Zusammenfassung
Abgesehen von den häufig in schiefen Bildern verwendeten Quantensprüngen und der obligatorischen Unschärfe hat die Quantenphysik noch einige andere philosophisch reichhaltige Begriffe zu bieten. In diesem Kapitel wollen wir deshalb neben der Welle-Teilchen-Dualität auch das von Niels Bohr entwickelte und erkenntnistheoretisch tiefreichende Konzept der Komplementarität eingehend diskutieren. Zunächst aber werfen wir einen Blick auf die wichtigsten Experimente, die zur Quantenmechanik geführt haben und die eine vertiefte Einsicht in die von unserer Alltagswelt grundverschiedenen und manchmal auch verstörenden Quantenphänomene gewähren. Dann folgen die Axiome der Quantenmechanik und eine kurze Übersicht über den Formalismus, der anhand einiger elementarer Beispiele erklärt wird. An diesen lässt sich auch die wichtige heuristische Bedeutung des Korrespondenzprinzips darlegen. Das nach Paul Ehrenfest benannte Ehrenfest-Theorem schließlich erläutert den Übergang zwischen der Mikro- und der Makrophysik.
Ich mag sie nicht, und es tut mir leid, jemals etwas damit zu tun gehabt zu haben. (Erwin Schrödinger )
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Notes
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Planck (1900).
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Einstein (1905a), S. 133.
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Entsprechende Versuche wurden bereits 1928 durchgeführt: von Davisson, Germer, Thomson und Rupp anhand von Elektronenstreuung sowie von Stern anhand der Streuung von Helium. Mit Hilfe moderner Experimentiertechnik können auch wesentlich schwerere Teilchen zur Interferenz gebracht werden – was allerdings zunehmend schwieriger wird. Heute kann man bereits die als „Fußball-Moleküle“ bekannten C60-Fullerene oder sogar aus 430 Atomen bestehende „Oktopus-Moleküle“ mit sich selbst interferieren lassen: Arndt et al. (1999), Gerlich et al. (2011).
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De Broglie (1924). Das Symbol ℏ bezeichnet das plancksche Wirkungsquantum . Die zweite Formel ist nichts anderes als eine Umformulierung der planckschen Energieformel für Lichtteilchen, die hier auf alle Arten von Materie verallgemeinert wird. Dieser Effekt wurde nicht schon früher nachgewiesen, weil der Impuls von Materieteilchen aufgrund ihrer Masse im Vergleich zu Photonen sehr groß und deswegen die resultierende Wellenlänge sehr klein ist. Man muss also sehr präzise messen.
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Technische Einzelheiten wie die geometrischen Maße der Spalte und des Schirmes hängen von den Versuchsbedingungen wie z. B. der gewählten Teilchensorte ab und spielen hier keine Rolle. Für Elektronen gestaltet sich der Versuchsaufbau aufgrund ihrer im Vergleich zu anderen Materieteilchen sehr geringen Masse und der entsprechend größeren Wellenlänge allerdings besonders einfach.
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Bohr (1934), S. 15 f.
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Wenn Atome mit Licht passender Wellenlänge, also mit einer bestimmten elektromagnetischen Strahlung bestrahlt werden, können sie diese Lichtquanten absorbieren. Sie speichern dann für eine kurze Zeit die Energie des Lichts als Anregung ihrer Elektronenhülle. Ebenso können sie Licht bestimmter Wellenlänge aussenden, wenn sie vorher durch Licht, Wärme oder chemische Prozesse angeregt wurden. Die passenden Wellenlängen unterscheiden sich je nach Atomart. Die charakteristischen Wellenlängen, die man bei unterschiedlichen Atomen (oder Molekülen) beobachten kann, nennt man auch Spektrallinien.
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Es handelt sich hier um die sogenannte Balmer-Formel, die ein Spezialfall des Rydberg-Ritzschen Kombinationsprinzips ist, nach dem sich Frequenzen als Differenzen von Spektraltermen ausdrücken lassen.
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Hierzu gehören die berühmten Streuversuche von Ernest Rutherford, bei denen Alphateilchen durch dünne Folien aus Gold geschossen werden, siehe Rutherford (1911).
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Bohr (1913).
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Zitiert nach Friedrich und Herschbach (2003), S. 57. Das magnetische Moment beruht sowohl auf dem Bahndrehimpuls der Elektronen – also auf ihrer Bewegung um den Atomkern – als auch auf ihrem Eigendrehimpuls, dem Spin . Beinahe ausnahmslos alle Lehrbücher der Physik beschreiben das Stern-Gerlach-Experiment als Nachweis des Spins. Dies ist zwar nach heutigem Wissen richtig. Der Spin war zur Zeit der Durchführung des Experiments aber noch gar nicht bekannt; die Existenz des Spins wurde erst einige Jahre später mit der fertigen Quantentheorie postuliert. Stern und Gerlach basierten ihr Experiment auf dem bohrschen Atommodell . Es ist eine interessante Fußnote der Wissenschaftsgeschichte, dass bei Silber nur der Spin für die Aufspaltung des Strahls verantwortlich ist, da sein Bahndrehimpuls null ist. Laut dem bohrschen Atommodell , das den Spin noch nicht kennt, hätte eigentlich gar keine Aufsplittung stattfinden dürfen! Nur wusste man dies seinerzeit noch nicht. Der Spin-Drehimpuls wiederum ist zwar nur halb so groß wie der Bahndrehimpuls; aber da der Spin aufgrund relativistischer Effekte etwa doppelt so stark magnetisch koppelt, erzeugt er eine Aufsplittung, die der von Bohr postulierten entspricht. Der Nachweis dieses wichtigen Effekts, noch dazu in der passenden Größenordnung, verdankt sich also gleich mehreren glücklichen Umständen.
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Zur Haltung Schrödingers vergleiche auch Kap. 3.1 und 19.5. Psychologisch interessant ist die Äquivalenz zwischen den beiden von Heisenberg und Schrödinger entwickelten Darstellungsformen auch deshalb, weil Schrödinger seine Wellenmechanik bewusst in Kontrast zur anderen Theorie entwickelte. Er fühlte sich von der unanschaulichen Mathematik Heisenbergs „abgeschreckt, um nicht zu sagen abgestoßen“, siehe Schrödinger (1926), S. 735. Wir werden diese psychologischen Aspekte nochmals in Kap. 19.5 aufgreifen und vor allem im Zusammenhang mit Einsteins wissenschaftlicher Entwicklung tiefer gehend thematisieren.
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Gamow (1966), S. 3 f.
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Von Neumann (1932). Als Literatur zum Formalismus sind die gängigen Standardlehrbücher der Quantenmechanik zu empfehlen, zur wissenschaftstheoretischen Diskussion insbesondere Jammer (1974). Zur Hilbert-Raum-Darstellung sei nur kurz angemerkt, dass in ihr quantenphysikalische Zustände als Vektoren im Hilbert-Raum dargestellt sind, welcher ein linearer Vektorraum ist. Dessen Elemente, Vektoren genannt, sind komplexwertige quadratintegrable Funktionen. Der Mathematiker David Hilbert konnte zeigen, dass solche Vektorräume mit anderen, gänzlich verschieden aussehenden Vektorräumen gleichwertig sind. Dieser sogenannte Isomorphismus schließt die Äquivalenz von Heisenbergs Matrizenmechanik und Schrödingers Wellenmechanik ein und lässt zudem auch andere Darstellungen zu.
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Als Beispiel diene die Exponentialfunktion mit dem Operator der Ableitung. Die exp-Funktion ergibt abgeleitet wieder die exp-Funktion, sie ist also Eigenfunktion zum Operator der Ableitung. Der entsprechende Eigenwert ist der Vorfaktor, in diesem Falle also die eins, bei der Funktion exp(2x) wäre es die zwei.
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In der Tat: in einer für unsere Zwecke leicht vereinfachten Form; so müsste es in Axiom II formal heißen: Hermitesche Operatoren. Diese Eigenschaft garantiert, dass alle erhaltenen Eigenwerte tatsächlich reell sind. Auch Axiome III und V lassen sich in größerer Allgemeingültigkeit ausdrücken. Bei der Aufstellung der Quantenmechanik jedoch arbeitete Heisenberg noch mit einem sehr intuitiven Kalkül: „Jetzt sprechen die gelehrten Göttinger Mathematiker soviel über Hermitesche Matrizen; ich weiß ja aber nicht einmal, was eine Matrix ist.“ Zitiert nach Bopp (1961), S. X.
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Der Operator H wird in Analogie zur klassischen Mechanik „Hamilton-Operator“ genannt. Der vordere Teil mit der doppelten räumlichen Ableitung entspricht der kinetischen Energie, der Potentialterm V (x), der für jede physikalische Situation spezifiziert werden muss, der potentiellen Energie. Fasst man beide Energieterme abstrakt zusammen, lässt sich die Schrödinger-Gleichung für stationäre Zustände vereinfachen zum eleganten und bekannten H ψ = E ψ.
- 21.
Ähnlich wie bei den elektromagnetischen Abstrahlungsbedingungen lässt sich aber auch in der Quantenmechanik eine zeitliche Asymmetrie bei der Zeitentwicklung nichtstationärer Zustände beobachten. Ein nichtstationäres Wellenpaket „zerfließt“, d. h. seine Wahrscheinlichkeitsamplitude verbreitert sich im Raum. Es gibt auch keinen Operator, der als Resultat eine Zeitbestimmung liefert, denn in der Quantenmechanik ist die Zeit keine Observable , sondern ein Parameter.
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Sie kann natürlich auch im selben Zustand bleiben, wenn sie schon vorher im nachher gemessenen Zustand war. Man spricht dann nach Wolfgang Pauli von einer idealen Messung.
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Vergleiche auch den Abschnitt zur heisenbergschen Unschärferelation in Kap. 2.7.
- 24.
Die exakten Ausführungen dieser Beispiele finden sich in den Standardlehrbüchern zur Quantenmechanik.
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Genauer gesagt: dem Absolutquadrat der Summe der beiden Teilwellen, nicht der Summe der Absolutquadrate der beiden Teilwellen, denn die Gesamtwellenfunktion setzt sich aus beiden Teilwellen zusammen. Nur hierdurch wird Interferenz möglich.
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Eine solche Apparatur könnte zum Beispiel aus einem Laser bestehen, dessen Streulicht aufgefangen wird. Hieraus lässt sich der Weg des Elektrons rekonstruieren.
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Die sogenannte Phase wird aus dem Verhältnis des Real- und des Imaginärteils der Wellenfunktion bestimmt.
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Genau genommen sind gewisse Korrekturterme zu berücksichtigen, die allerdings in sehr hoher Präzision bestimmt werden können.
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Mittlerweile lassen sich auch die Eigenschaften größerer Biomoleküle recht präzise semiklassisch auf Supercomputern berechnen. Dies ist natürlich nicht nur für die Grundlagenforschung, sondern auch für die pharmazeutische und chemische Industrie von hohem Interesse.
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Insbesondere quantenoptische Methoden haben in den letzten Jahren aufgrund enormer Fortschritte bei den Materialen, der Technik und der Nachweiseffizienz diese teils Jahrzehnte zurückliegenden Gedankenexperimente bisher exzellent experimentell bestätigen können, siehe etwa Lindner et al. (2005) für Doppelspalt-Experimente bei schnellsten Zeitskalen, sozusagen Doppelspalte in der Zeit, oder Ma et al. (2012) für den verzögerten Tausch von Verschränkungen . Alle solchen Experimente stehen bislang in bestem Einklang mit den Vorhersagen der Quantenmechanik.
- 31.
Wie bereits angedeutet, ist die bloße Nachweisbarkeit der Weginformation hinreichend dafür, dass die Interferenz zusammenbricht. Falls wir allerdings dafür Sorge tragen, dass die Weginformation, auch wenn sie einmal gewonnen wurde, wieder sicher zerstört wird, bevor sie einem makroskopischen Beobachter zugänglich wird, so lassen sich auch wieder Interferenzen herstellen. Solche Experimente illustrieren sehr deutlich die Informationskomplementarität in der Quantenphysik und werden auch als „Quantenradierer “ bezeichnet. Diese gibt es sowohl in herkömmlichen, als auch in delayed-choice-Varianten .
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- 34.
Dieses Experiment hat die Arbeitsgruppe von Anton Zeilinger durchgeführt; es illustriert in besonderer Weise den Informationscharakter der Quantenphysik, wie er sich in der in Kap. 5.8 vorgestellten Zeilingerschen Informations-Interpretation der Quantenphysik niederschlägt. Zum Experiment siehe Barreto Lemos et al. (2014) sowie die kurze Beschreibung bei Eidemüller (2014).
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Misra und Sudarshan (1977).
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- 37.
Heisenberg (1927).
- 38.
Als „dynamische Größen“ bezeichnet man sich zeitlich verändernde Variablen wie etwa Ort und Geschwindigkeit bzw. Impuls eines Teilchens. Ladung, Ruhemasse etc. gehören nicht hierzu.
- 39.
Die Eigenschaft der Nichtkommutativität beruht darauf, dass die Reihenfolge der Anwendung von Operatoren nicht beliebig ist. Operatoren können als Matrizen ausgedrückt werden, und im Allgemeinen ist es ein Unterschied, ob zuerst mit der einen und dann mit der anderen multipliziert wird oder umgekehrt. Dadurch wird formal ausgedrückt, dass durch die Messung der Zustand der Observablen gestört und der Wert der jeweils anderen Variablen unscharf wird, auch wenn er vorher genau bestimmt war. Nur kommutierende Größen, die sich also nicht gegenseitig stören, können gleichzeitig mit beliebiger Präzision gemessen werden, also z. B. entweder die drei Orts- oder die drei Impulsvariablen oder etwa auch die Ortskoordinaten in x- und z-Richtung und der Impuls in y-Richtung. Die Nichtkommutativität ist eine Eigenheit der Quantenphysik. In der klassischen Physik macht es im Prinzip keinen Unterschied, welche Größen man in welcher Reihenfolge misst; die Abfolge des Messprozesses ist egal. In der klassischen Physik ist also die Kommutativität erfüllt . Dies deutet auf die Besonderheit des Messprozesses für die Quantenphysik hin.
- 40.
Pauli (1933); diese Darstellung hat Pauli später als „neues Testament“ bezeichnet, im Gegensatz zu seiner als „altes Testament“ titulierten Darstellung im Handbuch der Physik des Jahres 1926.
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Weyl (1928).
- 42.
Kennard (1927), S. 337.
- 43.
Es handelt sich hierbei um die Unschärferelation.
- 44.
Heisenberg (1927), S. 172. Mit „Wahrnehmen“ meint Heisenberg hier eigentlich „Messen“.
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Ein extrinsischer Indeterminismus wäre beispielsweise in einer Situation gegeben, bei der eine Kugel symmetrisch auf der Spitze eines Kegels steht und in alle Richtungen fallen kann. Hier ist die Unvorhersagbarkeit der Zukunft nicht naturgesetzlich, sondern durch spezifische Voraussetzungen bedingt.
- 46.
Wie eine Umfrage bei einer Konferenz zur Quantenphysik zeigte, sind die Geister bezüglich der Interpretation der Quantenphysik immer noch sehr gespalten, jedoch besitzt keine andere Deutung so viel Überzeugungskraft wie die Kopenhagener, siehe Schlosshauer et al. (2013).
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Eidemüller, D. (2017). Einführung in die Quantenmechanik. In: Quanten – Evolution – Geist. Springer Spektrum, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-662-49379-3_2
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