Mengen, Relationen und Funktionen

Zusammenfassung

In der Mathematik werden sowohl einzelne Objekte als auch Zusammenfassungen von Objekten zu größeren Einheiten betrachtet. Beispielsweise reden wir über eine konkrete natürliche Zahl, wenn wir sagen, dass 5 eine Primzahl ist. Die Behauptung, dass es unendlich viele natürliche Zahlen gibt, ist eine Aussage über alle natürliche Zahlen. Die Zusammenfassung aller natürlicher Zahlen wird als Menge $\mathbb{N}$ der natürlichen Zahlen bezeichnet und eine einzelne Zahl, zum Beispiel die 5, als Element dieser Menge. Eine Menge ist als Einheit zu sehen und kann selbst wieder Element einer (anderen) Menge sein. Dadurch können Mengen großer Komplexität entstehen.

Auf diesen Ideen basiert die Mengenlehre, deren Grundlagen wir in Abschn. 2.1 darstellen. Die Mengenlehre ist ein umfassendes Gebiet, innerhalb dessen die meisten heutigen mathematischen Theorien formuliert werden können. Als Schöpfer der Mengenlehre gilt Georg Cantor, der im ausgehenden 19. Jahrhundert viele bedeutende Beiträge zu ihrer Entwicklung leistete.

Beziehungen zwischen zwei oder mehr Mengen lassen sich mithilfe von Relationen und Funktionen herstellen. Auf diese für die Mathematik grundlegenden Konzepte werden wir in den nächsten Abschnitten ausführlich eingehen. Relationen und Funktionen sind aber nicht nur aus theoretischer Sicht wichtig, sondern besitzen auch konkrete Anwendungen in der Informatik. Als Beispiel betrachten wir Tab. 2.1, die einen Ausschnitt aus der Kundenkartei einer Firma enthält.