Ramanujan-Summen

Zusammenfassung

Zur Vereinfachung der Schreibweise setzt man

$$\displaystyle e\left(\alpha\right):=\mathrm{e}^{2\mathrm{\pi}\mathrm{i}\alpha}$$

Für eine ganze Zahl n und eine natürliche Zahl q wird die Summe

$$\displaystyle c_{q}(n):=\sum\limits_{\substack{a=1\\ \left(a;q\right)=1}}^{q}{e\left(\frac{an}{q}\right)}$$

betrachtet. Üblicherweise wird über alle a mit 1 ≤ a ≤ q und $\left(a;q\right)=1$ summiert. Ebenso könnte jedoch auch über ein beliebiges primes Restklassensystem modulo q summiert werden, da für $a\equiv b\leavevmode\nobreak\ \left(\operatorname{mod}q\right)$ die Identität $e\left(\frac{an}{q}\right)=e\left(\frac{bn}{q}\right)$ gilt.

Die Summe $c_{q}(n)$ heißt Ramanujan-Summe. Für festes q erhält man eine arithmetische Funktion $c_{q}:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{C}$. Andererseits erhält man auch für festes n eine arithmetische Funktion in q. Für n = 0 ergibt sich die Eulersche $\varphi$-Funktion, für n = 1 die Möbius-Funktion μ

$$\begin{aligned}\displaystyle c_{q}(0)&\displaystyle=\varphi(q)\\ \displaystyle c_{q}(1)&\displaystyle=\mu(q)\end{aligned}$$

wie sich aus dem nachstehenden Lemma 2.1 ergibt.