Verteilungskonvergenz und zentraler Grenzwertsatz

Zusammenfassung

Der zentrale Grenzwertsatz – genauer die zentralen Grenzwertsätze – sind das fundamentale Mittel der Wahrscheinlichkeitstheorie, das es ermöglicht, die Verteilungen einer großen Fülle von Funktionen $\psi(X_{1},\ldots,X_{n})$ einer unabhängigen Folge von Zufallsvariablen $(X_{i})$ approximativ zu bestimmen. Der klassische Fall ist die Frage nach der Verteilung der Summenfunktion $\psi(X_{1},\ldots,X_{n})=\sum_{i=1}^{n}X_{i}$. Ein weiterer Fall von großem Interesse ist $\psi(X_{1},\ldots,X_{n})=M_{n}:=\max\{X_{1},\ldots,X_{n}\}$. Dieser ist wesentliches Thema der Extremwertstatistik. Es zeigt sich, dass für beide Fälle universelle Resultate gefunden werden können, die die Verteilungen im Sinne der Verteilungskonvergenz approximieren.

Wir behandeln im Folgenden zunächst den Fall eindimensionaler Zufallsvariablen. Für einige interessante Klassen von Funktionen, z. B. für Maxima, lassen sich auf recht direkte Weise ohne große zusätzliche Technik interessante Grenzwertsätze herleiten. Wir geben einige relevante Beispiele. Für den wichtigen Fall von Summen sind charakteristische Funktionen ein höchst nützliches Werkzeug und ermöglichen einen einfachen Beweis des zentralen Grenzwertsatzes. Mit dem „Cramér -Wold device“ lassen sich viele der Konvergenzaussagen auf den mehrdimensionalen Fall übertragen.

Zur Einführung und Motivation des Kapitels behandeln wir ein Beispiel aus der Extremwertstatistik: Was ist der höchste IQ in der Welt?