Verallgemeinerungen der Dirichlet-Faltung

Zusammenfassung

Sei K eine komplexwertige Funktion, die auf der Menge der geordneten Paare $(n,d)$ natürlicher Zahlen mit $d\mid n$ definiert ist. Sind f und g arithmetische Funktionen, dann wird deren K -Faltung, symbolisch $f\ast_{K}g$, durch

$$\displaystyle(f\ast_{K}g)(n):=\sum\limits_{d\mid n}{K(n,d)\,f(d)\,g\left(\frac{n}{d}\right)}$$

erklärt. Beispielsweise ergibt sich mit $K(n,d):=1$ für jedes n, die Dirichlet-Faltung $f\ast g$.

Zu Beginn dieses Kapitels soll die binäre Verknüpfung $\ast_{K}$ auf der Menge der arithmetischen Funktionen untersucht und die Frage beantwortet werden, unter welchen Voraussetzungen die Menge der arithmetischen Funktionen mit der Addition und K-Faltung einen kommutativen Ring mit Einselement δ bildet. Man beachte, dass für jede arithmetische Funktion f nachstehende Gleichungen gelten:

$$\displaystyle(f\ast_{K}\delta)(n)=K(n,n)\,f(n)$$

und

$$\displaystyle(\delta\ast_{K}f)(n)=K(n,1)\,f(n)$$

Wenn nun $f:=1\hskip-4.5pt\mathrm{l}$ gewählt wird, dann ist damit $1\hskip-4.5pt\mathrm{l}\ast_{K}\delta=1\hskip-4.5pt\mathrm{l}$ und $\delta\ast_{K}1\hskip-4.5pt\mathrm{l}=1\hskip-4.5pt\mathrm{l}$, was

$$\displaystyle K(n,n)=K(n,1)=1$$

(4.1)

zur Folge hat. Gilt andererseits diese Gleichung (4.1), dann ist $f\ast_{K}\delta=f$ und $\delta\ast_{K}f=f$ für jede arithmetische Funktion f.