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Vollständige geordnete Körper

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Zusammenfassung

In den beiden vorangegangenen Kapiteln gingen wir zunächst von verschiedenen Beispielen aus, stellten fest, dass diese gleiche Eigenschaften aufwiesen, und abstrahierten dann, um zu erkennen, wieso in all diesen Beispielen gleichartige Regeln gelten. Wir bewegten uns also von konkreten Beispielen hin zur abstrahierten Formalisierung. Bei der Einführung der reellen Zahlen gehen wir genau umgekehrt vor. Wir starten mit abstrakten Eigenschaften, den Axiomen eines vollständigen geordneten Körpers, und zeigen erst viel später, dass es dafür ein Beispiel gibt. Der Umstand, dass es im Wesentlichen auch nicht mehr als dieses eine aufwendig zu konstruierende Beispiel gibt, illustriert den Grund für diese veränderte Vorgehensweise. Anstatt mit einem kompliziert zu beschreibenden Objekt zu arbeiten, arbeitet man nur mit einfach zu beschreibenden Eigenschaften dieses Objekts, die das Objekt aber im Wesentlichen eindeutig festlegen. Das vereinfacht den Einsatz der reellen Zahlen in darauf aufbauenden Theorien wie der Differenzial- oder der Integralrechnung ganz erheblich. Es hat aber auch ganz konkrete Auswirkungen auf die Möglichkeiten, sich die Inhalte dieses Kapitels zu erarbeiten. Anstatt durch das Studium einfacher Beispiele eine Intuition für vollständige geordnete Körper aufzubauen, wie das im Fall von abelschen Gruppen möglich ist, muss man sich dieser Struktur durch das Studium einfacher Schlussfolgerungen aus den Axiomen nähern. Dementsprechend sind die in den Studienmaterialien enthaltenen Beispiele keine Beispiele für Objekte, die die Axiome eines vollständigen geordneten Körpers erfüllen, sondern Beispiele für logische Konsequenzen aus den Axiomen. Das macht die Beispiele nicht komplizierter, aber doch ein Stück abstrakter. Um diese Problematik etwas abzufedern, geben wir eine Reihe von konkreten Beispielen an, die nur einen Teil der Axiome erfüllen.

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© 2015 Springer-Verlag Berlin Heidelberg

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Hilgert, J., Hoffmann, M., Panse, A. (2015). Vollständige geordnete Körper. In: Einführung in mathematisches Denken und Arbeiten. Springer Spektrum, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-662-45512-8_9

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