Multilineare Algebra

Zusammenfassung

Die multilineare Algebra ist eine Erweiterung der linearen Algebra, in der die Untersuchung innerer Produkte und anderer bilinearer Abbildungen sowie Determinanten systematisch eingebettet ist. Startpunkt ist die Definition einer multilinearen Abbildung, wie man sie von höheren Ableitungen differenzierbarer Funktionen in mehreren Variablen und der Determinante als Funktion der Spaltenvektoren kennt. Die entscheidende Idee ist dann die Einführung des Tensorprodukts von Moduln. Das ist ein Modul, der multilineare Abbildungen in lineare Abbildungen verwandelt und so ihre Untersuchung mithilfe von Methoden der linearen Algebra erlaubt. Tensorprodukte tauchen in fast allen Bereichen der Mathematik auf und spielen eine wichtige Rolle insbesondere in der Differenzialgeometrie, der algebraischen Geometrie, der algebraischen Topologie und der Funktionalanalysis. Sie sind aber auch der Startpunkt für die Gewinnung diverser universeller Strukturen mit Multiplikationen. Prominente Beispiele sind die äußere Algebra, die eine weitreichende Verallgemeinerung der Differenzialformen ist, die symmetrische Algebra und die universelle einhüllende Algebra einer Lie-Algebra.