Vom Ableiten und Integrieren von Feldern – Vektoranalysis und Integralsätze

Aufgaben

7.1

a) Berechnen Sie die Divergenz und die Rotation folgender Vektorfelder:

$$\begin{aligned}\displaystyle\boldsymbol{v}_{1}(\boldsymbol{x})=\boldsymbol{x},\leavevmode\nobreak\ \leavevmode\nobreak\ \boldsymbol{v}_{2}(\boldsymbol{x})=\left(\begin{array}[]{c}x\\ -y\\ y\end{array}\right),\leavevmode\nobreak\ \leavevmode\nobreak\ \boldsymbol{v}_{3}(\boldsymbol{x})=\left(\begin{array}[]{c}2x+2yz\\ xz\\ x+y+z\end{array}\right)\end{aligned}$$

b) Berechnen Sie:

$$\begin{aligned}\displaystyle\operatorname{div}\boldsymbol{\nabla}\left(\frac{1}{|\boldsymbol{x}|}\right),\quad\boldsymbol{x}\in\mathbb{R}^{3}\setminus\{\mathbf{0}\}\end{aligned}$$

7.2

Vorgelegt seien die Funktion f und das Vektorfeld F im $\mathbb{R}^{3}$:

$$\begin{aligned}\displaystyle f(x,y,z)=x\,y^{2}\,z^{3},\quad\boldsymbol{F}(x,y,z)=\left(\begin{array}[]{c}x\\ y^{2}\\ z^{3}\end{array}\right)\end{aligned}$$

a) Berechnen Sie:

$$\begin{aligned}\displaystyle\boldsymbol{\nabla}f,\quad\boldsymbol{\nabla}(\operatorname{div}(\boldsymbol{\nabla}f)),\quad\boldsymbol{\nabla}(\operatorname{div}\boldsymbol{F}),\quad\nabla(\operatorname{div}(\mathop{\mathbf{rot}}\boldsymbol{F}))\end{aligned}$$

b) Berechnen Sie:

$$\begin{aligned}\displaystyle\operatorname{div}(\boldsymbol{\nabla}f),\quad\operatorname{div}(\mathop{\mathbf{rot}}(\boldsymbol{\nabla}f)),\quad\operatorname{div}\boldsymbol{F},\quad\operatorname{div}(\mathop{\mathbf{rot}}\boldsymbol{F})\end{aligned}$$

7.3

a) Untersuchen Sie das Vektorfeld

$$\begin{aligned}\displaystyle\boldsymbol{v}(\boldsymbol{x})=\left(\begin{array}[]{c}x^{2}y^{2}z\\ -2xyz\\ xz^{2}(1-y^{2})\end{array}\right)\end{aligned}$$

auf Quellen- und Wirbelfreiheit.

b) Gegeben ist das Vektorfeld

$$\begin{aligned}\displaystyle\boldsymbol{v}(\boldsymbol{x})=\left(\begin{array}[]{c}x^{2}+\alpha y^{2}x\\ 1+\beta x^{2}y\\ f(z)\end{array}\right)\end{aligned}$$

mit $\alpha,\beta\in\mathbb{R}$ und einer stetig differenzierbaren Funktion f(z). Wie sind $\alpha,\beta$ und f(z) zu wählen, sodass $\mathop{\mathbf{rot}}\boldsymbol{v}(\boldsymbol{x})=\mathbf{0}$ gilt? Geben Sie für diesen Fall eine Potenzialfunktion an.

c) Zeigen Sie, dass das Vektorfeld

$$\begin{aligned}\displaystyle\boldsymbol{v}(\boldsymbol{x})=\left(\begin{array}[]{c}R^{2}-y^{2}-z^{2}\\ 0\\ 0\end{array}\right)\end{aligned}$$

mit R > 0 quellenfrei, aber nicht wirbelfrei ist.

7.4

Es sei $f(\boldsymbol{x})=1-3x^{2}-2y^{2}$. Berechnen Sie: $\boldsymbol{\nabla}f(\boldsymbol{x})$, $\operatorname{div}\boldsymbol{\nabla}f(\boldsymbol{x})$, $\mathop{\mathbf{rot}}\boldsymbol{\nabla}f(\boldsymbol{x})$

7.5

Es seien $\varphi$, ψ skalare Felder und v ein Vektorfeld.

a) Zeigen Sie die Produktregel

$$\begin{aligned}\displaystyle\boldsymbol{\nabla}(\varphi\psi)=\varphi\boldsymbol{\nabla}\psi+\psi\boldsymbol{\nabla}\varphi.\end{aligned}$$

b) Zeigen Sie die Nullidentitäten

$$\begin{aligned}\displaystyle\operatorname{div}\mathop{\mathbf{rot}}\boldsymbol{v}=0,\quad\mathop{\mathbf{rot}}\boldsymbol{\nabla}\varphi=\mathbf{0}.\end{aligned}$$

7.6

Der Körper K werde durch die Fläche $z=1-(x^{2}+y^{2})$ und durch die x-y-Ebene begrenzt. Berechnen Sie das Flussintegral des Vektorfeldes

$$\begin{aligned}\displaystyle\boldsymbol{v}(\boldsymbol{x})=\left(\begin{array}[]{c}2x\\ 2y\\ z\end{array}\right)\end{aligned}$$

durch die Oberfläche S von K

$$\begin{aligned}\displaystyle\iint_{S}\boldsymbol{n}\cdot\boldsymbol{v}\,\mathop{}\!\mathrm{d}S\end{aligned}$$

mit dem Integralsatz von Gauß.

7.7

a) Berechnen Sie den Fluss des Vektorfeldes

$$\begin{aligned}\displaystyle\boldsymbol{v}(\boldsymbol{x})=\left(\begin{array}[]{c}x+y\\ y-x\\ z\end{array}\right)\end{aligned}$$

durch die Oberfläche S des Tetraeders mit den Eckpunkten $P_{0}(0,0,0),P_{1}(1,0,0),P_{2}(0,1,0)$ und $P_{3}(0,0,1)$ mit dem Integralsatz von Gauß.

b) Berechnen Sie den Fluss des Vektorfeldes

$$\begin{aligned}\displaystyle\boldsymbol{v}(\boldsymbol{x})=\left(\begin{array}[]{c}zx^{2}\\ zy^{2}\\ z^{2}\end{array}\right)\end{aligned}$$

durch die Oberfläche der Halbkugel mit Radius 1 um den Ursprung und z ≥ 0. Verwenden Sie den Integralsatz von Gauß.

7.8

a) Berechnen Sie die Zirkulation des Vektorfeldes

$$\begin{aligned}\displaystyle\boldsymbol{v}(\boldsymbol{x})=\left(\begin{array}[]{c}z\\ 2x\\ 2y-x\end{array}\right)\end{aligned}$$

um die Dreiecksfläche mit den Eckpunkten $P_{0}(a,0,0),P_{1}(0,a,0)$ und $P_{2}(0,0,a)$ mit dem Integralsatz von Stokes. Beachten Sie, dass die Eckpunkte des Dreiecks gerade die Schnittpunkte der Ebene $z=a-x-y$ mit den Koordinatenachsen sind.

b) Berechnen Sie die Zirkulation des Vektorfeldes

$$\begin{aligned}\displaystyle\boldsymbol{v}(\boldsymbol{x})=\left(\begin{array}[]{c}y-x+z\\ 2x-y\\ z+x\end{array}\right)\end{aligned}$$

über dem Rand des im ersten Quadranten liegenden Sektors der Kreisfläche mit Radius 2 um den Ursprung in der x-y-Ebene.

7.9

Es sei C eine geschlossene Kurve. Zeigen Sie, dass die Zirkulation des Vektorfeldes

$$\begin{aligned}\displaystyle\boldsymbol{v}(\boldsymbol{x})=\left(\begin{array}[]{c}yz+\mathrm{e}^{x}\\ xz+y^{2}\\ xy+\sin(z)\end{array}\right)\end{aligned}$$

bzgl. C gleich 0 ist.

7.10

Untersuchen Sie das Vektorfeld

$$\begin{aligned}\displaystyle\boldsymbol{v}(\boldsymbol{x})=\left(\begin{array}[]{c}yz\\ 2+xz\\ 1+xy\end{array}\right)\end{aligned}$$

auf Quellen- und Wirbelfreiheit. Handelt es sich um ein Potenzialfeld? Bestimmen Sie ggf. das skalare Potenzial. Berechnen Sie das Arbeitsintegral von v bzgl. des Geradenstückes, das den Koordinatenursprung und den Punkt $P(2,1,3)$ verbindet.

7.11

Eine Kardioide C ist eine Kurve im $\mathbb{R}^{2}$ mit der Parameterdarstellung

$$\begin{aligned}\displaystyle\boldsymbol{x}(t)=\left(\begin{array}[]{c}a(1+\cos(t))\cos(t)\\ a(1+\cos(t))\sin(t)\end{array}\right),\quad t\in[0,2\pi)\end{aligned}$$

und dem Parameter a > 0 (Abb. 7.19). Berechnen Sie den Flächeninhalt des Bereichs B, das von C begrenzt wird mithilfe des Satzes von Gauß.

Abb. 7.19

Die Kardioide oder Herzkurve für a = 1 aus Aufgabe 7.11

7.12

Berechnen Sie für das räumliche Vektorfeld

$$\begin{aligned}\displaystyle\boldsymbol{A}(\boldsymbol{x})=\left(\begin{array}[]{c}3y\\ -z\\ \frac{3}{4}xy\end{array}\right),\leavevmode\nobreak\ \leavevmode\nobreak\ \boldsymbol{x}\in\mathbb{R}^{3}\end{aligned}$$

den Fluss der Rotation

$$\begin{aligned}\displaystyle\Psi=\iint_{S}\boldsymbol{n}\cdot\mathop{\mathbf{rot}}\boldsymbol{A}\,\mathop{}\!\mathrm{d}S\end{aligned}$$

durch die nach oben orientierte, elliptische Paraboloidfläche

$$\begin{aligned}\displaystyle S:\leavevmode\nobreak\ \leavevmode\nobreak\ z=\frac{1}{4}x^{2}+\frac{3}{4}y^{2},\leavevmode\nobreak\ \leavevmode\nobreak\ x^{2}+y^{2}\leq 4,\end{aligned}$$

mithilfe des Integralsatzes von Stokes.

Hinweis: Leiten Sie aus der angegebenen Darstellung für S eine Parameterdarstellung einschließlich der benötigten Orientierung für die räumliche Kurve C her.

7.13

Gegeben sei das Vektorfeld

$$\begin{aligned}\displaystyle\boldsymbol{F}(\boldsymbol{x})=\left(\begin{array}[]{c}y\\ -x\\ xz\end{array}\right)\end{aligned}$$

und die Fläche $S:\leavevmode\nobreak\ x^{2}+y^{2}+(z-4)^{2}=25,\leavevmode\nobreak\ \leavevmode\nobreak\ z\geq 0$. Verifizieren Sie den Satz von Stokes:

$$\begin{aligned}\displaystyle\iint\limits_{S}\boldsymbol{n}\cdot\mathop{\mathbf{rot}}\boldsymbol{F}\,\mathop{}\!\mathrm{d}S=\oint\limits_{\partial S}\boldsymbol{t}\cdot\boldsymbol{F}\,\mathop{}\!\mathrm{d}s.\end{aligned}$$

Hinweis: Benutzen Sie die Parameterdarstellung

$$\begin{aligned}\displaystyle\boldsymbol{x}=\left(\begin{array}[]{c}5\cos(\varphi)\sin(t)\\ 5\sin(\varphi)\sin(t)\\ 4+5\cos(t)\end{array}\right).\end{aligned}$$

7.14

Die Funktion

$$\begin{aligned}\displaystyle f(\boldsymbol{x})=\frac{1}{2}\,\ln\left(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}\right)\end{aligned}$$

sei auf dem Kreisring $D:r<|x|<1$ definiert mit gegebenem 0 < r < 1. Berechnen Sie das Kurvenintegral

$$\begin{aligned}\displaystyle\oint\limits_{|\boldsymbol{x}|=r}\frac{\partial f}{\partial\boldsymbol{n}}(\boldsymbol{x})\,\mathop{}\!\mathrm{d}S,\end{aligned}$$

wobei n den äußeren Normaleneinheitsvektor an D bezeichnet.

7.15

Sei V der Kreiszylinder mit $x^{2}+y^{2}\leq 9$ und 0 ≤ z ≤ 5 und S dessen Oberfläche. n sei der äußere Normaleneinheitsvektor von S, und das Vektorfeld F sei definiert durch

$$\begin{aligned}\displaystyle\boldsymbol{F}(\boldsymbol{x})=\left(\begin{array}[]{c}x+y\\ y+z\\ x+z\end{array}\right).\end{aligned}$$

Berechnen Sie das Integral

$$\begin{aligned}\displaystyle\oint_{S}\boldsymbol{n}\cdot\boldsymbol{F}\,\mathop{}\!\mathrm{d}S\end{aligned}$$

direkt und mithilfe des Integralsatzes von Gauß.