Anhang: Vektoranalysis

Zusammenfassung

Der Gradient einer Funktion f ist definiert durch

$$\text{grad}\,f=\partial_{x}f\boldsymbol{i}+\partial_{y}f\boldsymbol{j}+\partial_{z}f\boldsymbol{k},$$

wobei $\partial_{x}=\partial/\partial_{x}$ usw. und wobei i, j und k die Vektoren der Standardbasis bezeichnen. Die Divergenz und die Rotation eines Vektorfeldes $\boldsymbol{v}=a\boldsymbol{i}+b\boldsymbol{j}+c\boldsymbol{k}$ sind jeweils definiert durch

$$\text{div}\,\boldsymbol{v} =\partial_{x}a+\partial_{y}b+\partial_{z}c$$

(11.1)

$$\mathrm{rot}\,\boldsymbol{v} =\left(\partial_{y}c-\partial_{z}b\right)\boldsymbol{i}+\left(\partial_{z}a-\partial_{x}c\right)\boldsymbol{j}+\left(\partial_{x}b-\partial_{y}a\right)\boldsymbol{k}.$$

(11.2)

Für beliebige Vektorfelder u, v, w und Funktionen f gilt

$$\boldsymbol{u}\cdot\left(\boldsymbol{v}\times\boldsymbol{w}\right) =\boldsymbol{w}\cdot\left(\boldsymbol{u}\times\boldsymbol{v}\right)$$

(11.3)

$$\boldsymbol{u}\times\left(\boldsymbol{v}\times\boldsymbol{w}\right) =\left(\boldsymbol{u}\cdot\boldsymbol{w}\right)\boldsymbol{v}-\left(\boldsymbol{u}\cdot\boldsymbol{v}\right)\boldsymbol{w}$$

(11.4)

$$\text{rot}\left(\text{grad}\,f\right) =0$$

(11.5)

$$\text{div}\left(\text{rot}\,\boldsymbol{u}\right) =0$$

(11.6)

$$\text{rot}\left(\text{rot}\,\boldsymbol{u}\right) =\text{grad}\left(\text{div}\,\boldsymbol{u}\right)-\nabla^{2}\boldsymbol{u}$$

(11.7)

$$\text{div}\left(f\boldsymbol{u}\right) =\text{grad}\,f\cdot\boldsymbol{u}+f\,\text{div}\boldsymbol{\,u}$$

(11.8)

$$\text{rot}\left(f\boldsymbol{u}\right) =\text{grad}\,f\times\boldsymbol{u}+f\,\text{rot}\,\boldsymbol{u}$$

(11.9)