Zusammenfassung
Bei Strömungen viskoser Fluide untersucht man die Auswirkungen von Prozessen mit Energiedissipation auf die Geschwindigkeitsverteilung. Aufgrund der inneren Reibung (Viskosität) und der Wärmeleitfähigkeit wird die Strömung thermodynamisch irreversibel. Die Kontinuitätsgleichung bleibt bei viskosen Fluiden unverändert, in die Euler’schen Gleichungen werden jedoch zusätzliche Terme eingeführt, die über den Viskositätskoeffizienten η und den Zähigkeitskoeffizienten ζ die Energiedissipation berücksichtigen; so kommt man zu den Navier-Stokes-Gleichungen für die Geschwindigkeitsverteilung eines viskosen Fluids. Daraus ergibt sich die Druckverteilung über eine Gleichung vom Poisson’schen Typ. Aus Viskosität folgt Energiedissipation, die Umwandlung von Bewegungsenergie in Wärme. Die dissipierte Energie wird berechnet und für den Fall der Poiseuille-Strömung durch ein Rohr wird das Hagen-Poiseuille’sche Gesetz aus den Grundgleichungen abgeleitet. Die Reynolds’sche Zahl als erstes Kriterium für den Übergang zur Turbulenz wird eingeführt und die Stokes’sche Formel sowie die Oseen’sche Gleichung für Strömungen mit kleiner Reynoldszahl werden diskutiert. Das Geschwindigkeitsprofil des laminaren Nachlaufs in einiger Entfernung hinter einem Körper wird berechnet.
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- 1.
Die Gleichungen wurden von Claude-Louis Navier (\(\ast\)1785 Dijon, †1836 Paris) im Jahr 1822 aufgestellt und von George Gabriel Stokes (\(\ast\)1819 Skreen, County Sligo, †1903 Cambridge) im Jahr 1845 hergeleitet.
- 2.
Die Euler-Gleichungen könnten eine Randbedingung \(v_{\perp}=v_{\parallel}=0\) gar nicht erfüllen, weil die räumlichen Ableitungen dort von erster Ordnung sind. In den Navier-Stokes-Gleichungen sind sie wegen des Viskositätsterms von zweiter Ordnung.
- 3.
Das Gesetz haben Gotthilf H. L. Hagen (\(\ast\)1797 Königsberg, †1884 Berlin) und Jean L. M. Poiseuille (\(\ast\)1797 Paris, †1869 Paris) in den Jahren 1839 bzw. 1840 empirisch gefunden (\(Q\;\propto\;R^{4}\)). Die hier dargestellte Herleitung hat 1845 George G. Stokes gegeben.
- 4.
Entwickelt von Osbourne Reynolds (\(\ast\)1842 Belfast, †1912 Watchet) im Jahr 1883.
- 5.
Carl Wilhelm Oseen (\(\ast\)1879 Lund, †1944 Uppsala) war Direktor des Nobel-Instituts in Stockholm. Er fand die nach ihm benannte Gleichung im Jahr 1910.
- 6.
Theodore von Kármán (\(\ast\)1881 Budapest, †1963 Aachen) entwickelte diese Lösung 1921.
Literatur
Navier, C.L.M.H.: Mémoire sur les lois de movement des fluides. Mem. Acad. R. Sci. Paris 6, 389 (1823)
Stokes, G.G.: On the theories of the internal friction of fluids in motion. Trans. Camb. Phil. Soc. 8, 287 (1845)
http://de.wikipedia.org/wiki/Navier-Stokes-Gleichungen (2015)
Jackson, J.D.: Klassische Elektrodynamik. de Gruyter, (2014)
Lamb, H.: Hydrodynamics. Cambridge University Press (1924)
von Kármán, T.: Über laminare und turbulente Reibung. Z. angew. Math. Mech. 1, 233 (1921)
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Wolschin, G. (2016). Viskose Fluide. In: Hydrodynamik. Springer Spektrum, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-662-48024-3_3
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