Eine kurze Geschichte der Axiomatik insbesondere der Geometrie

Zusammenfassung

In diesem Kapitel wird versucht, Hilberts „Festschrift“ von 1899 in größere historische Zusammenhänge einzuordnen. Dabei konzentrieren wir uns auf das Problem der Axiomatik, insbesondere der Geometrie – ohne zu leugnen, dass es in diesem Werk auch viele andere bemerkenswerte Aspekte gibt, die nur indirekt mit der axiomatischen Grundlegung der Geometrie zu tun haben (vgl. hierzu Kap. 4 unten). Im ersten Abschnitt werden die Bemühungen und Diskussionen dargestellt, welche einer Vervollkommnung der von Euklid gelieferten axiomatischen Basis der Geometrie bis hin bis zu deren kompletten Ersetzung durch alternative Vorschläge galten. Der zweite Abschnitt ist zeitlich deutlich eingegrenzt und schildert einige Entwicklungen in der Axiomatik nicht-geometrischer Gebiete in der zweiten Hälfte des 19. Jhs. – paradigmatisch vertreten durch das Ringen um den Zahlbegriff. Es zeigt sich, dass hier neue Ideen auftraten, welche für die von Hilbert in der „Festschrift“ vertretenen Auffassungen vomWesen der Axiome und den Leistungen einer Axiomatik wesentlich waren. Im dritten Abschnitt gehen wir auf die Geschichte einiger besonders markanter und von Hilbert explizit diskutierter Axiome ein. Dies sind das Parallelenaxiom, die Stetigkeitsaxiome – insbesondere das Axiom von Archimedes – und das Axiom von De Zolt. Insgesamt zeigt sich die Axiomatik als ein weitgehend autonomes Gebiet, das sich hauptsächlich aus intrinsischen Motiven heraus entwickelt hat. Wechselwirkungen sind eher selten.