Transporterscheinungen

Zusammenfassung

In diesem Kapitel werden wir uns vornehmlich mit zwei Vorgängen befassen, ohne die das Erreichen des thermischen Gleichgewichts und die Veränderung des thermischen Zustands eines Systems unmöglich wäre: Wärmeleitung und Diffusion. Bei der Wärmeleitung wird die kinetische Energie der Teilchen durch Stöße auf die Nachbarn übertragen: Es handelt sich um den Transport von Wärmeenergie. Unter Diffusion versteht man den Transport von Molekülen aufgrund ihrer Wärmebewegung. Sie tritt in Erscheinung, wenn in einem System verschiedene Arten von Molekülen vorhanden und ungleichmäßig verteilt sind.

Wir werden uns zunächst mit der Diffusion befassen und dann mit der Wärmeleitung. Dabei werden wir feststellen, dass für Wärmeleitung und Diffusion ganz ähnliche Gesetze gelten. Sodann werden wir mit der kinetischen Gastheorie für ein ideales Gas die für Diffusion und Wärmeleitung maßgeblichen Stoffkonstanten berechnen. In diese Betrachtung werden wir die Viskosität von Gasen mit einbeziehen; sie lässt sich ebenfalls in die Gruppe der Transporterscheinungen einordnen. Schließlich werden wir noch auf die Konvektion zu sprechen kommen, d. h. auf den durch Gas- und Flüssigkeitsströmungen bedingten Transport von Wärmeenergie und Stoffen innerhalb eines Systems.

Aufgaben

6.1 Wie schnell ändert ein Körper seine Temperatur?

a) Ein Körper hoher Wärmeleitfähigkeit mit der spezifischen Wärme c, der Masse m und der Oberfläche A sei von einer dünnen isolierenden Schicht der Dicke s und der Wärmeleitfähigkeit $\Lambda_{s}$ umgeben. Der Körper habe am Anfang die Temperatur T ₁. Außerhalb der Isolierschicht herrsche eine kleinere Temperatur T ₀, die durch Kühlung konstant gehalten wird. Beweisen Sie das Newtonsche Abkühlungsgesetz (6.32).

b) Ist es möglich, für den häuslichen Gebrauch eine Thermosflasche mit $1\,\ell$ Fassungsvermögen und einer Temperatur-Abklingzeit $\tau=1$ Tag herzustellen, indem man ein dünnes einwandiges Glasgefäß mit einem Schaumstoff ummantelt, der eine Wärmeleitfähigkeit $\Lambda_{s}=0{,}03\,\mathrm{W/(m\,K)}$ besitzt? Die Oberfläche der Flüssigkeit sei $A=600\,\mathrm{cm}^{2}$.

6.2 Wärmedämmung von Gebäuden.

Ein Haus besitze ein Ziegelmauerwerk der Stärke d = 36 cm mit einer Wärmeleitfähigkeit $\Lambda=0{,}35\,\mathrm{W/(m\,K)}$. Hinzu kommen der Außen- und der Innenputz mit $d_{\text{a}}=2$ cm, $\Lambda_{\text{a}}=1\,\mathrm{W/(m\,K)}$ sowie $d_{\text{i}}=1{,}5$ cm und $\Lambda_{\text{i}}=0{,}7\,\mathrm{W/(m\,K)}$. Für die Wärmeübergänge zwischen den Wänden und der Luft addieren wir die Wärmewiderstände $R_{\text{wi}}=0{,}13\,\mathrm{m^{2}\,K/W}$ und $R_{\text{wa}}=0{,}04\,\mathrm{m^{2}\,K/W}$. Das Haus werde zusätzlich mit einer 15 cm dicken Schicht aus Mineralwolle gedämmt ($\Lambda_{\text{D}}=0{,}04\,\mathrm{W/(m\,K)}$). Um welchen Faktor wird der Energiebedarf des Hauses für die Heizung durch die Dämmung reduziert, wenn das Mauerwerk vorher zu 50 % am gesamten Bedarf beteiligt war (der Rest entfällt auf Dach, Keller, Fenster und Türen)?

6.3 Abpufferung von Temperaturschwankungen durch Wärmedämmung.

Es ist eine Erfahrung, dass in Kellern oder Höhlen die Temperatur den äußeren Temperaturschwankungen nur wenig folgt, wenn die dazwischenliegenden Mauerwerke oder Erdschichten genügend dick sind. Das zugrunde liegende Prinzip erkennt man an folgendem Modell: Ein von einer Ebene begrenztes, in einem Halbraum unendlich ausgedehntes Medium besitze die spezifische Wärme c, die Dichte ρ und die Wärmeleitfähigkeit Λ. Die Oberflächentemperatur des Mediums an der Grenze zur Außenwelt variiere periodisch: $T=T_{0}+\Updelta T\,\cos(\omega t)$. Die Koordinate senkrecht zur Grenzfläche sei x. Zeigen Sie: Die Lösung der Wärmeleitungsgleichung (6.27) hat die Form

$$T(x,t)=T_{0}+\Updelta T\,{\,{\mathrm{e}}}^{-\alpha x}\cos\bigl(-\alpha x+\omega t\bigr)\;.$$

(6.38)

Berechnen Sie α. Zahlenbeispiel: $\rho=2300\,\mathrm{kg/m}^{3}$, $c=800\,\mathrm{J/(K\,kg)}$, $\Lambda=1{,}5\,\mathrm{W/(m\,kg)}$, $\omega=2\pi/1$ Tag. In welcher Tiefe hat die Temperaturoszillation um einen Faktor 10 abgenommen? In dieser Tiefe ist die Temperaturoszillation gegenüber derjenigen an der Oberfläche verzögert. Um wie viel? Ersetzen Sie die Ein-Tages-Periode durch ein Jahr.

6.4 Diffusion aus einem geschlossenen Volumen.

Ein kugelförmiges Gasvolumen mit dem Radius r sei von einer dünnen starren Membran mit der Dicke s umgeben, durch die das Gas mit einem Diffusionskoeffizienten D hindurchdiffundiert. Außerhalb der Kugel werde das aus der Membran austretende Gas sofort wegtransportiert. Wie groß ist die Abklingzeit τ der Gaskonzentration in der Kugel, wenn man dort eine gleichförmige Dichteverteilung annimmt? Zahlenbeispiel: $r=0{,}125$ mm, $s=0{,}001$ mm, $D=8\cdot 10^{-12}\,\mathrm{m^{2}/s}$. Wie groß wäre die Verschiebung eines Gasmoleküls durch Diffusion in einem sehr großen Gasvolumen nach der Zeit τ, wenn man einen Diffusionskoeffizienten nach Tab. 6.1 ansetzt, d. h. ist die Annahme der gleichförmigen Dichteverteilung gerechtfertigt?

6.5 Atmung.

a) Ein Mensch benötigt bei absoluter Ruhe eine Sauerstoffmasse pro Zeit ${{\mathrm{d}}}m/{{\mathrm{d}}}t=0{,}006\,\mathrm{g/s}$. Die Atemfrequenz setzen wir zu 10 Zyklen pro Minute an und die Atemtiefe (ein- und ausgeatmetes Volumen pro Zyklus) zu $0{,}4\,\ell$. Welcher Prozentsatz des eingeatmeten Sauerstoffs gelangt in den Körper (Temperatur T = 293 K, Sauerstoff-Partialdruck $p_{0}=21{.}000$ Pa)?

b) Der Sauerstoff diffundiert von den Lungenbläschen (Vakuolen) durch Zellwände in die roten Blutkörperchen. Die gesamte Schichtdicke d und der effektive Diffusionskoeffizient entsprechen halbwegs den Zahlen in der vorigen Aufgabe ($d=0{,}001$ mm, $D=8\cdot 10^{-12}\,\mathrm{m^{2}/s}$). Die gesamte Oberfläche aller Vakuolen wird zu $A=80\,\mathrm{m^{2}}$ abgeschätzt. Welche mittlere Partialdruck-Differenz zwischen den Vakuolen und den Blutkörperchen ist erforderlich, um die genannte Sauerstoffversorgung sicherzustellen (Temperatur $=$ Körpertemperatur)?

c) Wegen des Sauerstoffstroms durch den Atemweg ist der mittlere Sauerstoff-Partialdruck in den Vakuolen kleiner als in der Luft. Als Obergrenze für die mittlere Partialdruck-Differenz zwischen den Vakuolen und den Blutkörperchen, die die Grenze körperlicher Leistungsfähigkeit bedingt, nehmen wir $p_{2}-p_{1}=7000$ Pa an. Welche Sauerstoffmasse wird jetzt pro Zeit aufgenommen und was folgt für die Atemfrequenz und die Atemtiefe?

Welcher Vakuolenzahl entspricht der Radius $r=0{,}125$ mm und welche Konsequenzen hätten ein viel kleinerer oder ein viel größerer Radius? Die Größen A, d und D sind einzeln nicht gut bekannt. Welche Kombination dieser Größen ist ausschließlich relevant?