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Optimale Regelung

  • Jan LunzeEmail author
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Zusammenfassung

Werden die Güteforderungen an den Regelkreis durch ein Gütefunktional ausgedrückt, das den Verlauf der Stell- und Regelgrößen bewertet, so kann der Regler als Lösung eines Optimierungsproblems gefunden werden. In diesem Kapitel wird zunächst die Aufgabenstellung so umgeformt, dass die Lösung des Optimierungsproblems ein lineares, zeitinvariantes Reglergesetz ist. Danach wird die Zustandsrückführung, für die das Gütefunktional minimal ist, berechnet. Es werden die Eigenschaften des Optimalreglers untersucht und das Anwendungsgebiet dieses Entwurfsverfahrens abgesteckt. Das Kapitel endet mit Verfahren zur Berechnung optimaler Ausgangsrückführungen und H -optimaler Regler.

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Literaturhinweise

  1. Als Einführung in die Optimierung dynamischer Systeme für Ingenieure kann das Lehrbuch [30] von Föllinger sehr empfohlen werden. In diesem Buch wird ausführlich auf das Optimierungsproblem (7.2) eingegangen und der in diesem Kapitel behandelte Optimalregler als Spezialfall abgeleitet. Diese breite Betrachtungsweise ist vor allem dann interessant, wenn der Prozess nicht notwendigerweise durch einen fest eingestellten Regler, sondern z. B. durch den Menschen gesteuert werden soll und die Lösung des Optimierungsproblems dazu dient, Anhaltspunkte für ein zweckmäßiges Vorgehen zu erhalten.Google Scholar
  2. Das Problem, Regler durch Minimierung eines quadratischen Gütefunktionals auszuwählen, wurde von Kalman Anfang der sechziger Jahre im Zusammenhang mit der Einführung der Zustandsraumbehandlung von Regelungssystemen gestellt und gelöst. Außer in den bekannten Arbeiten [50] und [52] wurde das Problem in sehr vielen Veröffentlichungen untersucht, so dass die um 1970 erschienenen Monografien [5], [6] und [125], die nach wie vor für ein vertiefendes Studium empfohlen werden können, bereits eine weitgehend vollständige Theorie enthalten. Eine Übersicht über numerische Verfahren zur Lösung der algebraischen Riccatigleichung wird in [46] gegeben.Google Scholar
  3. Von der Vielzahl der im Laufe der Jahre erschienenen Arbeiten zum Entwurf optimaler Regelungen seien hier nur wenige angeführt. In [103] wurde die Beziehung (7.30) abgeleitet. Die Eigenschaften des Regelkreises bei verschwindender Wichtung der Stellgröße (ρ → 0) werden u. a. in [41] und [60] unter den Stichworten asymptotic properties und cheap control untersucht. Auf die Tatsache, dass unterschiedliche Wichtungen zu demselben Regler führen, wird in [57] und [91] verwiesen. Eine Übersicht über Richtlinien zur Wahl der Wichtungsmatrizen im Sinne einer günstigen Gestaltung der Regelkreisdynamik ist in [7] zu finden.Google Scholar
  4. Ausführlich sind in der Literatur die Robustheitseigenschaften des Optimalreglers diskutiert worden. Der Amplituden- und Phasenrand des LQ-Reglers als qualitatives Maß der Robustheit sind für Systeme mit einem Eingang in [5] und für Systeme mit mehreren Eingangsgrößen in [118] beschrieben. Diese im Abschn. 7.3.3 aufgeführten Eigenschaften sind theoretisch sehr interessant, für viele praktische Einsatzfälle aber nicht ausreichend, wie in dem Diskussionsbeitrag [116] hervorgehoben wird. Deshalb wurden Verfahren erarbeitet, die die robuste Stabilität des Optimalreglers für quantitativ vorgegebene Modellunbestimmtheiten zu überprüfen gestatten, siehe beispielsweise [64] und [70].Google Scholar
  5. Die notwendige Optimalitätsbedingung für Ausgangsrückführungen wurde erstmals in [65] angegeben. Der im Abschn. 7.6 beschriebene Lösungsalgorithmus stammt aus [34].Google Scholar
  6. Das H-Optimierungsproblem wurde 1981 von Zames in [133] in dem etwas eingeschränkteren Sinne zur Minimierung der Empfindlichkeitsmatrix behandelt und in allgemeinerer Form in [134] gelöst. Die hier angegebene Lösung im Zeitbereich wurde erst viele Jahre später gefunden und von Glover und Doyle in [37] sowie in der häufig zitierten Arbeit [24] veröffentlicht.Google Scholar

Copyright information

© Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2016

Authors and Affiliations

  1. 1.Lehrstuhl für Automatisierungstechnik und ProzessinformatikRuhr-Universität BochumBochumDeutschland

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