Funktoren und ihre Morphismen

Zusammenfassung

Eine zentrale Frage in der Mathematik lautet: Wie können wir entscheiden, ob zwei Objekte A, B einer fest vorgegebenen Kategorie C isomorph sind? Wie erkennen wir zum Beispiel, ob zwei Gruppen, zwei Ringe, zwei Graphen oder zwei topologische Räume isomorph sind? Sofern A und B isomorph sind, ist es in der Regel einfach, einen Isomorphismus auch konkret anzugeben und damit die Isomorphie zu belegen. Wenn allerdings A und B nicht isomorph sind, so stellt es sich oft als sehr schwierig heraus, dies auch zu beweisen. Es genügt schließlich nicht, eine Reihe von Morphismen anzugeben, die keine Isomorphismen sind. Vielmehr muss man die Existenz eines beliebigen Isomorphismus ƒ : A → B zu einem Widerspruch führen. Auf direktem Weg geht das nur in den einfachsten Fällen. Man muss stattdessen Eigenschaften von Objekten finden, welche von Isomorphismen erhalten werden und das Problem damit vereinfachen. Solche Eigenschaften nennt man auch Isomorphieinvarianten.

An erratum to this chapter can be found at http://dx.doi.org/10.1007/978-3-662-53521-9_11