Euklidische und unitäre Vektorräume

Zusammenfassung

Bislang hatten wir Vektorräume und lineare Abbildungen zwischen ihnen ohne jede weitere Struktur studiert. In diesem Kapitel wollen wir nun eine erste zusätzliche Struktur hinzunehmen, die es erlaubt, geometrischen Fragestellungen nachzugehen. Wie schon in Abschn. 1.3 skizziert, benötigt man zur Definition von Längen und Winkeln eine zusätzliche Information. Die noch reqcht heuristischen Überlegungen aus Abschn. 1.3 wollen wir daher nun systematischer formulieren, was uns auf das Studium von Skalarprodukten führen wird. Da wir bei Skalarprodukten gewisse Positivitätseigenschaften fordern werden (Längen sind positiv), werden wir uns in diesem Kapitel hauptsächlich auf Vektorräume über $\mathbb{R}$ oder $\mathbb{C}$ konzentrieren. Zudem werden in diesem Kapitel die Vektorräume meist endlich-dimensional sein: Zwar sind die entscheidenden Definitionen unabhängig von der Dimension möglich, in unendlichen Dimensionen werden die wichtigen Sätze jedoch ohne den massiven Einsatz von (funktional-) analytischen Techniken nicht zu erreichen sein. Diese für uns momentan unzugänglichen Situationen sind trotzdem für die Mathematik von größter Wichtigkeit. Ihr Studium erfolgt dann in der Funktionalanalysis der Hilbert-Räume und findet ihre fundamentale Anwendung und Inspiration in der Quantenmechanik.