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Signalverarbeitung in der Physikalischen Geodäsie

  • Wolf-Dieter SchuhEmail author
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Zusammenfassung

In diesem Kapitel werden Verfahren zur rechnerisch-analytischen Auswertung von Messreihen diskutiert. Dabei wird davon ausgegangen, dass die Messungen sowohl von deterministischen als auch von stochastischen Anteilen beeinflusst sind. Ziel einer geeigneten Modellierung ist die Trennung der einzelnen Anteile. Während der deterministische Anteil weitgehend durch geometrische und physikalische Zusammenhänge erklärt und parametrisiert werden kann, liegen über die Zusammensetzung und das Verhalten der stochastischen Einflüsse nur unpräzise Informationen vor. Diese Folge von Zufallsvariablen wird daher als stochastischer Prozess modelliert, dem Eigenschaften wir Stationarität, Homogenität und Isotropie zugeordnet werden können. Für den stochastischen Prozess werden unterschiedliche Darstellungsformen sowohl im Zeitbereich als auch im Frequenzbereich einander gegenübergestellt, wobei bei kovarianzstationären Prozessen auch die zweiten Momente mit einbezogen werden. Autokovarianzen im Zeitbereich und das Leistungsdichtespektrum im Frequenzbereich bilden somit zusammen mit dem Signal und dessen spektraler Darstellung ein Viereck – das Magische Quadrat . Dieser Name wurde gewählt, da vielfach geschlossene Formeln für die Umrechnung zwischen den vier Darstellungsformen gefunden werden können und somit der Weg für unterschiedlichste Modellierungs- und Berechnungsvarianten zur Berücksichtigung der Korrelationen im stochastischen Modell eröffnet werden. Als Optimierungsmodell wird das klassische Kollokationmodell herangezogen, wie in der Physikalischen Geodäsie üblich. Dieses Modell wird als bester linearer erwartungstreuer Prädiktor dargestellt, was eine direkte Gegenüberstellung zu den Kriging-Modellen (Simple-Kriging, Ordinary-Kriging und Universal-Kriging) aus der Geostatistik erlaubt. Für die numerische Implementierung der Korrelationen wird der Zugang über Kovarianzfunktionen und der Zugang über stochastische Prozesse näher diskutiert, die beide auch mit sehr großen Datenmengen noch effizient umgehen können. Zunächst wird auf Kovarianzfunktionen und deren mathematischen Eigenschaften näher eingegangen, der Zusammenhang zu Kovarianzmatrizen und deren positiver Definitheit hergestellt bevor dann spezielle Methoden zur Erstellung von finiten Kovarianzfunktionen erarbeitet werden. Finite Kovarianzfunktionen in \( \mathbb{R} \), \( \mathbb{R}^{2} \) und \( \mathbb{R}^{3} \) werden dargestellt und deren Anwendungen auf dem Kreis \( \mathbb{S} \) und der Kugel \( \mathbb{S}^{2} \) kurz diskutiert. Für regelmäßig abgetastete kovarianzstationäre Prozesse wird ein alternativer Zugang zur Beschreibung des stochastischen Modells über diskrete lineare Prozesse aufgezeigt. Durch das Magische Quadrat wird die Äquivalenz der beiden Zugänge bewiesen.

Schlüsselwörter

Stochastische Prozesse Stationarität Finite Kovarianzfunktionen Kollokation Magisches Quadrat AR-Prozess Dekorrelationsfilter. 

Literatur

  1. 1.
    Bochner, S.: Harmonic Analysis and the Theory of Probability. Dover Books on Mathematics. Dover Publication Inc, Mineola (2005)Google Scholar
  2. 2.
    Bottoni, G., Barzaghi, R.: Fast collocation. Bulletin Géodésique 67, 119–126 (1993)Google Scholar
  3. 3.
    Brockwell, P.J., Davis, R.A.: Time Series: Theory and Methods, 2. Aufl. Springer, Berlin (1991). ISBN:1-4419-0319-8Google Scholar
  4. 4.
    Buttkus, B.: Spectral Analysis and Filter Theory in Applied Geophysics. Springer, Berlin/Heidelberg (2000)Google Scholar
  5. 5.
    Cressie, N.A.: Statistics for Spatial Data. Wiley, New York (1991)Google Scholar
  6. 6.
    Eren, K.: Toeplitz matrices and frequency domain collocation. Manuscr. Geod. 7, 85–118 (1982)Google Scholar
  7. 7.
    Gaspari, G., Cohn, S.: Construction of correlation functions in two and three dimensions. Q. J. R. Meteorol. Soc. 125(554), 723–757 (1999)Google Scholar
  8. 8.
    Gaspari, G., Cohn, S., Guo, J., Pawson, S.: Construction and application of covariance functions with variable length-fields. Q. J. R. Meteorol. Soc. 132, 1815–1838 (2006)Google Scholar
  9. 9.
    Grafarend, E.W.: Geodetic applications of stochastic processes. Phys. Earth Planet. Inter. 12(2–3), 151–179 (1976). ISSN:0031-9201. doi:10.1016/0031-9201(76)90045-5Google Scholar
  10. 10.
    Heiskanen, W., Moritz, H.: Physical Geodesy. Institute of Physical Geodesy, Technical University, Graz. Corrected reprint of the original edition by W.H. Freeman and Company, San Francisco (1967)Google Scholar
  11. 11.
    Hirvonen, R.: On the statistical analysis of gravity anomalies. Reports of the Department of Geodetic Science, Bd. 19. Ohio State University (OSU), Ohio (1962)Google Scholar
  12. 12.
    Jäggi, A.: Pseudo-stochastic orbit modelling of Low Earth Satellites using the Global Positioning System. Geodätisch-geophysikalische Arbeiten in der Schweiz, Bd. 73. Schweizerische Geodätische Kommission. http://boris.unibe.ch/id/eprint/25278 (2007)
  13. 13.
    Kay, S., Marple, S.: Spectrum analysis – a modern perspective. Proc. IEEE 69(11), 1380–1419 (1981). ISSN:0018-9219Google Scholar
  14. 14.
    Khintchine(Chintschin), A.: Korrelationstheorie der stationären stochastischen Prozesse. Mathematische Annalen 109, 604–615 (1934). http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?PPN235181684_0109
  15. 15.
    Koch, K., Kuhlmann, H., Schuh, W.-D.: Approximating covariance matrices estimated in multivariate models by estimated auto- and cross-covariances. J. Geod. 84(6), 383–397 (2010). doi:10.1007/s00190-010-0375-5Google Scholar
  16. 16.
    Kolmogorov, A.N.: Interpolation and extrapolation in stationary random sequences (in Russian). Izv. Akad. Nauk SSSR Ser. Mat. 5, 3–14 (1941) (English: Selected Works of Kolmogorov A.N.: In: Shiryayev, A.N. (Hrsg.) Volume II: Probability Theory and Mathematical Statistics. Mathematics and Its Applications, Bd. 26, S. 272–280. Kluwer Academic Publishers (1992))Google Scholar
  17. 17.
    Krarup, T.: A contribution to the mathematical foundation of physical geodesy. Geodätisches Institut, Meddelelse n. 44 (1969)Google Scholar
  18. 18.
    Krasbutter, I., Kargoll, B., Schuh, W.-D.: Magic square of real spectral and time series analysis with an application to moving average processes. In: IAG Symposia, Bd. 140, S. 9–14. Springer (2015). doi:10.1007/978-3-319-10828-5_2Google Scholar
  19. 19.
    Kreyszig, E.: Advanced Engineering Mathematics. Wiley, 7. Aufl. (1993)Google Scholar
  20. 20.
    Matheron, G.: Principles of geostatistics. Econ. Geol. 58(8), 1246–1266 (1963). ISSN:0361-0128 (P), 1554-0774 (E)Google Scholar
  21. 21.
    Mayer-Gürr, T.: Gravitationsfeldbestimmung aus der Analyse kurzer Bahnbögen am Beispiel der Satellitenmissionen CHAMP und GRACE. Schriftenreihe des Instituts für Geodäsie und Geoinformation, Bd. 9. Universität Bonn (2008). http://nbn-resolving.de/urn:nbn:de:hbz:5N-09047
  22. 22.
    Meissl, P.: A study of covariance functions related to the earth’s disturbing potential. Reports of the Department of Geodetic Science, Bd. 151. Ohio State University (OSU), Ohio (1971)Google Scholar
  23. 23.
    Meissl, P.: Least squares adjustment: a modern approach. Mitteilungen der Geodätischen Institute der TU Graz, Bd. 43. Geodätischen Institute der TU Graz, Graz (1982). ftp://skylab.itg.uni-bonn.de/schuh/Separata_Meissl/meissl_1982b.pdf
  24. 24.
    Moreaux, G.: Compactly supported radial covariance functions. J. Geod. 82(7), 431–443 (2008). ISSN:0949-7714. doi:10.1007/s00190-007-0195-4Google Scholar
  25. 25.
    Moritz, H.: Advanced Least-Squares Methods. Reports of the Department of Geodetic Science, Bd. 175. Ohio State University (OSU), Ohio (1972)Google Scholar
  26. 26.
    Moritz, H.: Least-squares collocation. Deutsche Geodätische Kommission, München. Reihe A, 75 (1973)Google Scholar
  27. 27.
    Moritz, H.: Covariance functions in least-squares collocation. Reports of the Department of Geodetic Science, Bd. 240. Ohio State University (OSU), Ohio (1976)Google Scholar
  28. 28.
    Moritz, H.: Advanced Physical Geodesy. Wichmann, Karlsruhe (1980)Google Scholar
  29. 29.
    Mussio, L.: Il metodo della collocazione minimi quadrati e le sue applicazioni per l’analisi statistica dei risultati delle compensazioni. Cunietti, M. (Hrsg.) Ricerche di Geodesia, Topografia e Fotogrammetria, 4, S. 305–338. CLUP, Milano (1984)Google Scholar
  30. 30.
    Papoulis, A.: Signal Analysis. International Student Edition. McGraw-Hill, New York (1977)Google Scholar
  31. 31.
    Reguzzoni, M., Sansò, F., Venuti, G.: The theory of general kriging, with applications to the determination of a local geoid. Geophys. J. 162(2), 303–314 (2005). doi:10.1111/j.1365-246X.2005.02662.xGoogle Scholar
  32. 32.
    Rummel, R.: Zur Behandlung von Zufallsfunktionen und -folgen in der physikalischen Geodäsie. DGK, Reihe C 208, Verlag der Bayerischen Akademie der Wissenschaften (1975)Google Scholar
  33. 33.
    Rummel, R.: A model comparison in least squares collocation. Bulletin Géodésique 50(2), 181–192 (1976). ISSN:0007-4632. doi:10.1007/BF02522317. http://dx.doi.org/10.1007/BF02522317
  34. 34.
    Sansò, F.: Statistical methods in physical geodesy. In: Sünkel, H. (Hrsg.) Mathematical and Numerical Techniques in Physical Geodesy. Lecture Notes in Earth Sciences, Bd. 7 S. 49–155. Springer, Berlin/Heidelberg (1986). ISBN:978-3-540-16809-6. doi:10.1007/BFb0010132Google Scholar
  35. 35.
    Sansò, F., Schuh, W.-D.: Finite covariance functions. Bulletin Géodésique 61, 331–347 (1987)Google Scholar
  36. 36.
    Sansò, F., Tscherning, C.: Fast spherical collocation: theory and examples. J. Geod. 77, 101–112 (2003)Google Scholar
  37. 37.
    Scargle, J.: Studies in astronomical time series analysis. I – Modeling random processes in the time domain. Astrophys. J. Suppl. Ser. 45, 1–71 (1981). http://articles.adsabs.harvard.edu/full/1981ApJS...45....1S
  38. 38.
    Schuh, W.-D.: Kollokation - zu rechenaufwendig? ZAMM, Z. angew. Math. Mech. 69, 4, T73-T75 (1989). http://onlinelibrary.wiley.com/doi/10.1002/zamm.19890690403/pdf Google Scholar
  39. 39.
    Schuh, W.-D.: Tailored numerical solution strategies for the global determination of the earth’s gravity field. Mitteilungen der Technischen Universität Graz, Graz. Folge 81 (1996)Google Scholar
  40. 40.
    Schuh, W.-D.: The processing of band-limited measurements; filtering techniques in the least squares context and in the presence of data gaps. Space Sci. Rev. 108(1–2), 67–78 (2003). doi:10.1023/A:1026121814042Google Scholar
  41. 41.
    Schuh, W.-D., Krasbutter, I., Kargoll, B.: Korrelierte Messung – was nun? In: Neuner, H. (Hrsg.) Zeitabhängige Messgrößen - Ihre Daten haben (Mehr-)Wert, Bd. 74, DVW-Schriftenreihe, S. 85–101. Wißner, Augsburg (2014). ISBN:978-3-89639-970-0Google Scholar
  42. 42.
    Schwarz, K.: Least squares collocation for large systems. Bollettino di Geodesia e Scienze Affini, No. 3:309–324. Presented at „Sixth Symposium on Mathematical Geodesy“, Siena (2–5 Apr 1975) (1976)Google Scholar
  43. 43.
    Siemes, C.: Digital Filtering Algorithms for Decorrelation within Large Least Squares Problems. Schriftenreihe des Instituts für Geodäsie und Geoinformation, Bd. 32. Rheinischen Friedrich-Wilhelms-Universität Bonn, Bonn (2012). http://nbn-resolving.de/urn:nbn:de:hbz:5N-13749
  44. 44.
    Stewart, J.: Positive definite functions and generalizations, a historical survey. J. Rocky Mt. Math. 6, 409–434 (1976)Google Scholar
  45. 45.
    Tscherning, C.: Representation of covariance functions related to the anomalous potential of the earth using reproducing kernels. Internal Report. Danish Geodetic Institute, Kobenhavn. No. 3 (1972)Google Scholar
  46. 46.
    Tscherning, C., Rapp, R.: Closed covariance expressions for gravity anomalies, geoid undulations, and deflections of the vertical implied by anomaly degree variance models. Reports of the Department of Geodetic Science, Bd. 208. Ohio State University (OSU), Ohio (1974)Google Scholar
  47. 47.
    Tscherning, C., Knudsen, P., Forsberg, R.: Description of the GRAVSOFT package. Technischer Report, Geophysical Institute, University of Copenhagen (1994)Google Scholar
  48. 48.
    Wackernagel, H.: Multivariate Geostatistics: An Introduction with Applications. Springer, 3. Aufl. (2003)Google Scholar
  49. 49.
    Wiener, N.: Extrapolation, Interpolation and Smoothing of Stationary Time Series. Wiley, New York (1949)Google Scholar
  50. 50.
    Wold, H.: A study in the analysis of stationary time series. Almqvist & Wiksell, Stockholm, Univ. Diss., 2. Aufl. (1938)Google Scholar
  51. 51.
    Wolf, H.: Über verallgemeinerte Kollokation. Zeitschrift für Vermessungswesen 99, 475–478 (1974)Google Scholar

Copyright information

© Springer-Verlag GmbH Deutschland 2017

Authors and Affiliations

  1. 1.Institut für Geodäsie und GeoinformationUniversität BonnBonnDeutschland

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