Algebraische Strukturen

Zusammenfassung

In diesem Kapitel findet der Leser eine Einführung in die Grundbegriffe der Algebra, die Studierende zum Teil schon in den Grundvorlesungen zur Linearen Algebra oder in einer Vorlesung zur Algebra kennen lernen. Wir definieren in den ersten drei Abschnitten die algebraischen Strukturen Gruppe, Ring und Körper und gehen dann auf strukturerhaltende Abbildungen (Homomorphismen) ein. Im Abschnitt über Gruppen führen wir insbesondere die symmetrische Gruppe, die Restklassengruppe und Matrizengruppen ein, definieren Untergruppen, Normalteiler sowie Faktorgruppen und entwickeln zum Schluss den Begriff der auflösbaren Gruppe. Im Abschnitt über Ringe definieren wir insbesondere Integritätsbereiche, euklidische Ringe, Hauptidealringe sowie faktorielle Ringe und geben hierbei sowohl Beispiele als auch Gegenbeispiele an. Im Abschnitt über Körper bestimmen wir Quotientenkörper, Zerfällungskörper und Körpererweiterungen und definieren Eigenschaften von Körpererweiterungen wie Normalität, Separabilität und Auflösbarkeit. Im letzten Abschnitt des Kapitels werden Homomorphismen und Isomorphismen zwischen Gruppen, Ringen und Körpern definiert, und es wird die Automorphismengruppe einer Körpererweiterung eingeführt. Der Leser findet auch hier zahlreiche Beispiel vor.

Eine ausgezeichnete kurze Einführung in die Hauptresultate der Algebra bietet Stroth; 2012, und eine ausführlichere Darstellung findet der Leser in Bosch; 2003.