,\mathrm{s}\,\,(60\,\mathrm{s}),\quad\omega=2\pi/20\,\mathrm{s^{-1}}$$

  an?

7.5

Skizzieren Sie den Querschnitt der durch die folgenden Berandungsfunktionen bei 360 °-Drehung um die x-Achse entstehenden Rotationskörper und berechnen Sie den jeweiligen Rauminhalt:

• a) $f:[0,\pi]:\rightarrow\mathbb{R},x\mapsto f(x)=\sin x$

• b) $f:[-R,R\,]:\rightarrow\mathbb{R},x\mapsto f(x)=\sqrt{R^{2}-x^{2}}$, wobei R > 0.

  Welcher geometrische Grundkörper wird hier betrachtet?

7.6

Skizzieren Sie die folgenden Berandungsfunktionen und berechnen Sie jeweils den Inhalt der Mantelfläche bei dem durch 360 °-Drehung um die x-Achse entstehenden Rotationskörper:

• a) $f:[0,\frac{2}{3}]\rightarrow\mathbb{R},x\mapsto f(x)=x^{3}$

• b) $f:[0,\pi]:\rightarrow\mathbb{R},x\mapsto f(x)=\sin x$

  Hinweis: In Tabellenwerken für unbestimmte Integrale einer mathematischen Formelsammlung finden Sie für a,c > 0 die Formel

  $$\int\sqrt{ax^{2}+c}\,{\mathrm{d}}x=\frac{x}{2}\sqrt{ax^{2}+c}+\frac{c}{2\sqrt{a}}\ln(\sqrt{ax^{2}+c}+\sqrt{a}\,x).$$