Kurven – kreuz und quer durch den Raum

Aufgaben

4.1

Geben Sie für folgende Kurven, die in Parameterdarstellung vorliegen, eine Darstellung der Form $y=y(x)$ an:

• a) $x=\sqrt{t}$, $y=t^{2}+2t+1$ für t > 0

• b) $x=\displaystyle\frac{2}{3-t}$, $y=t^{2}$ für $t\in\mathbb{R}\setminus\{3\}$

• c) $x=t^{2}$, $y=t/(1+t)$ für t > 0

4.2

Ermitteln Sie für folgende Kurven den Tangentenvektor sowie die Gleichung der Tangente im angegebenen Kurvenpunkt:

• a) $C:\ \boldsymbol{x}(t)=\left(\begin{array}[]{c}\mathrm{e}^{t}\cos(2\pi t)\\ \mathrm{e}^{t}\sin(2\pi t)\end{array}\right)$, $t_{0}=1$

• b) $C:\ \boldsymbol{x}(t)=\left(\begin{array}[]{c}t-\sin t\\ 1-\cos t\end{array}\right)$, $t_{0}=\frac{\pi}{2}$

• c) $C:\ \boldsymbol{x}(t)=\left(\begin{array}[]{c}\cos^{3}t\\ \sin^{3}t\end{array}\right)$, $t_{0}=\frac{\pi}{4}$

4.3

Ermitteln Sie für folgende Kurven den Tangentenvektor und einen Normalenvektor im angegebenen Kurvenpunkt:

• a) $C:\ \boldsymbol{x}(t)=\left(\begin{array}[]{c}\displaystyle\frac{t}{2}(3-t)\\ \displaystyle\frac{t}{4}(5-t)\end{array}\right)$, $t_{0}=4$

• b) $C:\ \boldsymbol{x}(t)=\left(\begin{array}[]{c}2\mathrm{e}^{-t}\\ 4\mathrm{e}^{t}\end{array}\right)$, $t_{0}=0$

4.4

Geben Sie für folgende Kurven die Gleichung der Tangente im angegebenen Punkt an:

• a) $C:\boldsymbol{x}(t)=\left(\begin{array}[]{c}2t+1\\ t^{2}-1\\ t^{3}+t\end{array}\right)$, t = 1

• b) $C:\boldsymbol{x}(t)=\left(\begin{array}[]{c}r\cos t\\ r\sin t\\ ht\end{array}\right)$, $t=\frac{\pi}{2}$

• c) $C:\ \boldsymbol{x}(t)=\left(\begin{array}[]{c}\mathrm{e}^{t}\cos t\\ \mathrm{e}^{t}\sin t\\ \mathrm{e}^{t}\end{array}\right)$, t = π

4.5

Ermitteln Sie für die Kurve

$$\begin{aligned}\displaystyle C:\ \boldsymbol{x}(t)=\left(\begin{array}[]{c}\mathrm{e}^{t}\cos t\\ \mathrm{e}^{t}\sin t\\ \mathrm{e}^{t}\end{array}\right),\quad t\in\mathbb{R}\end{aligned}$$

das begleitende Dreibein, d. h. den Tangenteneinheitsvektor, Hauptnormaleneinheitsvektor und Binormaleneinheitsvektor.

4.6

Berechnen Sie für folgende Kurven die Krümmung allgemein und im angegebenen Punkt:

• a) $y=\sin x$, $x=\frac{\pi}{4}$

• b) $C:\ \boldsymbol{x}(t)=\left(\begin{array}[]{c}4\sin(t)\\ 2\cos(t)\end{array}\right)$,  $t_{0}=0$

• c) $C:\ \boldsymbol{x}(t)=\left(\begin{array}[]{c}r(t-\sin(t))\\ r(1-\cos(t))\end{array}\right)$, $t_{0}=\pi$, r > 0

4.7

Bestimmen Sie für die Kurve aus Aufgabe 4.5:

• a) die Bogenlängenfunktion

• b) die Parametrisierung der Bogenlänge

• c) die Krümmung allgemein sowie an der Stelle t = 0

4.8

Berechnen Sie die Bogenlänge der Kardioide (Herzkurve) C mit der Parameterdarstellung

$$\boldsymbol{x}(t)=\left(\begin{array}[]{c}a(1+\cos(t))\cos(t)\\ a(1+\cos(t))\sin(t)\end{array}\right),\quad t\in[0,2\pi)$$

mit dem Parameter a > 0.

Hinweis: verwenden Sie ohne Beweis, dass die Kurve bzgl. der angegebenen Parametrisierung regulär ist. Benutzen Sie die Identität $1+\cos t=2\cos^{2}\left(\frac{t}{2}\right)$.

4.9

Eine Kurve C in Polarkoordinaten kann durch die Parameterdarstellung

$$\boldsymbol{x}(t)=\left(\begin{array}[]{c}r(t)\cos(t)\\ r(t)\sin(t)\end{array}\right),\quad t\in[a,b]$$

mit einer stetig differenzierbaren Funktion r(t) beschrieben werden.

• a) Zeigen Sie für die Bogenlänge von C die Formel

  $$L=\int\limits_{a}^{b}\sqrt{r^{\prime}(t)^{2}+r^{2}(t)}\,\mathop{}\!\mathrm{d}t.$$

• b) Berechnen Sie die Bogenlänge der Archimedischen Spirale C mit der Parameterdarstellung

  $$\boldsymbol{x}(t)=\left(\begin{array}[]{c}at\cos(t)\\ at\sin(t)\end{array}\right),\quad t\in[0,2\pi)$$

  mit dem Parameter a > 0.

• c) Berechnen Sie die Bogenlänge der hyperbolischen Spirale C mit der Parameterdarstellung

  $$\boldsymbol{x}(t)=\left(\begin{array}[]{c}\frac{a}{t}\cos(t)\\ \frac{a}{t}\sin(t)\end{array}\right),\quad t\in[\pi,3\pi)$$

  mit dem Parameter a > 0.

4.10

Gegeben seien die Kurven C und D durch

$$C:\boldsymbol{x}(t)=(\cos(2\pi t),\sin(2\pi t),t)^{\top},t\in[0,1]$$

und

$$D:\boldsymbol{y}(t)=\left(1,t,t^{2}+\frac{1}{2\pi}t+1\right)^{\top},t\in[0,1].$$

• a) Geben Sie für alle Punkte der beiden Kurven den Tangenteneinheitsvektor sowie diejenige Ebene durch den jeweiligen Punkt an, die senkrecht auf der betreffenden Kurve steht.

• b) Zeigen Sie, dass beide Kurven den gemeinsamen Punkt $P(1,0,1)$ haben.

• c) Durch Zusammensetzen der beiden Kurven im Punkt P erhalten wir eine Kurve E mit

  $$E:\boldsymbol{z}(t)=\begin{cases}\boldsymbol{x}(t),&0\leq t<1,\\ \boldsymbol{y}(t-1),&1\leq t\leq 2.\end{cases}$$

  Zeigen Sie, dass die Ableitung (d. h. der Tangentenvektor) im Punkt $P=\boldsymbol{z}(1)$, nicht stetig ist. Begründen Sie, warum E trotzdem glatt in P ist, also keinen Knick aufweist.

4.11

Das Kurvenstück C sei definiert durch

$$C:\boldsymbol{x}(t)=\frac{\mathrm{e}^{t}}{\sqrt{2}}(\cos t,\sin t)^{\top},\quad t\in[0,2\pi].$$

• a) Berechnen Sie die Bogenlängenfunktion $s:[0,2\pi]\rightarrow\mathbb{R}$ sowie die Länge L des Kurvenstückes C.

• b) Bestimmen Sie eine Parametrisierung y der Punktmenge C bzgl. der Bogenlänge s.

• c) Rechnen Sie nach, dass $|\boldsymbol{y}^{\prime}(s)|=1$ für alle $s\in[0,L]$.