Lineare Algebra

Zusammenfassung

Wir geben in diesem Kapitel einen Überblick über die Begriffe der linearen Algebra, die üblicherweise zu Beginn des Mathematikstudiums eingeführt werden. Zunächst definieren wir Vektorräume sowie deren Unterräume und Quotientenräume. Wir zeigen hierbei zahlreiche Beispiele und veranschaulichen die Operationen auf Vektoren durch Abbildungen. Danach besprechen wir linear unabhängige und erzeugende Systeme und führen damit insbesondere den Begriff der Basis eines Vektorraumes und den Begriff der Dimension ein. Wir kommen anschließend zum zentralen Thema der linearen Algebra, nämlich den linearen Abbildungen zwischen Vektorräumen. Neben der Definition und Beispielen solcher Abbildungen findet der Leser als Anwendung noch eine Einführung der Lösung linearer Gleichungssysteme sowie die Definition von Dualräumen und dualen Abbildungen. Im vierten Abschnitt werfen wir einen Blick auf Multilinearformen und Tensoren und definieren als wichtigstes Beispiel die Determinante. Der fünfte Abschnitt ist den Mitteln gewidmet, die wir haben, um lineare Abbildungen zu untersuchen. Wir führen Eigenwerte, Eigenräume sowie Haupträume ein und definieren damit die Diagonalisierbarkeit und die Jordan’sche Normalform einer linearen Abbildung. Den Abschluss des Kapitels bilden die Definitionen des Skalarprodukts sowie der Norm und des Winkels von Vektoren mit Beispielen und Bildern.

Es gibt viele gute Lehrbücher zur Linearen Algebra, wir verweisen hier auf Bosch; 2014 und Fischer; 2013a.