Diskrete Verteilungen

Zusammenfassung

Wichtige diskrete Verteilungen sind die Gleichverteilung (z. B. für Würfelspiele), die Binomialverteilung (z. B. für defekte Bauteile) und die hypergeometrische Verteilung (z. B. für Lotto). Eine diskrete Verteilung gibt für eine diskrete Zufallsvariable an, wie groß die Wahrscheinlichkeiten für alle Realisationen der Variablen sind. In bestimmten Fällen kann eine schwer zu berechnende Verteilung durch eine leichter zu berechnende Verteilung angenähert werden, so die hypergeometrische Verteilung durch die Binomialverteilung, die Binomialverteilung durch die Poisson-Verteilung oder die Normalverteilung.

Als ein Modell für viele Zufallsexperimente dient das Galton-Brett. Das Galton-Brett besteht aus einem geneigt aufgestellten Brett, über das Kugeln in Töpfe am Ende des Brettes rollen können. Auf dem Weg zu den Töpfen sind jedoch Hindernisse in mehreren Ebenen angebracht, so dass sich die Kugeln ein- oder mehrmals für den linken oder rechten Weg ″entscheiden″ müssen. Diese ″Entscheidungen″ werden als zufällig angesehen.

Ein Zufallsexperiment wie das Galton-Brett heißt Bernoulli-Experiment. Ein Bernoulli-Experiment hat die Eigenschaften, dass es für jeden Versuch nur zwei mögliche Ergebnisse gibt und dass die sich beiden Eintrittswahrscheinlichkeiten hierfür nicht von Versuch zu Versuch ändern. Ein Hilfsmittel, die Anzahl der möglichen Wege zu bestimmen, ist das Pascalsche Zahlendreieck. Für viele Vorgänge in Wirtschaft und Natur sind die Bedingungen für ein Bernoulli-Experiment eine kluge Annahme. Für einen Vorgang, der ein Bernoulli-Experiment ist, ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Versuch mit der Wahrscheinlichkeit p und bei n Versuchen k mal auftritt, binomial verteilt.